2023-2024学年湖南省长沙市德成学校高一（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市德成学校高一（下）入学数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知空集{x|x2−x+a=0}，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−14)B. (−∞,14]C. [14,+∞)D. (14,+∞)
2.已知函数f(x)=x2−2x+3，则f(x)在区间[0,3]的值域为( )
A. [3,6]B. [2,6]C. [2,3]D. (3,6)
3.“a≥4”是“函数f(x)=ax2+ax+1存在零点”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知关于x的不等式x2−4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，则有( )
A. m≤−4B. m≥−3C. −3≤m<0D. −4≤m<0
5.下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A. f(x)=x0与g(x)=1B. f(x)=lg2x2与g(x)=2lg2x
C. f(x)=( x)2x与g(x)=x( x)2D. f(x)=x2与g(x)=(x−1)2
6.已知f(x)是奇函数，当x>0时f(x)=−x(1+x)，当x<0时，f(x)等于
( )
A. −x(1−x)B. x(1−x)C. −x(1+x)D. x(1+x)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.下列命题中，真命题是( )
A. ∃m∈R，使f(x)=−2x3+mx2为奇函数
B. ∃m∈R，使f(x)=mx2+3x为偶函数
C. ∀m∈R，使f(x)=x6+m都为偶函数
D. ∀m∈R，使f(x)=2x3−mx2都为奇函数
8.集合A={x|x−2x+1<0}也可以写成( )
A. {x|(x−2)(x+1)<0}B. {x|x+1x−2<0}
C. {x|x<−1或x>2}D. (−1,2)
9.下列选项正确的是( )
A. 若aB. 若aab>b2
C. 若正实数x，y满足x+2y=1，则2x+1y的最小值为8
D. y= x2+3+1 x2+3的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
10.集合{0,1,2}的所有子集个数为______．
11.函数f(x)=tanx在[−π3,π4]上的最大值为 ．
12.已知A为锐角，且sinA+csA= 62，则sinAcsA= ______．
四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
化简下列各式：
(1)lg23×lg34×lg45×lg52；
(2)2(lg43+lg83)(lg32+lg92)．
14.(本小题12分)
已知集合U=R，A={x|2≤x≤5}，B={x|3≤x≤7}．
(1)求A∩B；
(2)求A∪B；
(3)求A∩(∁UB)．
15.(本小题13分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象(如图所示)，请根据图象解答下列问题．
(1)作出x>0时，函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的增区间；
(2)写出当x>0时，f(x)的解析式．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，二次方程x2−x+a=0无解，故1−4a<0，解得a∈(14,+∞)．
故选：D．
根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可．
本题考查集合的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x2−2x+3=(x−1)2+2的对称轴x=1
∴函数f(x)在(−∞,1]上单调递减，在[1,+∞)单调递增
∴f(x)在区间[0,1]单调递减，在[1,3]单调递增
当x=1时，函数有最小值2；当x=3，函数有最大值6
∴函数的值域为[2,6]
故选：B．
由f(x)=x2−2x+3=(x−1)2+2的对称轴x=1可判断函数f(x)在区间[0,1]，[1,3]单调性，从而可判断函数的值域
本题主要考查了利用配方法求解二次函数在闭区间上的值域，属于基本方法的应用的考查，属于基础性试题
3.【答案】A
【解析】解：设命题p：a≥4，q：函数f(x)=ax2+ax+1存在零点，
充分性，若a≥4，则在函数f(x)=ax2+ax+1中，Δ=a2−4a≥0，故p是q的充分条件，
必要性，若函数f(x)=ax2+ax+1存在零点，当a=0时，f(x)=1无零点，
当a≠0时，则Δ=a2−4a≥0，解得a≥4或a<0，
此时a的取值范围为a≥4或a<0，故p是q的不必要条件，
所以命题p是q的充分不必要条件．
故选：A．
根据二次函数零点问题，充分必要条件定义可判断．
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：令y=x2−4x=(x−2)2−4，x∈(0,3]，
∵二次函数y=x2−4x的图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∴y=x2−4x在(0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，
∴当x=2时，ymin=−4，∴m≤−4．
故选：A．
令y=x2−4x，x∈(0,3]，将问题转化为m≤ymin，根据二次函数的图象与性质，求出最小值，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A：f(x)=x0中{x|x≠0}，g(x)=1中x∈R，即f(x)=x0与g(x)=1的定义域不同，不是同一函数；
对于B：f(x)=lg2x2中{x|x≠0}，g(x)=2lg2x中{x|x>0}，即f(x)=x0与g(x)=1的定义域不同，不是同一函数；
对于C：f(x)=( x)2x=1,g(x)=x( x)2=1，且定义域均为{x|x>0}，是同一函数；
对于D：f(x)=x2与g(x)=(x−1)2的解析式不同，不是同一函数．
故选：C．
通过确定定义域和解析式是否都相同来判断．
本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数表达式的求解，属于基础题．
根据函数奇偶性的定义，即可求解．
【解答】
解：若x<0，则−x>0，
由已知当x>0时，f(x)=−x(x+1)，
∴当−x>0时，可得f(−x)=−(−x)(−x+1)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(−x)=x(−x+1)=−f(x)，
即f(x)=−x(1−x)．
故选A．
7.【答案】AC
【解析】解：对A选项：m=0时，f(x)=−2x3为奇函数，A正确；
对B选项：若f(x)=mx2+3x为偶函数，则f(−x)=mx2−3x，则m的值不存在，故B不正确；
对C选项：若f(x)=x6+m为偶函数，则f(−x)=x6+m=f(x)=x6+m，
所以∀m∈R，使f(x)=x6+m都为偶函数，故C正确；
对D选项：令m=1，f(x)=2x3−x2，由f(−x)=−2x3−x2，所以f(x)≠f(−x)，故D错误．
故选：AC．
特称命题与全称命题真假的判断，主要利用f(−x)=f(x)，f(−x)=−f(x)以及特殊值进行判断．
本题主要考查命题真假的判断，全称命题与特称命题，函数奇偶性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了分式不等式，是基础题．
根据分式不等式的求解，分别判断即可．
【解答】
解：集合A={x|x−2x+1<0}={x|(x−2)(x+1)<0}={x|x+1x−2<0}=(−1,2)，
故选：ABD．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，取a=1，b=2，则1a>1b，故A错误；
对于B，若aab>b2，故B正确；
对于C，若正实数x，y满足x+2y=1，则2x+1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2 4yx⋅xy=8，当且仅当4yx=xy，即x=12，y=14时，等号成立，故C正确；
对于D，y= x2+3+1 x2+3≥2 x2+3⋅1 x2+3=2，当且仅当 x2+3=1 x2+3，即x2=−2时，等号成立，
显然x2不可能等于−2，所以等号取不到，即y= x2+3+1 x2+3的最小值取不到2，故D错误．
故选：BC．
由不等式的性质可判断AB，利用基本不等式可判断CD．
本题主要考查了不等式的性质，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
10.【答案】8
【解析】解：集合{0,1,2}中有3个元素，则其子集有23=8个，
故答案为8．
根据题意，易得集合M中有3个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．
本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有n个元素，则其有2n个子集．
11.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查了正切函数的单调性在最值求解中的应用，属于基础题．
由已知结合正切函数的单调性即可求解函数f(x)=tanx在[−π3,π4]上的最大值．
【解答】
解：∵函数f(x)在[−π3,π4]上单调递增，
∴当x=π4时，函数f(x)取得最大值为f(π4)=1．
故答案为：1．
12.【答案】14
【解析】解：因为A为锐角，且sinA+csA= 62，
所以(sinA+csA)2=32，
即1+2sinAcsA=32，
则sinAcsA=14．
故答案为：14．
由已知结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
13.【答案】解：(1)原式=lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg2lg5=1；
(2)原式=2×(lg32lg2+lg33lg2)(lg2lg3+lg22lg3)=2×5lg36lg2×3lg22lg3=52．
【解析】(1)根据换底公式直接求解即可；
(2)根据换底公式进行求解．
本题主要考查对数的换底公式的应用，掌握换底公式的应用是解题的关键．属基础题．
14.【答案】解：(1)由题意，A∩B={x|3≤x≤5}；
(2)A∪B={x|2≤x≤7}；
(3)∁UB={x|x<3或x>7}，则A∩(∁UB)={x|2≤x<3}．
【解析】(1)根据集合交集的定义求解；
(2)根据集合并集的定义求解；
(3)根据集合补集和交集的定义求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
15.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)的图象为：

由题可知，结合图象有：函数f(x)的增区间为：[−1,0]，[1,+∞)．
(2)当x>0时，−x<0，由题可知：
f(−x)=x2−2x，
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(−x)=f(x)=x2−2x，
所以当x>0时，f(x)=x2−2x．
【解析】(1)利用偶函数的性质，结合图象求出函数的单调区间．
(2)根据已知，利用函数的奇偶性求解．
本题主要考查函数的奇偶性和函数的图像，属于中档题．