2022-2023学年四川省宜宾四中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省宜宾四中高一（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={2,4,6,8,9}，B={1,4,6,9}，则A∩B等于( )
A. {4,6,9}B. {1,2,8}C. {1,2,4,6,8,9}D. {4,6}
2.命题“∀x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x3−x2+1≥0B. ∃x∈R，x3−x2+1>0
C. ∃x∈R，x3−x2+1≤OD. ∀x∈R，x3−x2+1>0
3.已知函数f(x)=x+1,x≤01x−100,x>0，则f(f(1100))=( )
A. 0B. 110C. 1100D. 1
4.已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为( )
A. 8 2B. 4 2C. 8D. 2
5.函数f(x)=x2cs2x2x+2−x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=ex−e−x，则a=f(0.40.6)，b=f(0.60.6)，c=f(0.40.4)的大小关系为( )
A. b7.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t后的温度T满足T−Ta=(12)th(T0−Ta)，其中Ta是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待( )
(参考数据：lg3≈0.4771，lg5≈0.6990，lg11≈1.0414.)
A. 4分钟B. 5分钟C. 6分钟D. 7分钟
8.已知函数f(x)=−x,x≤0−x2+2x,x>0，若方程f2(x)+bf(x)+14=0有六个相异实根，则实数b的取值范围( )
A. (−2,0)B. (−2,−1)C. (−54,0)D. (−54,−1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个关系中正确的是( )
A. 1⊆{1,2,3}B. {1}∈{1,2,3}C. {1,2}⊆{1,2}D. ⌀⊆{1}
10.若关于x的二次不等式ax2+bx+1>0的解集为(−1,13)，则下列说法正确的是( )
A. a<0
B. a+b=−5
C. ax2+x−b>0的解集是(−23,1)
D. ax2+x−b>0的解集是(−∞,−23)∪(1,+∞)
11.下列说法正确的是( )
A. x+1x(x>0)的最小值是2B. x2+2 x2+2的最小值是 2
C. x2+5 x2+4的最小值是2D. 2−3x−4x的最小值是2−4 3
12.已知函数f(x)= 2sin(ωx+φ)+t(ω>0,−π2<φ<π2,t∈Z)，f(0)=1，且f(x)有最小正零点34，若f(x)在(4,92)上单调，则( )
A. ω=πB. ω=53πC. f(9)=1D. f(9)=−1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简求值：2(lg5)2+2lg2×lg5+lg4=______．
14.某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 人．
15.若函数f(x)=lg2(mx2−mx+1)的值域为R，则实数m的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=2|x|+1+cs(x+π2)+22|x|+1的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知实数x满足x12−x−12=3，求x−x−1的值．
(2)若3x=4y=6z≠1，求证：1x+12y=1z．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−3x−4<0}，集合B={x|12≤2x≤8}．
(Ⅰ)求A，B；
(Ⅱ)设集合C={x|m≤x≤m+2}，若C∩(A∪B)=C，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
若f(x)=ax2−(a+1)x+1，a∈R．
(Ⅰ)若f(x)<0的解集为(14,1)，求a的值；
(Ⅱ)求关于x的不等式f(x)<0的解集．
20.(本小题12分)
已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3,−2．
(1)求fx的解析式和周期．
(2)当x∈π12,π2时，求fx的值域．
21.(本小题12分)
近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v(单位：m/s).其中v0(单位：m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的15，若要使火箭的最大速度增加800m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
参考数据：ln230≈5.4，2.22522.(本小题12分)
已知a∈R，函数f(x)=lg2(1x+a)．
(1)当a=4时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的方程f(x)−lg2[(a−4)x+2a−5]=0有两个不等的实数根，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈[13,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用交集定义直接求解．
【解答】
解：∵集合A={2,4,6,8,9}，
B={1,4,6,9}，
∴A∩B={4,6,9}．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3−x2+1>0
故选：B．
将量词否定，结论否定，可得结论．
本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x+1,x≤01x−100,x>0，f(1100)=100−100=0，
则f(f(1100))=f(0)=1；
故选：D．
根据题意，由函数的解析式求出f(1100)的值，进而计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设扇形半径为r，弧长为l，
扇形面积为8，扇形的圆心角为2rad，则12⋅2⋅r2=8，解得r=2 2，
l=2⋅2 2=4 2，
扇形的周长为2r+l=8 2．
故选：A．
根据扇形面积公式，计算即可．
本题考查扇形面积公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：x∈R，定义域关于原点对称，又f(−x)=x2cs2x2−x+2x=f(x)，所以f(x)是偶函数，故A，C错误；
f(1)=cs22+2−1<0，选项B符合．
故选：B．
利用函数奇偶性和特殊值法进行判断．
本题考查函数的图象，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：f′(x)=ex+e−x>0，故f(x)在R上单调递增，
构造f(x)=0.4x，易知f(x)在R上单调递减，故0.40.4>0.40.6，
构造g(x)=x0.6，易知g(x)在R上单调递增，故0.60.6>0.40.6，
构造h(x)=x5，易知h(x)在(0,+∞)单调递增，且(0.60.6)5=0.63=0.216，(0.40.4)5=0.16，
∵0.216>0.16，所以0.60.6>0.40.4，
故0.60.6>0.40.4>0.40.6，
又因为f(x)在R上递增，
故b>c>a，
故选：D．
首先对f(x)求导，可得f(x)在R上单调递增，再利用构造函数研究自变量大小关系即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性及利用函数性质比较大小，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题．
由题意可得(12)1h=1011，代入55−25=(12)th(80−25)，得(1011)t=611，两边取常用对数得：tlg1011=lg611，再利用对数的运算性质即可求出t的值．
【解答】解：根据题意得：75−25=(12)1h(80−25)，
∴(12)1h=1011，
∴55−25=(12)th(80−25)，
∴30=55×[(12)1h]t，
∴(1011)t=611，
两边取常用对数得：tlg1011=lg611，
∴t=lg611lg1011=lg6−lg111−lg11=lg2+lg3−lg111−lg11=1−lg5+lg3−lg111−lg11≈6，
∴从泡茶开始大约需要等待6分钟，
故选C．
8.【答案】D
【解析】解：令t=f(x)，则原函数方程等价为t2+bt+14=0．
作出函数f(x)的图象如图1：
图象可知当由0所以要使f2(x)+bf(x)+14=0有六个相异实根，
则等价为有两个根t1，t2，
且0令g(t)=t2+bt+14，
则由根的分布(如图2)可得△>0f(0)=14>0f(1)=1+b+14>00<−b2<1，即b2−1>0b>−54−21或b<−1b>−54−2解得−54则实数b的取值范围是(−54,−1)．
故选：D．
先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．同时在结合函数f(x)的图象，确定b的取值范围．
本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键．
9.【答案】CD
【解析】解：对选项A：1∈{1,2,3}，错误；
对选项B：{1}⊆{1,2,3}，错误；
对选项C：{1,2}⊆{1,2}，正确；
对选项D：⌀⊆{1}，正确．
故选：CD．
根据元素和集合，集合与集合的关系，依次判断即可．
本题考查元素与集合以及集合与集合的关系，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为ax2+bx+1>0的解集是(−1,13)，
所以a<0，且ax2+bx+1=0的两个实数根是x1=−1或x2=13，
即−ba=−23，1a=−13，解得：a=−3，b=−2，
故A、B正确；
选项C由ax2+x−b>0可得−3x2+x−(−2)>0，即3x2−x−2<0，
解得：(−23,1)，故C正确，D不正确．
故选：ABC．
由已知结合二次不等式与二次方程及二次函数的性质可求．
本题考查一元二次方程和不等式的关系，关键是根据根与系数的关系求出a、b的值．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，由基本不等式可知，x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1x即x=1时取等号，故A正确；
对于B，x2+2 x2+2= x2+2≥ 2，当x=0时取得等号，故B正确；
对于C，x2+5 x2+4= x2+4+1 x2+4，令t= x2+4，则t≥2，
因为y=t+1t在[2,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52，故C错误；
对于D，2−(3x+4x)，在x>0时，没有最小值，故D错误．
故选：AB．
由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：f(0)= 2sinφ+t=1，故t∈(1− 2,1+ 2)，f(34)= 2sin(34ω+φ)+t=0，故t∈[− 2, 2]，
故t∈(1− 2, 2],t∈Z，故t=0或t=1，
当t=0时，sinφ= 22，−π2<φ<π2，
故φ=π4，f(x)= 2sin(ωx+π4)，ω>0，f(x)有最小正零点34，
34ω+π4=kπ,k∈N*，ω=43kπ−π3,k∈N*，T2≥92−4=12，
故T=2πω≥1，ω≤2π，故ω=π，f(x)= 2sin(πx+π4)，
当x∈(4,92)，πx+π4∈(17π4,19π4)，函数不单调，排除；
当t=1时，sinφ=0，−π2<φ<π2，故φ=0，
sin(34ω)=− 22，34ω=2kπ+5π4或34ω=2kπ+7π4，
ω=83kπ+5π3,k∈N或ω=83kπ+7π3,k∈N，T2≥92−4=12，
故T=2πω≥1，ω≤2π，
故ω=5π3，f(x)= 2sin(5π3x)+1，验证满足条件，此时f(9)= 2sin(15π)+1=1．
故选：BC．
确定t∈(1− 2, 2],t∈Z，故t=0或t=1，当t=0时，不满足单调性，排除；当t=1时，计算φ=0，ω=5π3，代入计算得到答案．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：2(lg5)2+2lg2×lg5+lg4=2lg5(lg2+lg5)+2lg2=2(lg5+lg2)=2．
故答案为2．
根据对数运算性质运算即可．
本题考查对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查集合的实际应用，是基础题．
利用集合中元素个数、交集性质直接求解．
【解答】
解：某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．
该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，
则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有：
31+26−45=12．
故答案为：12．
15.【答案】[4,+∞)
【解析】解：由f(x)=lg2(mx2−mx+1)的值域是R，可知，mx2−mx+1取遍所有正数，
①m=0时，y=0，不符合题意，
②当m≠0时，m>0Δ=m2−4m≥0，
解可得，m≥4，
则实数m的取值范围为[4,+∞)．
故答案为：[4,+∞)．
由f(x)=lg2(mx2−mx+1)的值域是R，可知，mx2−mx+1取遍所有正数，结合二次函数的性质进行求解．
本题主要考查了对数函数的值域的应用，解题的关键是对数函数性质的灵活应用，属于中档题．
16.【答案】4
【解析】解：函数f(x)=2|x|+1+cs(x+π2)+22|x|+1=2⋅2|x|−sinx+22|x|+1=2−sinx2|x|+1，
令g(x)=−sinx2|x|+1，则f(x)=2+g(x)，
又g(−x)=−sin(−x)2|−x|+1=sinx2|x|+1=−g(x)，
所以g(x)为R上的奇函数，
所以g(x)max+g(x)min=0，
所以M+m=g(x)max+2+g(x)min+2=4．
故答案为：4．
化简f(x)，构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可．
本题主要考查函数最值的求法，考查奇函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】(1)解：∵实数x满足x12−x−12=3= x−1 x，
平方可得x+1x−2=9，∴x−x−1=x+1x=11．
(2)证明：设3x=4y=6z=k>0，则x=lg3k，y=lg4k，z=lg6k，
∴1x+12y=lgk3+12×lgk4=lgk3+lgk2=lgk6，
而1z=lgk6，
∴1x+12y=1z．
【解析】(1)由题意，利用分数指数幂和根式的转化，计算求得结果．
(2)由题意，利用对数的运算性质，证得等式成立．
本题主要考查分数指数幂和根式的转化，对数的运算性质应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)集合A={x|x2−3x−4<0}，集合B={x|12≤2x≤8}，
由x2−3x−4<0，解得−1又在集合B中，2−1≤2x≤23，∴B=[−1,3]．
(2)由(1)知A∪B=[−1,4)
又因为C∩(A∪B)=C，
所以C⊆(A∪B)
∴m+2<4m≥−1，解得−1≤m<2．
∴实数m的取值范围为[−1,2)．
【解析】(1)利用一元二次不等式性质及解法能求出集合A；利用指数不等式性质及解法能求出集合B．
(2)先求出A∪B，再由C∩(A∪B)=C，得C⊆(A∪B)，列不等式组，能求出实数m的取值范围．
本题考查集合的运算，考查并集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，ax2−(a+1)x+1<0的解集为(14,1)，
则14,1是ax2−(a+1)x+1=0的解，则有1+14=a+1a14=1a
解得：a=4，
(Ⅱ)当a=0时，不等式的解为x>1，解集为{x|x>1}
当a≠0时，分解因式(x−1)(ax−1)<0(x−1)(ax−1)=0的根为x1=1．x2=1a
当a<0时，1>1a，不等式的解为x>1或x<1a，解集为{x|x>1或x<1a}，
当0当a>1时，1a<1，不等式的解为1a当a=1时，原不等式为(x−1)2<0，不等式的解集为⌀，
综上：当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当a<0时，不等式的解集为{x|x>1或x<1a}；
当0当a>1时，不等式的解集为{x|1a当a=1时，不等式的解集为⌀
【解析】(Ⅰ)根据题意，分析可得14,1是ax2−(a+1)x+1=0的解，由根与系数的关系可得1+14=a+1a14=1a，解可得a的值，即可得答案，
(Ⅱ)根据题意，按a的取值不同分6情况讨论不等式的解集，综合可得答案．
本题考查含有参数的一元二次不等式的解法，注意讨论a的取值，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可得T=2πω=2×π2=π，∴ω=2，
根据图象上一个最低点为M(2π3,−2)，
可得A=2，2sin(2⋅2π3+φ)=−2，∴φ=π6+2kπ,k∈Z，又0<φ<π2，
可得φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6)，周期为π；
(2)当x∈[π12,π2]时，2x+π6∈[π3,7π6]，
故当2x+π6=7π6时，f(x)取得最小值为−1；
当2x+π6=π2时，f(x)取得最大值为2，故f(x)的值域为[−1,2]．
【解析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，正弦型函数的定义域和值域，属于基础题．
(1)由函数的图象的最低点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式；
(2)当x∈[π12,π2]时，利用正弦函数的定义域和值域，可求得当2x+π6∈[π3,7π6]时，即可求f(x)的值域．
21.【答案】解：(1)当总质比为230时，v=2000ln230，
由参考数据得v≈2000×5.4=10800m/s，
∴当总质比为230时，A型火箭的最大速度约为10800m/s；
(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为3000m/s，总质比变为M5m，
要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则需3000lnM5m−2000lnMm≥800，
化简，得3lnM5m−2lnMm≥0.8，
∴ln(M5m)3−ln(Mm)2≥0.8，整理得lnM125m≥0.8，
∴M125m≥e0.8，则Mm≥125×e0.8，
由参考数据，知2.225∴278.125<125×e0.8<278.25，
∴材料更新和技术改进前总质比T的最小整数值为279．
【解析】(1)当总质比为230时，v=2000ln230≈2000×5.4=10800m/s，所以当总质比为230时，A型火箭的最大速度约为10800m/s；
(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为3000m/s，总质比变为M5m，要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则需3000lnM5m−2000lnMm≥800，整理得lnM125m≥0.8，则Mm≥125×e0.8，由参考数据，知2.225本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
22.【答案】解：(1)当a=4时，f(x)=lg2(1x+4)，由f(x)>0得lg2(1x+4)>0=lg21，
∴1x+4>1得1+3xx>0，即x(1+3x)>0，解得x>0或x<−13，
∴当a=4时，不等式f(x)>0的解集为{x|x>0或x<−13}．
(2)由题意得f(x)=lg2(1x+a)=lg2[(a−4)x+2a−5]，
该问题等价于1x+a>0①1x+a=(a−4)x+2a−5②，
化简得(a−4)x2+(x−5)x−1=0,(1x+a>0)，
即[(a−4)x−1](x+1)=0,(1x+a>0)，
①当a=4时，x=−1，不合题意，舍去；
②当a=3时，x1=x2=−1，不合题意，舍去；
③当a≠3且a≠4时，x1=1a−4,x2=−1且x1≠x2；
由1x1+a>0，得a>2(a≠3且a≠4)；
由1x2+a>0，得a>1(a≠3且a≠4)；
依题意，若原方程由两个不等的实数根，则a>2(a≠3且a≠4)；
故所求a的取值范围为a∈(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)．
(3)易得，当a>0时，f(x)=lg2(1x+a)在(0,+∞)上单调递减，
故函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t+1)，
则f(t)−f(t+1)=lg2(1t+a)−lg2(1t+1+a)≤1对t∈[13,1]恒成立，
即at2+(a+1)t−1≥0，对任意t∈[13,1]恒成立，
因为a>0，函数y=at2+(a+1)t−1的对称轴t=−a+12a<0，
函数y=at2+(a+1)t−1在区间[13,1]上单调递增，
故t=13时，y有最小值49a−23，∴49a−23≥0，得a≥32，
故所求a的取值范围为[32,+∞)．
【解析】(1)当a=4时，化简不等式，利用对数函数的单调性转化求解即可．
(2)方程化为：1x+a>0①1x+a=(a−4)x+2a−5②，通过当a=4时，当a=3时，当a≠3且a≠4时，转化求解a的取值范围即可．
(3)函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t+1)，推出at2+(a+1)t−1≥0，对任意t∈[13,1]恒成立，结合二次函数的性质，转化求解即可．
本题考查函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．