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2023-2024学年湖南省岳阳一中高一（下）入学数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省岳阳一中高一（下）入学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.“lg2(2x−3)<1”是“4x>8”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减，则a的取值范围为( )
A. [1,2)B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)
4.设a=lg3e，b=e1.5，c=lg1314，则( )
A. b5.若α∈(0,π)，且csα+sinα=−13，则sinα=( )
A. −1± 176B. −1+ 176C. ± 179D. 179
6.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格，单位为元)与第x季度之间近似满足：y=500sin(ωx+φ)+9500(φ>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )
A. 10000元B. 9500元C. 9000元D. 8500元
7.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )
A. -50B. 0C. 2D. 50
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0)，若f(x)在区间(π,2π)内无最值，则ω的取值范围是( )
A. (0,58]B. (0,18]∪[14,58]C. (0,14)∪(14,58]D. [18,58]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是幂函数，又在(−∞,0)上单调递减的是( )
A. y=−xB. y=x−2C. y=x−1D. y=x2
10.已知x，y是正数，且x+y=2，下列叙述正确的是( )
A. xy最大值为1B. 2x+2y有最大值4
C. x+ y的最大值为2D. 1x+4y的最小值为9
11.关于函数f(x)=sin2x−cs2x，下列命题中真命题的是( )
A. 函数y=f(x)的周期为π
B. 直线x=π4是y=f(x)的一条对称轴
C. 点(π8,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心
D. 将y=f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y= 2sin2x的图象
12.对于函数f(x)=12(sinx+csx)−12|sinx−csx|，下列说法正确的是( )
A. f(x)的值域为[−1,1]
B. 函数f(x)的最小正周期是2π
C. 当且仅当x=π2+2kπ(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值
D. 当且仅当x∈(2kπ,π2+2kπ)(k∈Z)时，f(x)>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={a}，若A∪B={a,b,c}，则满足条件的B集合有______个．
14.若函数f(x)=ax+a−1,x>0−x2−(a−2)x,x≤0是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是______．
15.函数f(x)=x+2csx在区间[−π2,0]上的最小值是 ．
16.函数y=11−x,x≠10,x=1的图象与函数y=2sinπx(−2020≤x≤2022)的图象所有交点的横坐标之和等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的不等式−x2+ax+b>0．
(1)若该不等式的解集为(−4,2)，求a，b的值；
(2)若b=a+1，求此不等式的解集．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sin(ωx+π4)(ω>0)图象的两相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出使函数取得最大值的x的集合；
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间．
19.(本小题12分)
已知f(x)=a−22x+1是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值，判断f(x)的单调性并证明；
(2)若f(−2x2+x)+f(−2x2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
20.(本小题12分)
世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽(柴)油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)(万元)，且C(x)=10x2+100x,0(1)求出2023年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sin(12x−π4),x∈R．
(1)用五点作图法画出函数f(x)在一个周期上的简图；
(2)若f(α)=32,α∈[π2,9π2]，求α．
22.(本小题12分)
已知a<0，函数f(x)=acsx+ 1+sinx+ 1−sinx，其中x∈[−π2,π2]．
(1)设t= 1+sinx+ 1−sinx，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数g(t)；
(2)求函数f(x)的最大值(可以用a表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−x−6⩾0，∴(x−3)(x+2)⩾0，∴x⩾3或x⩽−2，
N=(−∞,−2]∪[3,+∞)，则M∩N={−2}．
故选：C．
先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用函数的单调性分别化简lg2(2x−3)<1，4x>8，即可判断出结论．
【解答】
解：lg2(2x−3)<1，化为0<2x−3<2，解得324x>8，即22x>23，解得x>32，即x∈(32,+∞)
∵(32,52)⫋(32,+∞)，
∴“lg2(2x−3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：令u=x2−2ax+1+a，则f(u)=lgu，
配方得u=x2−2ax+1+a=(x−a)2−a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：
由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2−2ax+1+a在区间(−∞,1]上单调递减，
又真数x2−2ax+1+a>0，二次函数u=x2−2ax+1+a在(−∞,1]上单调递减，
故只需当x=1时，若x2−2ax+1+a>0，
则x∈(−∞,1]时，真数x2−2ax+1+a>0，
代入x=1解得a<2，所以a的取值范围是[1,2)
故选：A．
由题意，在区间(−∞,1]上，a的取值需令真数x2−2ax+1+a>0，且函数u=x2−2ax+1+a在区间(−∞,1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．
4.【答案】D
【解析】解：0=lg31e>2，1=lg1313∴a故选：D．
容易看出，02,1考查对数函数、指数函数的单调性，对数的运算，增函数和减函数的定义．
5.【答案】B
【解析】解：由已知可得，α∈(π2,π)，
所以sinα>0，csα<0．
由csα+sinα=−13cs2α+sin2α=1，
可得sinα=−1+ 176csα=−1+ 176．
故选：B．
由已知可得α∈(π2,π)，联立方程组csα+sinα=−13cs2α+sin2α=1，求解即可得出答案．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由表格数据可知，10000=500sin(ω+φ)+9500，
9500=500sin(2ω+φ)+9500，
∴sin(ω+φ)=1，sin(2ω+φ)=0；
{ω+φ=π2+2k1π,k1∈Z①2ω+φ=k2π,k2∈Z②
2×②−①可得3ω+φ=2(k2−k1)π−π2,(k2−k1)∈Z，
∴x=3时，y=500sin3ω+φ+9500
=500sin[2(k2−k1)π−π2]+9500
=−500sin(π2)+9500=9000
故选C．
根据表格数据可求的三角函数模型，再利用三角函数模型可求此楼群在第三季度的平均单价．
本题以表格为载体考查三角函数模型的运用，解题的关键是合理运用表格数据，求出三角函数模型，从而解决实际问题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数f(x)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】
解：∵f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，
∴f(0)=0，f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，
则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
即函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∵f(1)=2，
∴f(2)=−f(0)=0，f(3)=−f(1)=−2，
f(4)=f(0)=0，
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0−2+0=0，
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)
=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)
=f(1)+f(2)=2+0=2，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0) 在区间(π,2π)内无最值，
∴区间(π,2π)是函数的一个单调区间，
故有kπ−π2≤ωπ+π4，2ωπ+π4≤kπ+π2，k∈Z．
求得k−34≤ω≤k2+18．
取k=0，可得0<ω≤18；取k=1，可得14≤ω≤58，
故选：B．
由题意可得区间(π,2π)是函数的一个单调区间，故有 kπ−π2≤ωπ+π4，2ωπ+π4≤kπ+π2，k∈Z，由此求得ω的取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：因为幂函数的解析式为：y=xα，排除A，
又y=x−2=1x2在(0,+∞)上单调递增，
而y=x−1，y=x2都是幂函数，且在(−∞,0)上单调递减；
故选：CD．
直接根据幂函数解析式的特点以及幂函数的单调性即可求解结论．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：∵x，y是正数，2=x+y≥2 xy，当且仅当x=y时取等号，此时xy≤1，故A正确；
2x+2y≥2 2x⋅2y=2 2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，故B错误；
因为( x+ y)2=x+y+2 xy≤2(x+y)=4，则 x+ y≤2，当且仅当x=y=1时取等号，故C正确；
对于D，1x+4y=12(1x+4y)(x+y)=12(5+yx+4xy)≥12(5+2 yx×4xy)=92，当且仅当y=2x时取等号，故D错误．
故选：AC．
根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x)=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)
∵ω=2，故T=2π2=π，故A为真命题；
当x=π4时，2x−π4=π4终边不在y轴上，故直线x=π4不是y=f(x)的一条对称轴，故B为假命题；
当x=π8时，2x−π4=0，终边落在x轴上，故点(π8,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心，故C为真命题；
将y=f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y= 2sin[2(x+π8)−π4]= 2sin2x的图象，故D为真命题；
故选：ACD．
根据和差角公式化简函数f(x)的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答的关键．
12.【答案】BD
【解析】解：因为函数f(x)=12(sinx+csx)−12|sinx−csx|，
所以f(x)=csx,x∈[π4+2kπ,5π4+2kπ],k∈Zsinx,x∈(−3π4+2kπ,π4+2kπ),k∈Z，
作出函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的值域为[−1, 22]，故选项A错误；
函数f(x)的最小正周期为2π，故选项B正确；
当且仅当x=2kπ+π4,k∈Z时，函数f(x)取得最大值 22，故选项C错误；
当且仅当x∈(2kπ,2kπ+π2),k∈Z时，f(x)>0，故选项D正确．
故选：BD．
利用绝对值的定义，将函数转化为分段函数，作出函数图象，分析判断四个选项即可．
本题考查了含有绝对值的函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：∵集合A={a}，A∪B={a,b,c}，
∴满足条件的集合B有：
{b,c}，{a,b,c}，
∴满足条件的集合B有2个．
故答案为：2．
利用列举法能求出满足条件的集合B的个数．
本题考查满足条件的集合个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】[2,+∞)
【解析】解：若函数f(x)=ax+a−1,x>0−x2−(a−2)x,x≤0是R上的单调递增函数，
则a>01−a2≤0a−1≥0，
解得a≥2．
则实数a的取值范围是[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)．
利用一次函数、二次函数的单调性和增函数的性质能求出实数a的取值范围．
本题考查一次函数、二次函数的单调性和增函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】−π2
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，关键是正确计算函数的导数，并由此分析函数的单调性，属于基础题．
根据题意，对函数f(x)求导可得f′(x)=1−2sinx，分析可得x∈[−π2,0]时，f′(x)=1−2sinx在[−π2,0]上恒大于0，即可得f(x)在区间[−π2,0]上为增函数，则有f(x)min=f(−π2)，代入计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=x+2csx，
则其导数f′(x)=1−2sinx，
当x∈[−π2,0]时，−1⩽sinx⩽0，
则f′(x)=1−2sin x>0，
∴f(x)在区间[−π2,0]上为增函数，
∴f(x)min=f(−π2)=−π2．
故答案为−π2．
16.【答案】4045
【解析】解：作图如下：
因为函数y=11−x,x≠10,x=1的图象关于点(1,0)对称，函数y=2sinπx的图象也关于点(1,0)对称，
所以函数y=11−x,x≠10,x=1的图象与函数y=2sinπx的图象所有交点关于点(1,0)对称，
又因为y=2sinπx的最小正周期T=2ππ=2，
由函数图象可知在[0,2]这个周期内有5个交点，其余每个周期内有2个交点，
即在[2,2022]内有2022−22×2=2020个交点，在[−2020,0]内有0−(−2020)2×2=2020个交点，
另还有交点(1,0)，
所以所有交点的横坐标之和为2020×2+5=4045，
故答案为：4045．
函数y=11−x,x≠10,x=1的图象与函数y=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0)，作出图象，数形结合即可得到答案．
本题考查函数交点个数的求解，数形结合是解题的关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵关于x的不等式−x2+ax+b>0的解集为(−4,2)，
∵方程−x2+ax+b=0两根为−4和2，
∴a=−4+2−b=−4×2∴a=−2，b=8．
(2)∵b=a+1，∴原不等式可化为x2−ax−(a+1)<0，
∴(x−a−1)(x+1)<0，
①当a+1<−1，即a<−2时，∴a+1②当a+1=−1，即a=−2时，∴x∈⌀，
③当a+1>−1，即a>−2时，∴−1综上，当a<−2时，不等式的解集为(a+1,−1)，
当a=−2时，不等式的解集为⌀，
当a>−2时，不等式的解集为(−1,a+1)．
【解析】(1)由不等式的解集为(−4,2)，利用韦达定理建立关于a和b的方程，然后求出a和b即可．
(2)将b=a+1代入不等式中，然后得到(x−a−1)(x+1)<0，再分a<−2，a=−2和a>−2三种情况求出不等式的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了方程思想和分类讨论思想，属中档题．
18.【答案】解：(1)因为两相邻对称轴之间的距离为π2，可知函数的周期T=π，……(2分)
∴ω=2，……(3分)
f(x)=3sin(2x+π4)，……(4分)
当2x+π4=π2+2kπ,x=π8+kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)取得最大值3，使函数取得最大值的x的集合为{x|x=π8+kπ,k∈Z}.……(6分)
(2)对于y=sinx的单调递减区间为[π2+2kπ,3π2+2kπ],(k∈Z)
故有π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,(k∈Z)……(8分)
解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,(k∈Z)……(10分)
当k=0时，π8≤x≤5π8，此时x∈[0,π]；……(11分)
当k=1时，9π8≤x≤13π8，此时x∉[0,π]，
所以函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[π8,5π8].……(12分)
【解析】(1)利用函数的周期，求解ω，然后求解函数的解析式，利用函数的最大值求解x的集合即可．
(2)利用正弦函数的单调性，转化求解函数的单调区间即可．
本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调区间的求法，是中档题．
19.【答案】解：(1)因为y=f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)=0，
即f(0)=a−1=0，
所以a=1，经检验符合题意．
所以f(x)=1−22x+1，
函数f(x)=1−22x+1在R上是单调递增函数，
证明如下：
对于∀x1，x2∈R，设x1则f(x1)−f(x2)=(1−22x1+1)−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为x12x1，2x1+1>0，2x2+1>0，
所以2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，
所以f(x1)即函数f(x)=1−22x+1在R上是单调递增函数．
(2)f(−2x2+x)+f(−2x2−k)<0等价于f(−2x2+x)<−f(−2x2−k)=f(2x2+k)，
因为f(x)是R上的单调增函数，所以−2x2+x<2x2+k，即4x2−x+k>0恒成立，
所以Δ=1−16k<0，解得k>116，
所以k的取值范围为(116,+∞)．
【解析】(1)利用奇函数的性质即可求解a=1，即可由单调性的定义求证，
(2)由(1)的单调性，即可结合奇偶性将问题转化为4x2−x+k>0恒成立，即可由判别式求解．
本题考查了奇函数的性质、对函数单调性的判断及证明、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题知：利润L(x)=收入−总成本，
所以利润L(x)=5x×100−2000−C(x)=−10x2+400x−2000,0故2023年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式为L(x)=−10x2+400x−2000,0(2)当0又因为30≤c≤90，故当x=20时，L(x)max=2000；
当x≥c时，若30≤c≤60，则L(x)=−x−3600x+2500≤−2 x⋅3600x+2500=2380，
当且仅当x=3600x，即x=60时取得等号，L(x)max=2380>2000；
此时x=60时，L(x)max=2380万元．
若60所以当x=c时，L(x)max=−c−3600c+2500．
又y=−c−3600c+2500在c∈(60,90]上单调递减，
所以2500−c−3600c≥2500−90−40=2370>2000，
此时，当x=c时，L(x)max=−c−3600c+2500，
综上所述，若30≤c≤60，当产量为60(百辆)时，取得最大利润，最大利润为2380万元；
若60【解析】(1)根据利润L(x)=收入−总成本，结合题设即可求得答案；
(2)当0本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由“五点作图法”列表如下：
图象如下：
(2)由f(α)=32，从而可得sin(12α−π4)=12，
所以12α−π4=π6+2kπ，k∈Z，或12α−π4=5π6+2kπ，k∈Z，
可得α=5π6+4kπ，k∈Z，或α=13π6+4kπ,k∈Z，
又因为α∈[π2,9π2]，
所以k取0，得α=5π6或α=13π6．
【解析】(1)由题意利用“五点作图法”即可求解；
(2)由题意可得sin(12α−π4)=12，结合α∈[π2,9π2]，即可求解得α=5π6或α=13π6．
本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)∵t2=( 1+sinx+ 1−sinx)2=2+2 1−sin2x=2+2|csx|，
又∵x∈[−π2,π2]，
∴csx>0，
从而t2=2+2csx，
∴t2∈[2,4]．
又∵t>0，
∴t∈[ 2,2]，
∵csx=12t2−1，
∴g(t)=12at2+t−a,t∈[ 2,2]；
(2)求函数f(x)的最大值即求g(t)=12at2+t−a,t∈[ 2,2]的最大值，
可得g(t)=12a(t2+2at)−a=12a(t+1a)2−a−12a，对称轴为t=−1a，
当−1a≤ 2，即a≤− 22时，g(t)max=g( 2)= 2；
当 2<−1a<2，即− 22当−1a≥2，即−12≤a<0时，g(t)max=g(2)=a+2；
综上可得，当a≤− 22时，f(x)的最大值是 2；当− 22【解析】(1)将t平方，利用同角三角函数的平方关系及角的范围化简计算即可；
(2)利用(1)的结论，及二次函数的性质分类讨论计算即可．
本题考查了同角三角函数的平方关系以及二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．x
1
2
3
y
10000
9500
？
x
π2
3π2
5π2
7π2
9π2
12x−π4
0
π2
π
3π2
2π
3sin(12x−π4)
0
3
0
−3
0
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.“lg2(2x−3)<1”是“4x>8”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减，则a的取值范围为( )
A. [1,2)B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)
4.设a=lg3e，b=e1.5，c=lg1314，则( )
A. b
A. −1± 176B. −1+ 176C. ± 179D. 179
6.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格，单位为元)与第x季度之间近似满足：y=500sin(ωx+φ)+9500(φ>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )
A. 10000元B. 9500元C. 9000元D. 8500元
7.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )
A. -50B. 0C. 2D. 50
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0)，若f(x)在区间(π,2π)内无最值，则ω的取值范围是( )
A. (0,58]B. (0,18]∪[14,58]C. (0,14)∪(14,58]D. [18,58]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是幂函数，又在(−∞,0)上单调递减的是( )
A. y=−xB. y=x−2C. y=x−1D. y=x2
10.已知x，y是正数，且x+y=2，下列叙述正确的是( )
A. xy最大值为1B. 2x+2y有最大值4
C. x+ y的最大值为2D. 1x+4y的最小值为9
11.关于函数f(x)=sin2x−cs2x，下列命题中真命题的是( )
A. 函数y=f(x)的周期为π
B. 直线x=π4是y=f(x)的一条对称轴
C. 点(π8,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心
D. 将y=f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y= 2sin2x的图象
12.对于函数f(x)=12(sinx+csx)−12|sinx−csx|，下列说法正确的是( )
A. f(x)的值域为[−1,1]
B. 函数f(x)的最小正周期是2π
C. 当且仅当x=π2+2kπ(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值
D. 当且仅当x∈(2kπ,π2+2kπ)(k∈Z)时，f(x)>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={a}，若A∪B={a,b,c}，则满足条件的B集合有______个．
14.若函数f(x)=ax+a−1,x>0−x2−(a−2)x,x≤0是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是______．
15.函数f(x)=x+2csx在区间[−π2,0]上的最小值是 ．
16.函数y=11−x,x≠10,x=1的图象与函数y=2sinπx(−2020≤x≤2022)的图象所有交点的横坐标之和等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的不等式−x2+ax+b>0．
(1)若该不等式的解集为(−4,2)，求a，b的值；
(2)若b=a+1，求此不等式的解集．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sin(ωx+π4)(ω>0)图象的两相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出使函数取得最大值的x的集合；
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间．
19.(本小题12分)
已知f(x)=a−22x+1是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值，判断f(x)的单调性并证明；
(2)若f(−2x2+x)+f(−2x2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
20.(本小题12分)
世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽(柴)油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)(万元)，且C(x)=10x2+100x,0
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sin(12x−π4),x∈R．
(1)用五点作图法画出函数f(x)在一个周期上的简图；
(2)若f(α)=32,α∈[π2,9π2]，求α．
22.(本小题12分)
已知a<0，函数f(x)=acsx+ 1+sinx+ 1−sinx，其中x∈[−π2,π2]．
(1)设t= 1+sinx+ 1−sinx，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数g(t)；
(2)求函数f(x)的最大值(可以用a表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−x−6⩾0，∴(x−3)(x+2)⩾0，∴x⩾3或x⩽−2，
N=(−∞,−2]∪[3,+∞)，则M∩N={−2}．
故选：C．
先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用函数的单调性分别化简lg2(2x−3)<1，4x>8，即可判断出结论．
【解答】
解：lg2(2x−3)<1，化为0<2x−3<2，解得32
∵(32,52)⫋(32,+∞)，
∴“lg2(2x−3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：令u=x2−2ax+1+a，则f(u)=lgu，
配方得u=x2−2ax+1+a=(x−a)2−a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：
由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2−2ax+1+a在区间(−∞,1]上单调递减，
又真数x2−2ax+1+a>0，二次函数u=x2−2ax+1+a在(−∞,1]上单调递减，
故只需当x=1时，若x2−2ax+1+a>0，
则x∈(−∞,1]时，真数x2−2ax+1+a>0，
代入x=1解得a<2，所以a的取值范围是[1,2)
故选：A．
由题意，在区间(−∞,1]上，a的取值需令真数x2−2ax+1+a>0，且函数u=x2−2ax+1+a在区间(−∞,1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．
4.【答案】D
【解析】解：0=lg31
容易看出，0
5.【答案】B
【解析】解：由已知可得，α∈(π2,π)，
所以sinα>0，csα<0．
由csα+sinα=−13cs2α+sin2α=1，
可得sinα=−1+ 176csα=−1+ 176．
故选：B．
由已知可得α∈(π2,π)，联立方程组csα+sinα=−13cs2α+sin2α=1，求解即可得出答案．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由表格数据可知，10000=500sin(ω+φ)+9500，
9500=500sin(2ω+φ)+9500，
∴sin(ω+φ)=1，sin(2ω+φ)=0；
{ω+φ=π2+2k1π,k1∈Z①2ω+φ=k2π,k2∈Z②
2×②−①可得3ω+φ=2(k2−k1)π−π2,(k2−k1)∈Z，
∴x=3时，y=500sin3ω+φ+9500
=500sin[2(k2−k1)π−π2]+9500
=−500sin(π2)+9500=9000
故选C．
根据表格数据可求的三角函数模型，再利用三角函数模型可求此楼群在第三季度的平均单价．
本题以表格为载体考查三角函数模型的运用，解题的关键是合理运用表格数据，求出三角函数模型，从而解决实际问题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数f(x)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】
解：∵f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，
∴f(0)=0，f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，
则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
即函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∵f(1)=2，
∴f(2)=−f(0)=0，f(3)=−f(1)=−2，
f(4)=f(0)=0，
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0−2+0=0，
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)
=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)
=f(1)+f(2)=2+0=2，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0) 在区间(π,2π)内无最值，
∴区间(π,2π)是函数的一个单调区间，
故有kπ−π2≤ωπ+π4，2ωπ+π4≤kπ+π2，k∈Z．
求得k−34≤ω≤k2+18．
取k=0，可得0<ω≤18；取k=1，可得14≤ω≤58，
故选：B．
由题意可得区间(π,2π)是函数的一个单调区间，故有 kπ−π2≤ωπ+π4，2ωπ+π4≤kπ+π2，k∈Z，由此求得ω的取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：因为幂函数的解析式为：y=xα，排除A，
又y=x−2=1x2在(0,+∞)上单调递增，
而y=x−1，y=x2都是幂函数，且在(−∞,0)上单调递减；
故选：CD．
直接根据幂函数解析式的特点以及幂函数的单调性即可求解结论．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：∵x，y是正数，2=x+y≥2 xy，当且仅当x=y时取等号，此时xy≤1，故A正确；
2x+2y≥2 2x⋅2y=2 2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，故B错误；
因为( x+ y)2=x+y+2 xy≤2(x+y)=4，则 x+ y≤2，当且仅当x=y=1时取等号，故C正确；
对于D，1x+4y=12(1x+4y)(x+y)=12(5+yx+4xy)≥12(5+2 yx×4xy)=92，当且仅当y=2x时取等号，故D错误．
故选：AC．
根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x)=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)
∵ω=2，故T=2π2=π，故A为真命题；
当x=π4时，2x−π4=π4终边不在y轴上，故直线x=π4不是y=f(x)的一条对称轴，故B为假命题；
当x=π8时，2x−π4=0，终边落在x轴上，故点(π8,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心，故C为真命题；
将y=f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y= 2sin[2(x+π8)−π4]= 2sin2x的图象，故D为真命题；
故选：ACD．
根据和差角公式化简函数f(x)的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答的关键．
12.【答案】BD
【解析】解：因为函数f(x)=12(sinx+csx)−12|sinx−csx|，
所以f(x)=csx,x∈[π4+2kπ,5π4+2kπ],k∈Zsinx,x∈(−3π4+2kπ,π4+2kπ),k∈Z，
作出函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的值域为[−1, 22]，故选项A错误；
函数f(x)的最小正周期为2π，故选项B正确；
当且仅当x=2kπ+π4,k∈Z时，函数f(x)取得最大值 22，故选项C错误；
当且仅当x∈(2kπ,2kπ+π2),k∈Z时，f(x)>0，故选项D正确．
故选：BD．
利用绝对值的定义，将函数转化为分段函数，作出函数图象，分析判断四个选项即可．
本题考查了含有绝对值的函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：∵集合A={a}，A∪B={a,b,c}，
∴满足条件的集合B有：
{b,c}，{a,b,c}，
∴满足条件的集合B有2个．
故答案为：2．
利用列举法能求出满足条件的集合B的个数．
本题考查满足条件的集合个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】[2,+∞)
【解析】解：若函数f(x)=ax+a−1,x>0−x2−(a−2)x,x≤0是R上的单调递增函数，
则a>01−a2≤0a−1≥0，
解得a≥2．
则实数a的取值范围是[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)．
利用一次函数、二次函数的单调性和增函数的性质能求出实数a的取值范围．
本题考查一次函数、二次函数的单调性和增函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】−π2
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，关键是正确计算函数的导数，并由此分析函数的单调性，属于基础题．
根据题意，对函数f(x)求导可得f′(x)=1−2sinx，分析可得x∈[−π2,0]时，f′(x)=1−2sinx在[−π2,0]上恒大于0，即可得f(x)在区间[−π2,0]上为增函数，则有f(x)min=f(−π2)，代入计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=x+2csx，
则其导数f′(x)=1−2sinx，
当x∈[−π2,0]时，−1⩽sinx⩽0，
则f′(x)=1−2sin x>0，
∴f(x)在区间[−π2,0]上为增函数，
∴f(x)min=f(−π2)=−π2．
故答案为−π2．
16.【答案】4045
【解析】解：作图如下：
因为函数y=11−x,x≠10,x=1的图象关于点(1,0)对称，函数y=2sinπx的图象也关于点(1,0)对称，
所以函数y=11−x,x≠10,x=1的图象与函数y=2sinπx的图象所有交点关于点(1,0)对称，
又因为y=2sinπx的最小正周期T=2ππ=2，
由函数图象可知在[0,2]这个周期内有5个交点，其余每个周期内有2个交点，
即在[2,2022]内有2022−22×2=2020个交点，在[−2020,0]内有0−(−2020)2×2=2020个交点，
另还有交点(1,0)，
所以所有交点的横坐标之和为2020×2+5=4045，
故答案为：4045．
函数y=11−x,x≠10,x=1的图象与函数y=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0)，作出图象，数形结合即可得到答案．
本题考查函数交点个数的求解，数形结合是解题的关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵关于x的不等式−x2+ax+b>0的解集为(−4,2)，
∵方程−x2+ax+b=0两根为−4和2，
∴a=−4+2−b=−4×2∴a=−2，b=8．
(2)∵b=a+1，∴原不等式可化为x2−ax−(a+1)<0，
∴(x−a−1)(x+1)<0，
①当a+1<−1，即a<−2时，∴a+1
③当a+1>−1，即a>−2时，∴−1
当a=−2时，不等式的解集为⌀，
当a>−2时，不等式的解集为(−1,a+1)．
【解析】(1)由不等式的解集为(−4,2)，利用韦达定理建立关于a和b的方程，然后求出a和b即可．
(2)将b=a+1代入不等式中，然后得到(x−a−1)(x+1)<0，再分a<−2，a=−2和a>−2三种情况求出不等式的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了方程思想和分类讨论思想，属中档题．
18.【答案】解：(1)因为两相邻对称轴之间的距离为π2，可知函数的周期T=π，……(2分)
∴ω=2，……(3分)
f(x)=3sin(2x+π4)，……(4分)
当2x+π4=π2+2kπ,x=π8+kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)取得最大值3，使函数取得最大值的x的集合为{x|x=π8+kπ,k∈Z}.……(6分)
(2)对于y=sinx的单调递减区间为[π2+2kπ,3π2+2kπ],(k∈Z)
故有π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,(k∈Z)……(8分)
解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,(k∈Z)……(10分)
当k=0时，π8≤x≤5π8，此时x∈[0,π]；……(11分)
当k=1时，9π8≤x≤13π8，此时x∉[0,π]，
所以函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[π8,5π8].……(12分)
【解析】(1)利用函数的周期，求解ω，然后求解函数的解析式，利用函数的最大值求解x的集合即可．
(2)利用正弦函数的单调性，转化求解函数的单调区间即可．
本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调区间的求法，是中档题．
19.【答案】解：(1)因为y=f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)=0，
即f(0)=a−1=0，
所以a=1，经检验符合题意．
所以f(x)=1−22x+1，
函数f(x)=1−22x+1在R上是单调递增函数，
证明如下：
对于∀x1，x2∈R，设x1
因为x1
所以2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，
所以f(x1)
(2)f(−2x2+x)+f(−2x2−k)<0等价于f(−2x2+x)<−f(−2x2−k)=f(2x2+k)，
因为f(x)是R上的单调增函数，所以−2x2+x<2x2+k，即4x2−x+k>0恒成立，
所以Δ=1−16k<0，解得k>116，
所以k的取值范围为(116,+∞)．
【解析】(1)利用奇函数的性质即可求解a=1，即可由单调性的定义求证，
(2)由(1)的单调性，即可结合奇偶性将问题转化为4x2−x+k>0恒成立，即可由判别式求解．
本题考查了奇函数的性质、对函数单调性的判断及证明、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题知：利润L(x)=收入−总成本，
所以利润L(x)=5x×100−2000−C(x)=−10x2+400x−2000,0
当x≥c时，若30≤c≤60，则L(x)=−x−3600x+2500≤−2 x⋅3600x+2500=2380，
当且仅当x=3600x，即x=60时取得等号，L(x)max=2380>2000；
此时x=60时，L(x)max=2380万元．
若60
又y=−c−3600c+2500在c∈(60,90]上单调递减，
所以2500−c−3600c≥2500−90−40=2370>2000，
此时，当x=c时，L(x)max=−c−3600c+2500，
综上所述，若30≤c≤60，当产量为60(百辆)时，取得最大利润，最大利润为2380万元；
若60
(2)当0
21.【答案】解：(1)由“五点作图法”列表如下：
图象如下：
(2)由f(α)=32，从而可得sin(12α−π4)=12，
所以12α−π4=π6+2kπ，k∈Z，或12α−π4=5π6+2kπ，k∈Z，
可得α=5π6+4kπ，k∈Z，或α=13π6+4kπ,k∈Z，
又因为α∈[π2,9π2]，
所以k取0，得α=5π6或α=13π6．
【解析】(1)由题意利用“五点作图法”即可求解；
(2)由题意可得sin(12α−π4)=12，结合α∈[π2,9π2]，即可求解得α=5π6或α=13π6．
本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)∵t2=( 1+sinx+ 1−sinx)2=2+2 1−sin2x=2+2|csx|，
又∵x∈[−π2,π2]，
∴csx>0，
从而t2=2+2csx，
∴t2∈[2,4]．
又∵t>0，
∴t∈[ 2,2]，
∵csx=12t2−1，
∴g(t)=12at2+t−a,t∈[ 2,2]；
(2)求函数f(x)的最大值即求g(t)=12at2+t−a,t∈[ 2,2]的最大值，
可得g(t)=12a(t2+2at)−a=12a(t+1a)2−a−12a，对称轴为t=−1a，
当−1a≤ 2，即a≤− 22时，g(t)max=g( 2)= 2；
当 2<−1a<2，即− 22
综上可得，当a≤− 22时，f(x)的最大值是 2；当− 22
(2)利用(1)的结论，及二次函数的性质分类讨论计算即可．
本题考查了同角三角函数的平方关系以及二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．x
1
2
3
y
10000
9500
？
x
π2
3π2
5π2
7π2
9π2
12x−π4
0
π2
π
3π2
2π
3sin(12x−π4)
0
3
0
−3
0
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