广东省惠州市一中实验学校2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题（解析版+原卷版）

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1. 下列叙述正确的是（ ）
A. 3与互为倒数B. 3与为相反数C. 的底数是D. 当时，总是大于0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值和乘方的意义，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，中，a叫做底数，据此求解即可．
【详解】解；A、3与不互为倒数，原说法错误，不符合题意；
B、3与不互为相反数，原说法错误，不符合题意；
C、的底数是，原说法错误，不符合题意；
D、当时，总是大于0，原说法正确，符合题意；
故选；D．
2. 据不完全统计，某年分站赛给当地带来的经济收入将达到约美元，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、去括号，根据合并同类项及去括号的法则逐项判断即可得到答案，熟练掌握合并同类项及去括号的法则是解此题的关键．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 一个正方体的展开图如图所示，每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，那么( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，求得的值，代入代数式，即可求解．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
与是相对面，
与是相对面，
与是相对面，
∵每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，
∴，，
∴．
故选：C．
5. 已知的绝对值是5，的绝对值是4，且，则的值是（ ）
A. 9或1B. 9或C. 或D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是绝对值的性质，首先根据绝对值的性质，判断出、的大致取值范围，然后根据进一步确定、的值，再代值求解即可．
【详解】∵的绝对值是5，的绝对值是4，
∴，
∵，
∴，，
∴或，
故选：C．
6. 已知，则的值是（ ）
A. 11B. 14C. 10D. 19
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，将变形后代入已知数值计算即可．将原式进行正确的变形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：D．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 单项式的系数是，次数是3B. 单项式x的系数为1，次数为0
C. 多项式是二次三项式也是整式D. 的系数是，次数是7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，整式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，整式是多项式和单项式的统称．
【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，原说法错误，不符合题意；
B、单项式x的系数为1，次数为1，原说法错误，不符合题意；
C、多项式是二次三项式也是整式，原说法正确，符合题意；
D、的系数是，次数是5，原说法错误，不符合题意；
故选C．
8. 万达商场以100元的价格卖出两套不同的服装．老板一算，结果一套赚，一套亏本．你帮他算一算，这个商场是（ ）
A. 亏本B. 赚钱C. 不亏也不赚D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】本题考查一元一次方程的实际应用；分别求解出这两套衣服的进价，再求出赚了和亏了多少钱，进行比较即可．
【分析】解：设赚钱的那件服装进价为x元，
，
解得；
设亏本的那件服装进价为y元，
，
解得；
∵
∴这个商场是亏本，
故选：A．
9. 如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查余角以及角的和差关系．根据，可计算出的度数，根据余角的定义，计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
10. 如图，图①中有4个黑点，图②中有9个黑点，图③中有个黑点，…，按这样的规则排列下去，则图⑨中的黑点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的图形类规律，探索出图形规律为图中有个黑点是解题的关键，难度较小．
【详解】解：依题意，
图①中有4个黑点，则，
图②中有9个黑点，则，
图③中有个黑点，则，
所以图中有个黑点，
当时，，
故选：B
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 如果单项式与是同类项，则的值是____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，根据所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项得到，求出，然后代值计算即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
12. 如图：点A，B在线段上，点M，N分别是线段的中点，，若，则线段的长是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，设，根据线段中点的定义得到，进而得到，求出，则．
【详解】解：设，
∵点M，N分别是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图，化简_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查化简绝对值．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴；
故答案为：．
14. 若关于的方程和有同一个整数解，则整数_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的整数解，解题的关键是直接解方程进而利用整数的定义分析即可得出答案．
【详解】解：，
解得：，
∵是整数，
∴或，
∴，，或，
∵，
解得：，
当时，方程的解：，方程的解：，符合题意；
当时，方程的解：，方程的解：，不符合题意；
当时，方程解：，方程的解：，不符合题意；
当时，方程的解：，方程的解：，不符合题意；
综上所述，整数．
故答案为：．
15. 已知与互补，且，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了求一个角的补角，根据在同一平面内的两个角相加的和等于，这两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵与互补，即，而，
，
故答案为：．
三、解答题（一）（每小题8分，共24分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律：
（1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；
（2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律进行求解即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
．
17. 解下列方程：
（1）3x+7＝32﹣2x；
（2）．
【答案】（1）x=5 （2）x=1
【解析】
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：移项得：3x+2x=32-7，
合并同类项得：5x=25，
系数化为1得：x=5．
【小问2详解】
去分母得：3（3x+1）-4（x-1）=12，
去括号得：9x+3-4x+4=12，
移项得：9x-4x=12-3-4，
合并同类项得：5x=5，
系数化为1得：x=1．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
18. 已知，．
（1）计算：；
（2）若的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式，去括号，合并同类项即可；
（2）与无关的条件是的系数为0，即含有的项为0，即可获得答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
由（1）知，，
若的值与的取值无关，
则有 ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式运算、整式的加减中的无关型计算、解一元一次方程等知识，熟练掌握去括号的法则，明确整式的加减中的无关型计算的核心条件是解题的关键．
四、解答题（二）（每小题9分，共27分）
19. 已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的值．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意得：
，，或，
当时，原式；
当时，原式．
20. 已知AB＝5cm，延长AB至C，使AC＝2AB，反向延长AB至E，使AE＝CE，
计算：（1）线段CE的长；
（2）线段AC是线段CE几分之几？
（3）线段CE是线段BC几倍？
【答案】（1）15cm；（2）；（3）3倍
【解析】
【分析】（1）先根据AE＝CE得出AC=2AE，再根据AC＝2AB，AB=5，即可得出CE的长
（2）分别用AB表示AC和CD，即可得出结论
（3）先根据AC＝2AB和AC＝AB+BC得出，从而得出线段CE是线段BC的关系
【详解】解：（1）∵AE＝CE，
∴CE=3AE，
∴AC=2AE，
∵AB=5，AC=2AB
∴AC=10（厘米），
∴AE=5（厘米），
∴CE=15（厘米）；
（2） AC=2AB， CE=3AE=3AB
,
是的；
（3），
，
，
∴
是的3倍
答：线段CE的长15厘米；线段AC是线段CE的；线段CE是线段BC的3倍．
【点睛】本题考查了线段的倍分关系，借助图形来计算是解题的关键．
21. 某市电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
（A）计时制：元每分钟；
（B）包月制：60元每月（限一部个人住宅电话上网）；
此外，每一种上网方式都得加收通信费元每分钟．
（1）某用户某月上网的时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
（2）你知道怎样选择计费方式更省钱吗？
【答案】（1），；（2）通话时间大于20小时选，通话时间等于20小时选或，通话时间小于20小时选．
【解析】
【分析】此题考查列代数式，一元一次方程的应用问题；
（1）首先统一时间单位，（A）计时制：每分钟元时间花费；（B）包月制：60元+每分钟元时间花费；
（2）先列出方程求出两种方式相等时的通话时间，然后再分情况作答即可．
关键是根据两种计费方式列出代数式解答．
详解】（1）小时分钟，
A计时制：元，
B包月制：元．
（2）
即通话时间大于20小时选，通话时间等于20小时或，通话时间小于20小时选．
五、解答题（三）（每小题12分，共24分）
22. 如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝ ；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝ ；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？
【答案】（1）∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；理由见解析，α＝54°；②23秒
【解析】
【分析】（1）由题意可得，重叠部分就比90°+90°减少的部分，即当∠DCE＝35°时，∠ACB=180°﹣35°＝145°，当∠ACB＝140时°，∠DCE=180°﹣140°＝40°
（2）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，则重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE＝180°．
（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，利用∠ACB与∠DCE互补列方程解答即可；
②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，根据∠BCD+∠DCE＝90°，列方程解答即可．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，
∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：145°，40°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，
理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，
∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，
∴4x+x＝180°
解得：x＝36°，
∴α＝90°﹣36°＝54°；
②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，
∵∠BCD+∠DCE＝90°，
∴3t+21＝90，
t＝23°，
答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．
【点睛】本题考查了互补、互余的定义以及角的重叠等知识点，解决本题的关键是确定重叠部分的大小.
23. 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示﹣12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，问：

（1）动点Q从点C运动至点A需要 秒；
（2）P、Q两点相遇时，求出t的值及相遇点M所对应的数是多少？
（3）求当t为何值时，A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍（即P点运动的路程＝Q点运动的路程）．
【答案】（1）26秒；（2）t的值是，相遇点M所对应的数是；（3）当t为或26时，A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍
【解析】
【分析】（1）由时间=路程÷速度即可解答；
（2）根据相遇时，P，Q所用时间相等的等量关系，列方程、解方程即可解答；
（3）A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍需分两直角边分别情况讨论，并根据P点运动的路程＝Q点运动的等量关系，列方程、解方程即可解答。
【详解】解：（1）点Q运动至点A时，所需时间t＝（20﹣12）÷1+12÷2+12÷1＝26（秒）．
答：动点Q从点C运动至点A需要26秒；
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上M处，设OM＝x．
则12÷2+x÷1＝（20﹣12）÷1+（12﹣x）÷2，
解得x＝，
12÷2+÷1＝6+＝．
答：t的值是，相遇点M所对应的数是．
（3）A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍有2种可能：
①动点Q在OB上，动点P在OB上，
则：12+（t-）＝ [20﹣12+2（t﹣ ）]，
解得：t＝．
②动点Q在OA上，动点P在BC上，
则：12+12+2（t--12）＝ [20+（t﹣8﹣ ）]，
解得：t＝26．
综上所述：当t为或26时，A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍．
【点睛】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，弄清题意、找准等量关系并列方程是解答本题的关键.