2023-2024学年四川省内江市隆昌一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年四川省内江市隆昌一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={2,4,5}，B={3,5,7}，若集合M=A∩B，则集合M的子集个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知命题P：“∀x>0，ex>x+1”，则￢P为( )
A. ∃x≤0，ex≤x+1B. ∃x≤0，ex>x+1
C. ∃x>0，ex≤x+1D. ∀x>0，ex≤x+1
3.“x>3”是“x2>9”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=x−4+lg2x的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.已知a=3lg32，b=lg25，c=cs3π4，则( )
A. a6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数y=f(x)的部分图象如图所示.则y=f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=sin(πx)2(3x+3−x)
B. f(x)=cs(πx)2(3x−3−x)
C. f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2
D. f(x)=(3x−3−x)cs(πx)2
7.已知函数f(x)=2xx−1x<12x−ax≥1的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)
8.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位：mg/L)随着时间t(单位：h)的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定该药物的消除速率常数k=0.1(单位：h−1)，刚注射这种新药后的初始血药含量c0=3000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为(参考数据：ln2=0.693，ln3=1.099)( )
A. 5.32hB. 6.23hC. 6.93hD. 10.99h
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0，c∈R则下列关系正确的是( )
A. a+c>b+cB. ac>bc
C. 1a<1bD. 若a>c，则c>b
10.下列式子计算结果为 32的有( )
A. sin240°B. sin23°cs37°+cs23°sin37°
C. 3sin150°⋅1−tan15°1+tan15∘D. cs2π12−cs25π12
11.下列说法正确的有( )
A. y=x2+1x的最小值为2
B. 已知x>1，则y=x+4x−1的最小值为5
C. 若正数x、y满足2x+1y=3，则2x+y的最小值为3
D. 设x、y为实数，若x2+y2+xy=3，则x+y的取值范围为[−2,2]
12.已知函数f(x)=|lg2x|,0A. 0C. (x1+x2+x3+x4)∈[22,+∞)D. x1x3取值范围为(1,7)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)的图象过点(64,4)，则f(18)的值为______．
14.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P(1,2)则tan(θ+π4)=______．
15.已知函数f(x)=x2−2x，若存在x∈[2,4]，使得不等式f(x)≤a2+3a成立，则实数a的取值范围为______．
16.已知函数f(x)=sinx−csx，则下列命题正确的序号为______．
①f(x)的值域为[− 2, 2]
②点(π4,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心
③f(x)在区间[π4,5π4]上是增函数
④若f(x)在区间[−a,a]上是增函数，则a的最大值为π4
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|lg2(x2−1)<3,x∈R}，集合B={x|2x2−5x−3>0,x∈R}，集合C={x|x≥a,x∈R}．
(1)若a=−2，求A∩C；
(2)若B∪C=R，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−mx+1．
(1)若关于x的不等式f(x)+n−1≤0的解集为[−1,2]，求实数m，n的值；
(2)求关于x的不等式f(x)−x+m−1>0(m∈R)的解集．
19.(本小题12分)
已知f(α)=sin(α−π2)cs(3π2+α)tan(π−α)tan(α−π)sin(−α−π)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=513，f(α−β)=−35，且0<α<π，0<β<π，求f(β)．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x−π3)．
(1)求函数f(x)的周期以及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；
(3)若函数g(x)=f(x)−a2,x∈[0,π2]，有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围与f(x1+x2)的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−22x+1，x∈R的图像关于点(0,1)中心对称．
(1)求实数a的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于x的不等式f(4x)+f(2−3×2x)>2．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2x+1,g(x)=2x−2．
(1)求g(f(3))；
(2)求函数F(x)=[f(x)−1]2−2mf(x)+3(m∈R)在区间[2,4]上的最小值；
(3)若函数h(x)=g(f(x))，且y=h(|g(x)|)的图象与y=[g(x)]2−4n⋅|g(x)|+3n的图象有3个不同的交点，求实数n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={2,4,5}，B={3,5,7}，
∴集合M=A∩B={5}，
∴集合M的子集个数为2．
故选：B．
先求出集合M，再利用集合的子集个数公式求解．
本题主要考查了集合的交集运算，考查了集合的子集个数公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵命题P：“∀x>0，ex>x+1”，
∴￢P为：“∃x>0，ex≤x+1”，
故选：C
由已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．
本题考查的知识点是全称命题的否定，难度不大，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由x>3可推出x2>9，充分性成立，
由x2>9不能推出x>3，如x=−4，满足(−4)2>9，但−4<3，故必要性不成立，
所以x>3是x2>9成立的充分不必要条件．
故选：A．
由x>3可推出x2>9，x=−4，满足(−4)2>9，但−4<3，可得结果．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵连续函数f(x)=lg2x+x−4在(0,+∞)上单调递增
∵f(2)=−1<0，f(3)=lg23−1>0
∴f(x)=lg2x+x−4的零点所在的区间为(2,3)
故选：C．
连续函数f(x)=lg2x+x−4在(0,+∞)上单调递增且f(2)=−1<0，f(3)=lg23−1>0，根据函数的零点的判定定理可求
本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题
5.【答案】C
【解析】解：∵a=3lg32=lg38lg24=2，c=cs3π4=− 22<0，
∴b>a>c．
故选：C．
利用对数函数与余弦函数的性质可求得答案．
本题考查对数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由图可知，函数y=f(x)是R上的奇函数，且f(0)=0，f(1)<0，f(2)>0，
若f(x)=sin(πx)2(3x+3−x)，则f(0)=sin02(30+30)=0，f(1)=sinπ2(31+3−1)=0不合题意，故A错误；
若f(x)=cs(πx)2(3x−3−x)，由3x−3−x≠0得x≠0，不合题意，故B错误；
若f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2，则f(1)=(3+3−1)sinπ2=0，不合题意，故C错误；
故排除ABC，得D正确．
故选：D．
由图可知，函数y=f(x)是R上的奇函数，且f(0)=0，f(1)<0，f(2)>0，利用排除法求解．
本题主要考查函数的图像，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：f(x)=2xx−1x<12x−ax≥1，
当x<1时，f(x)=2xx−1=2(x−1)+2x−1=2x−1+2，
∵x<1，∴x−1<0，则2x−1<0，得f(x)=2x−1+2<2；
要使f(x)=2xx−1x<12x−ax≥1的值域为R，
则f(x)=2x−a，x≥1的值域包含[2,+∞)．
∴当x≥1时，需2−a≤2，得a≥0．
∴实数a的取值范围是[0,+∞)．
故选：B．
首先求出函数在x<1时的函数值的范围，再把问题转化为f(x)=2x−a，x≥1的值域包含[2,+∞).然后借助于指数函数的单调性求解．
本题考查分段函数及其应用，考查函数值域的求法，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意3000e−0.1t≥1000,e−0.1t≥13，
即−0.1t≥ln13=−ln3=−1.099,t≤10.99．
故选：D．
根据所给模型解不等式3000e−0.1t≥1000即得．
本题考查了函数在解决实际问题上的应用，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为a>b>0，c∈R，由不等式的性质可得a+c>b+c，所以A正确；
当c≤0时，则ac≤bc，所以B不正确；
可得ab>0，由不等式的性质可得aab>bab，即1b>1a，所以C正确；
因为a>b>0，若a>c，则b，c的关系不定，所以D不正确；
故选：AC．
由题意及不等式的性质可得A，B，C，D的真假．
本题考查不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，sin240°=−sin60°=− 32，
即选项A错误；
对于选项B，sin23°cs37°+cs23°sin37°=sin60°= 32，
即选项B正确；
对于选项C，3sin150°⋅1−tan15⋅1+tan15∘=3×12× 33= 32，
即选项C正确；
对于选项D，cs2π12−cs25π12=cs2π12−sin2π12=csπ6= 32，
即选项D正确．
故选：BCD．
由诱导公式、两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解．
本题考查了诱导公式、两角和与差的三角函数，重点考查了二倍角公式，属基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：当x<0时，A显然错误；
当x>1时，y=x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2 (x−1)⋅4x−1+1=5，当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，B正确；
正数x、y满足2x+1y=3，则2x+y=13(2x+y)(2x+1y)=13(5+2yx+2xy)≥13(5+2 2xy⋅2yx)=3，
当且仅当x=y=1时取等号，C正确；
若x2+y2+xy=3，则(x+y)2=3+xy≤3+(x+y2)2，当且仅当x=y=1或x=y=−1时取等号，
所以−2≤x+y≤2，D正确．
故选：BCD．
由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：作出函数y=f(x)的图象，如图所示：
因为方程f(x)=m有四个不等的实根x1，x2，x3，x4且x1结合图象可得0由题意可得−lg2x1=lg2x2，所以lg2x1+lg2x2=lg2x1x2=0，
所以x1x2=1，故B正确；
由正弦函数的性质可知x3，x4关于x=10对称，
所以x3+x4=20，
又因为14所以x1+x2=x1+1x1，
由对勾函数的性质可知y=x+1x在(14,1)上单调递减，
所以x+1x∈(2,174)，即x1+x2∈(2,174)，
所以(x1+x2+x3+x4)∈(22,974)，故C错误；
因为x3∈(4,7)，
所以x1x3∈(1,7)，故D正确．
故选：ABD．
作出函数y=f(x)的图象，结合图象、对数函数、正弦函数及对勾函数的性质逐一判断即可．
本题考查了对数函数、正弦函数及对勾函数的性质，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】12
【解析】解：设f(x)=xα，则f(64)=64α=4，所以α=13，
所以f(x)=x13，所以f(18)=(18)13=12．
故答案为：12．
设f(x)=xα，根据函数过点(64,4)求出α，即可得到函数解析式，再代入计算可得．
本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．
14.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切函数公式的应用，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出tanα，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
【解答】
解：由题意可得x=1， y=2，
∴tanθ=yx=2，
tanθ+π4=1+tanθ1−tanθ=1+21−2=−3．
故答案为−3．
15.【答案】(−∞,−3]∪[0,+∞)
【解析】解：因为f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，在[2,4]上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=0，
因为存在x∈[2,4]，使得不等式f(x)≤a2+3a成立，
所以只需f(x)min≤a2+3a成立即可，
即0≤a2+3a，解得a≤−3或a≥0．
故答案为：(−∞,−3]∪[0,+∞)．
存在x∈[2,4]，使得不等式f(x)≤a2+3a成立，转化为f(x)min≤a2+3a成立即可，求出f(x)在[2,4]上的最小值，即可求出a的取值范围．
本题考查了不等式有解问题，考查了转化思想，属于中档题．
16.【答案】①②④
【解析】解：f(x)=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
①因为x∈R，所以sin(x−π4)∈[−1,1]，
所以f(x)的值域为[− 2, 2]，即①正确；
②f(π4)= 2sin(π4−π4)=0，
所以点(π4,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，即②正确；
③当x∈[π4,5π4]时，x−π4∈[0,π]，
因为y=sinx在[0,π]上不是增函数，
所以f(x)在区间[π4,5π4]上不是增函数，即③错误；
④令x−π4∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，则x∈[2kπ−π4,2kπ+3π4]，k∈Z，
当k=0时，f(x)在[−π4,3π4]上是增函数，
由题意知，[−a,a]⫋[−π4,3π4]，
所以a的最大值是π4，即④正确．
故答案为：①②④．
利用辅助角公式化简可得f(x)= 2sin(x−π4)，再结合正弦函数的图象与性质逐一分析四个命题即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)集合A={x|lg2(x2−1)<3,x∈R}
={x|0={x|−3=(−3,−1)∪(1,3)，
a=−2时，集合C={x|x≥−2,x∈R}=[−2，+∞)；
所以A∩C=(−3,+∞)；
(2)因为集合B={x|2x2−5x−3>0,x∈R}
={x|x<−12或x>3，x∈R}
=(−∞,−12)∪(3,+∞)，
若B∪C=R，则a≤−12，
所以实数a的取值范围是(−∞,−12].
【解析】(1)化简集合A，根据交集的定义计算即可；
(2)化简集合B，根据B∪C=R求出a的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x2−mx+1，所以不等式f(x)+n−1≤0可化为x2−mx+n≤0，
所以−1和2是方程x2−mx+n=0的两个实数根，
由根与系数的关系知，−1+2=m−1×2=n，解得m=1，n=−2；
(2)不等式f(x)−x+m−1>0可化为x2−(m+1)x+m>0，
即(x−m)(x−1)>0，
m=1时，不等式化为(x−1)2>0，解得x≠1；
m>1时，解不等式得，x<1或x>m；
m<1时，解不等式得，x1；
综上知，m=1时，不等式化的解集为{x|x≠1}；
m>1时，不等式的解集为{x|x<1或x>m}；
m<1时，不等式的解集为{x|x1}．
【解析】(1)不等式化为x2−mx+n≤0，根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出m、n的值；
(2)不等式化为(x−m)(x−1)>0，讨论m与1的大小，即可写出不等式的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)f(α)=sin(α−π2)cs(3π2+α)tan(π−α)tan(α−π)sin(−α−π)=(−csα)sinα(−tanα)tanαsinα=csα；
(2)若f(α)=513，f(α−β)=−35，
可得csα=513，cs(α−β)=−35，
因为0<α<π，所以sinα= 1−cs2α=1213，
由csα=513>0可知，0<α<π2，
又因为0<β<π，
所以−π<α−β<π2，
又因为cs(α−β)=−35<0，所以−π<α−β<−π2，
所以sin(α−β)=− 1−cs2(α−β)=−45，
所以f(β)=csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)=513×(−35)+1213×(−45)=−6365．
【解析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)由(1)可知csα=513，cs(α−β)=−35，进而求出sinα，sin(α−β)，再利用f(β)=csβ=cs[α−(α−β)]求解即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)T=2πω=2π2=π，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]k∈Z．
(2)因为x∈[0,π2]，所以2x−π3∈[−π3,2π3]，
所以当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)min=f(0)=− 32，
当2x−π3=π2时，即x=5π12时，f(x)max=f(5π12)=1．
(3)由(2)有x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，
且sinπ3=sin2π3= 32，
要使函数g(x)=f(x)−a2,x∈[0,π2]，有两个零点x1，x2，
即方程f(x)=a2在区间[0,π2]上有两个不相等的零点x1，x2，
则 32≤a2<1，即 3≤a<2，
所以实数a的取值范围为：[ 3,2)，且x1+x2=π，
所以f(x1+x2)=f(π)=sin(2π−π3)=sin5π3=− 32．
【解析】(1)周期由T=2πω求解；将2x−π3代入正弦函数的单调递增区间中求解即可；
(2)由x的范围求出2x−π3的范围，再利用正弦函数的图象性质可求解；
(3)由正弦函数的图象性质求解即可．
本题考查了正弦函数的性质，考查了整体思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=a−22x+1，x∈R的图像关于点(0,1)中心对称，
所以f(−x)+f(x)=2，
即a−21+2−x+a−21+2x=2，
即2a=21+2−x+21+2x+2=2⋅2x+21+2x+2=4，
所以a=2；
(2)由(1)得f(x)=2−21+2x，在R上单调递增，证明如下：
任取x10，1+2x2>0，
f(x1)−f(x2)=21+2x2−21+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在R上单调递增；
(3)令g(x)=f(x)−1，则g(x)在R上单调递增且g(x)我奇函数，
由f(4x)+f(2−3×2x)>2可得g(4x)+1+g(2−3×2x)+1>2，
即得g(4x)+g(2−3×2x)>0，
所以g(4x)>g(3×2x−2)，
所以4x>3×2x−2，
解得，x>1或x<0，
故不等式的解集为{x|x>1或x<0}．
【解析】(1)由题意得f(−x)+f(x)=2，代入即可求解；
(2)结合函数单调性的定义即可求解；
(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题可得，f(3)=lg23+1=lg26，
所以g(f(3))=g(lg26)=2lg26−2=4；
(2)F(x)=[f(x)−1]2−2mf(x)+3，
F(x)=lg22x−2mlg2x+3−2m，
令t=lg2x，x∈[2,4]，则t∈[1,2]，则p(t)=t2−2mt+3−2m=(t−m)2−m2−2m+3，
则函数p(t)的图象开口向上，且对称轴为t=m，
当m≤1时，F(x)min=p(t)min=p(1)=4−4m，
当1当m≥2时，F(x)min=p(t)min=p(2)=7−6m，
综上：F(x)min=−4m+4,m≤1−m2−2m+3,1(3)h(x)=g(f(x))=2lg2x+1−2=2x−2(x>0)，令μ=|g(x)|(μ>0)，
则y=h(|g(x)|)=2|g(x)|−2=2μ−2，
y=[g(x)]2−4n⋅|g(x)|+3n=μ2−4n⋅μ+3n，
令2μ−2=μ2−4n⋅μ+3n，
即μ2−(2+4n)μ+3n+2=0①(μ>0)，
函数μ=|g(x)|=|2x−2|的图象如图，

因为函数的图象y=h(|g(x)|)与函数y=[g(x)]2−4n⋅|g(x)|+3n的图象有3个不同的交点，
所以①式有2个不等的实根，且一根在(0,2)内，另一根在[2,+∞)内，
设φ(μ)=μ2−(2+4n)μ+3n+2，
(i)当一根在(0,2)内，另一根在(2,+∞)内时，
由ϕ(0)>0ϕ(2)<0，即3n+2>02−5n<0，解得n>25；
(ii)当一根为μ1=2时，由φ(2)=0，解得n=25，
验证：此时方程(1)为μ2−185μ+165=0，解得μ1=2或μ2=85∈(0,2)，故符合题意，
综上所述，n的取值范围是[25,+∞)．
【解析】(1)代入解析式直接计算即可；
(2)先化简F(x)解析式，得到关于lg2x的复合函数，通过换元转化为二次函数，讨论m的取值范围求函数的最小值；
(3)化简h(x)，利用换元法，转化为二次函数根的分布问题求解．
本题考查了函数与方程的综合应用，属于难题．

2023-2024学年四川省内江市隆昌一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

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