2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈Z|x2<2}，B={x|2x>1}，则A∩B=( )
A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {−1,0,1}
2.下列函数中既是奇函数，又在区间[−1,1]上是增函数的是( )
A. y=2xB. y=x3C. y=−sinxD. y=−1x
3.已知点P(sinα−csα,tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )
A. (π2,3π4)∪(π,5π4)B. (π4,π2)∪(π,5π4)
C. (π2,3π4)∪(5π4,3π2)D. (π4,π2)∪(3π4,π)
4.设a=lg46，b=3−2，c=ln14，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a
5.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ≤π2)的部分图象如图所示，则点P(ω,φ)的坐标为( )
A. (2,π3)B. (2,π6)C. (12,π3)D. (12,π6)
6.已知关于x的方程ax+6=2x在区间(1,2)内有解，则实数a的取值范围是( )
A. (−4,−1)B. [−4,−1]C. (−2,−12)D. [−2,−12]
7.函数y=cs2x+2sinx的值域为( )
A. [1,3]B. [−3,1]C. [1,32]D. [−3,32]
8.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=π3对称；③在区间[5π6,π]上单调递增”的一个函数可以是( )
A. y=cs(2x−π3)B. y=sin(2x−π6)
C. y=sin(2x+5π6)D. y=sin(x2+π6)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1，x2，且0A. −4B. −4.5C. −4.6D. −5
10.已知a+b=2，则( )
A. ab≤1B. 2a+ab≥3C. 2a+2b≥4D. a2+b2≥2
11.已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s是q成立的不充分条件，则下列说法不正确的是( )
A. p是r成立的充要条件B. s是r成立的必要不充分条件
C. p是s成立的充分不必要条件D. q是s成立的必要不充分条件
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[−3.2]=−4，[2.3]=2.已知函数f(x)=2x1+2x−12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)在R上是减函数
C. g(x)是偶函数D. g(x)的值域是{−1,0}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算lg52+2lg2−(12)−1+823= ．
14.将函数f(x)=sin(6x+π4)的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移π8个单位，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的一个对称中心为______．
15.已知函数y=ax−1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n>0，则1m+1n的最小值为______．
16.若函数f(x)=lga(2x−ax2)在区间(1,32]上为减函数，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m−1≤x≤2m+1}．
(1)若m=3时，求A∩B，(∁RA)⋃B．
(2)若A∪B=A，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知角α的终边经过点P(−3,4).求sinα−csα−11+tanα+10cs2α的值；
(2)求sin40°(tan10°− 3)的值．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=cs4x−2 3sinxcsx−sin4x．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值与最小值及相对应的x的值．
20.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c过(0,0)点，且当x=2时，函数f(x)取得最小值−4．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若∀x∈[1,4]，函数f(x)的图象恒在直线y=(m−2)x−m2的上方，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧AB、CD所在圆的半径分别为f(x)、R米，圆心角为θ(弧度)．
(1)若θ=π3，r1=3，r2=6，求花坛的面积；
(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？
22.(本小题12分)
已知f(x)=ln(ex+1)−ax是偶函数，g(x)=ex+be−x是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断g(x)的单调性，并加以证明；
(3)若不等式g(f(x))>g(m−x)在[1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】
解：∵集合A={x∈Z|x2<2}={x∈Z|− 2B={x|2x>1}={x|x>0}，
∴A∩B={1}．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：由于函数y=2x不是奇函数，故排除A；
由于函数y=x3既是奇函数，又在区间[−1,1]上是增函数，故B满足题意；
由于函数y=−sinx是奇函数，又在区间[−1,1]上是减函数，故排除C；
由于函数y=−1x是奇函数，但不满足在区间[−1,1]上是增函数，例如当x=0时，函数无意义，故排除D，
故选：B．
由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：点P(sinα−csα,tanα)在第一象限，
∴sinα−csα>0tanα>0，
即sinα>csαtanα>0，
∵α∈[0,2π]，
∴π4<α<5π40<α<π2或π<α<3π2，
即π4<α<π2或π<α<5π4，
故∈(π4,π2)∪(π,5π4)，
故选：B
根据点的坐标与象限之间的关系，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．
本题主要考查三角函数符号的判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵a=lg46，b=3−2，c=ln14，
lg46>1，0<3−2=19<1，ln14<0，
∴a>b>c，
故选：A．
借助指数函数与对数函数的性质计算a，b，c的范围，问题可解．
本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，解决的关键是根据图象提供的信息确定ω，φ，考查学生读图的能力与解决问题的能力，属于中档题．由T2=π2可求T，由T=2πω可求得ω，由最高点或最低点的坐标代入函数表达式中可求得φ，从而可求得点P(ω,φ)的坐标．
【解答】
解：设其周期为T，由图象可知，T2=5π6−π3=π2，
∴T=π，又T=2πω，∴ω=2，∴函数的表达式为y=sin(2x+φ)．
又∵y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π2)的图象经过(π3,0)，
而函数的四分之一周期为π4，∴当x=π3−π4=π12时f(x)取得最大值；
∴sin(2×π12+φ)=1，又∵0<φ≤π2，∴π6<π6+φ⩽2π3
∴2×π12+φ=π2，解得φ=π3，
∴P点的坐标为(2,π3).
故选A．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意可得ax=2x−6，
故转化为函数v=ax和y=2x−6的图像的交点，
如图所示，
易知y=2x−6的图像的两个交点为(1,−4)和(2,−2)，
当y=ax过(1,−4)点时a=−4，当y=ax过(2,−2)点时a=−1，
所以a的取值范围是(−4,−1)．
故选：A．
把方程解的问题转化为函数图像交点问题，结合图像即可得解．
本题考查函数的零点与方程的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】y=cs2x+2sinx=1−2sin2x+2sinx=−2(sinx−12)2+32，
当sinx=12时，函数y=cs2x+2sinx取得最大值32；
当sinx=−1时，函数y=cs2x+2sinx取得最小值−3．
故函数值域为：[−3,32].
故选：D．
y=cs2x+2sinx=1−2sin2x+2sinx=−2(sinx−12)2+32，以此可求得函数值域．
本题考查三角函数性质及函数值域求法，考查数学运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由于y=cs(2x−π3)，当x=π3时，y=12，不是最值，故它的图象不关于直线x=π3对称，故排除A．
由于函数y=sin(2x−π6)的最小正周期为2π2=π；
当x=π3时，y=1，为最大值，故y=sin(2x−π6)的图象关于直线x=π3对称；
在区间[5π6,π]上，2x−π6∈[3π2,11π6]，故函数y=sin(2x−π6)单调递增，故B满足题意．
在区间[5π6,π]上，2x+5π6∈[5π2,17π6]，故函数y=sin(2x−π6)单调递减，故C不满足题意．
由于函数y=sin(x2+π6)的最小正周期是2π12=4π，故排除D，
故选：B．
由题意根据三角函数的周期性、单调性以及图象的对称性，得出结论．
本题主要考查三角函数的周期性、单调性以及图象的对称性，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：因为一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1，x2，
且0则由题意可得f(0)>0f(2)<0f(4)>0，即3>0,7+2m<0,19+4m>0,
解得−194故选：ABC．
令f(x)=x2+mx+3，则由题意可得f(2)=2m+7<0f(0)=3>0f(4)=4m+19>0，求得m的范围，可得结论．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为ab=a(2−a)=−(a−1)2+1≤1，A正确；
当a=−1，b=3时，2a+ab=−2−13<3，B错误；2a+2b≥2 2a⋅2b=4，当且仅当a=b=1时取等号，C正确；
由(a−b)2≥0，得a2+b2≥12(a+b)2=2，当a=b=1时等号成立，D正确．
故选：ACD．
根据不等式的性质与基本不等式计算判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：依题意得q⇒p，q⇔r，r⇒s，s⇏q，
由q⇒p，q⇔r得r⇒p，但p不一定能推出r，故A不正确；
由q⇔r，s⇏q得s⇏r，又r⇒s，所以s是r成立的必要不充分条件，故B正确；
因为p不一定能推出s，s不一定能推出p，所以C不正确；
因为q⇔r，r⇒s，所以q⇒s，又s⇏q，所以q是s成立的充分不必要条件，故D不正确．
故选：ACD．
根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断选项A，C，由函数的单调性结论判断选项B，由值域的求解方法判断选项D．
本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性、单调性以及值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
【解答】
解：对于A，f(x)=2x1+2x−12，则f(−x)=2−x1+2−x−12=11+2x−12，
所以f(x)+f(−x)=0，
故函数f(x)为奇函数，
故选项A正确；
对于B，f(x)=2x1+2x−12=12−11+2x，
因为y=1+2x在R上为单调递增函数，
所以函数f(x)在R上为单调递增函数，
故选项B错误；
对于C，因为f(x)=2x1+2x−12=12−11+2x，
则g(1)=[f(1)]=[16]=0，
g(−1)=[f(−1)]=[−16]=−1，
因为g(−1)≠g(1)，
所以g(x)不是偶函数，
故选项C错误；
对于D，设y=f(x)=2x1+2x−12，
变形可得2x=1+2y1−2y>0，解得−12即f(x)的值域为(−12,12)，
又g(x)=[f(x)]，所以g(x)的值域为{−1,0}，
故选项D正确．
故选：AD．
13.【答案】3
【解析】【分析】
利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：lg52+2lg2−(12)−1+823
=lg(52×4)−2+4
=1−2+4
=3．
故答案为：3．
14.【答案】(π2,0)(答案不唯一)
【解析】解：根据三角函数的图象变换可得g(x)=sin(6×13(x−π8)+π4)=sin2x，
令2x=kπ，k∈Z，解得x=kπ2,k∈Z，
所以函数y=g(x)的对称中心为(kπ2,0),k∈Z，
故答案为：(π2,0)(答案不唯一)．
根据三角函数图象的变换及正弦型函数的性质求解即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：∵函数y=ax−1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，
可得A(1,1)，
∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，
∴m+n=1，∵m，n>0，
∴m+n=1≥2 mn，
∴mn≤14，
∴(1m+1n)=m+nmn=1mn≥4(当且仅当n=12，m=12时等号成立)，
故答案为4．
根据指数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．
此题主要考查的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型
16.【答案】(0,23]∪(1，43)
【解析】解：由题意可得a>0且a≠1，
令2x−ax2=0，可得x1=0，x2=2a，
所以函数的定义域为(0,2a)，
由二次函数的性质可知：t=2x−ax2在(0,1a)上单调递增，在(1a,2a)上单调递减，
又因为当a>1时，y=lgat在定义域上单调递增，此时f(x)=lga(2x−ax2)在(0,1a)上单调递增，在(1a,2a)上单调递减，
所以1a≤12a>32，1≤a<43，所以1又因为当0所以1a≥32，解得a≤23，所以0综上所述，a的取值范围为：(0,23]∪(1，43).
故答案为：(0,23]∪(1，43).
首先求出函数的定义域，确定函数t=2x−ax2的单调区间，再分a>1、0本题考查了对数函数的性质、复合函数的单调性及分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵A={x|−2≤x≤5}，B={x|m−1≤x≤2m+1}，
∴当m=3时，则B={x|2≤x≤7}，所以A∩B={x|2≤x≤5}，
∁RA={x|x<−2或x>5}，又B={x|2≤x≤7}，
所以(∁RA)⋃B={x|x<−2或x≥2}．
(2)∵A∪B=A，∴B⊆A，
∴当B=⌀时，则有m−1>2m+1，即m<−2，满足题意；
当B≠⌀时，则有m−1≤2m+1，即m≥−2，
可得m−1≥−22m+1≤5，解得：−1≤m≤2．
综上所述，m的范围为{m|m<−2或−1≤m≤2}．
【解析】(1)根据交集、补集和并集的概念可求出结果；
(2)由A∪B=A得B⊆A，再分类讨论B是否为空集，根据子集关系列式可求出结果．
本题考查交集、补集和并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)由角α的终边经过点P(−3,4)，则r=|OP|=5，
由任意角的三角函数的定义可知：sinα=45，csα=−35，tanα=−43，
故sinα−csα−11+tanα+10(cs2α−sin2α)=45−(−35)−11−43+10(925−1625)=−4；
(2)sin40°(tan10°− 3)=sin40°(sin10°− 3cs10°cs10°)
=2sin40°(sin10°⋅12−cs10°⋅ 32)cs10°
=2sin40°sin(10°−60°)cs10∘=−2sin40°sin50°cs10∘
=−2sin40°cs40°cs10∘=−sin80°cs10∘=−1．
【解析】(1)由角α的终边经过点P(−3,4)，利用三角函数的定义得到sinα=45，csα=−35，tanα=−43，代入sinα−csα−11+tanα+10(cs2α−sin2α)求解；
(2)利用三角恒等变换求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=cs4x−sin4x−2 3sinxcsx
=(cs2x−sin2x)(cs2x+sin2x)−2 3sinxcsx
=cs2x− 3sin2x=2(12cs2x− 32sin2x)=2cs(2x+π3)，
所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
由2kπ−π≤2x+π3≤2kπ，解得kπ−2π3≤x≤kπ−π6，
所以f(x)单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6],k∈Z；
(2)f(x)=2cs(2x+π3)，x∈[0,π2]⇒2x+π3∈[π3,4π3]，
所以cs(2x+π3)∈[−1,12]⇒f(x)∈[−2,1]，
所以，当2x+π3=π3,x=0时，f(x)取得最大值为1；
当2x+π3=π,x=π3时，f(x)取得最小值为−2．
【解析】(1)化简f(x)的解析式，进而求得f(x)的最小正周期，利用整体代入法求得f(x)的单调递增区间．
(2)利用三角函数最值的求法求得函数f(x)在[0,π2]上的最大值与最小值及相对应的x的值．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式以及倍角公式进行化简，利用三角函数的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得，c=0−b2a=24ac−b24a=−4，
解得，a=1，b=−4，c=0，
所以f(x)=x2−4x，
(2)若∀x∈[1,4]，函数f(x)的图象恒在直线y=(m−2)x−m2的上方，
则需满足f(1)=−3>m−2−m2f(2)=−4>2m−4−m2f(4)=0>4m−8−m2，
解得，m>2或m<1− 52，
所以m的范围为{m|m>2或m<1− 52}.
【解析】(1)由已知结合二次函数取得最值的条件及f(0)=0，可建立关于a，b，c的方程，可求；
(2)结合已知二次函数与此时函数的性质可建立关于m的不等式组，解不等式可求m的范围．
本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设花坛的面积为S平方米．S=12r22θ−12r12θ…(2分)
=12×36×π3−12×9×π3=92π(m2)…(4分)
答：花坛的面积为92π(m2)；…(5分)
(2)AB的长为r1θ米，CD的长为r2θ米，线段AD的长为(r2−r1)米
由题意知60⋅2(r2−r1)+90(r1θ+r2θ)=1200
即4(r2−r1)+3(r2θ+r1θ)=40*…(7分)
S=12r22θ−12r12θ=12(r2θ+r1θ)(r2−r1)…(9分)
由*式知，r2θ+r1θ=403−43(r2−r1)…(11分)
记r2−r1=x，则0所以S=12(403−43x)x=−23(x−5)2+503,x∈(0,10)…(13分)
当x=5时，S取得最大值，即r2−r1=5时，花坛的面积最大．…(15分)
答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…(16分)
【解析】(1)设花坛的面积为S平方米．S=12r22θ−12r12θ，即可得出结论；
(2)记r2−r1=x，则0本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=ln(ex+1)−αx是偶函数，∴f(−x)=f(x)，
f(−x)−f(x)=0⇒ln(e−x+1)+ax−(ln(ex+1)−ax)=0，
ln(ex+1)−x+2ax−ln(ex+1)=0⇒(2a−1)x=0⇒a=12，
又∵g(x)=ex+be−x是奇函数⇒g(0)=0⇒1+b=0⇒b=−1，
经检验，a=12,b=−1时符合题意．
(2)由题可知b=−1，g(x)=ex−e−x在R上单调递增，
证明：设∀x1，x2∈R，且x1g(x1)−g(x2)=ex1−e−x1−(ex2−e−x2)=ex1−ex2+e−x2−e−x1=(ex1−ex2)(ex2⋅ex1+1)ex2⋅ex1，
∵x10，
∴g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)∴g(x)在R上单调递增．
(3)由题(2)可知g(x)单调递增，则不等式g(f(x))>g(m−x)在[1,+∞)上恒成立，
⇔f(x)>m−x在[1,+∞)上恒成立⇔m∴m<[ln(ex+1)+12x]min，
∵h(x)=ln(ex+1)+12x在[1,+∞)上单调递增，
∴[ln(ex+1)+12x]min=h(1)=ln(1+e)+12，
∴m∈(−∞,ln(1+e)+12)．
【解析】(1)根据奇偶函数的定义，列方程求解即可；
(2)根据函数单调性的定义及指数函数的单调性求证；
(3)利用单调性脱去“g”可得f(x)>m−x，分离参数求解即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．