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苏科版八年级下册12.1 二次根式精品同步达标检测题
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这是一份苏科版八年级下册12.1 二次根式精品同步达标检测题，文件包含第12章二次根式学生版docx、第12章二次根式教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
（思维导图+知识梳理+十大重点考向举一反三讲练）
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
知识点01：二次根式的相关概念和性质
【高频考点精讲】
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点02：二次根式的运算
【高频考点精讲】
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
知识点03：二次根式的相关概念和性质
【高频考点精讲】
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】
最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点04：二次根式的运算
【高频考点精讲】
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
重点考向01：二次根式有意义的条件
重点考向02：二次根式的性质与化简
重点考向03：最简二次根式
重点考向04：二次根式的乘除法
重点考向05：分母有理化
重点考向06：同类二次根式
重点考向07：二次根式的加减法
重点考向08：二次根式的混合运算
重点考向09：二次根式的化简求值
重点考向10：二次根式的应用
重点考向01：二次根式有意义的条件
【典例精讲】（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4
【变式训练1-1】（2023春•招远市期中）若式子有意义，则x的取值可以是（ ）
A．0B．2C．3D．5
【变式训练1-2】（2023•包河区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【变式训练1-3】（2023•香坊区校级开学）已知，则＝ ．
【变式训练1-4】（2023•平潭县校级开学）已知．
求x的值． （2）求的值．
重点考向02：二次根式的性质与化简
【典例精讲】（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-1】（2023春•兰陵县期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
【变式训练2-2】（2023秋•怀化期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即
，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
【变式训练2-3】（2023秋•天元区期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．
【变式训练2-4】（2023春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值．
（3）化简．
重点考向03：最简二次根式
【典例精讲】（2023秋•蒸湘区校级期中）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-1】（2022春•舒兰市期末）下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】（2020春•怀宁县期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
【变式训练3-3】（2021秋•侯马市校级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【变式训练3-4】（2023春•莱阳市期中）已知A＝5，B＝3，C＝，其中A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求的值．
重点考向04：二次根式的乘除法
【典例精讲】（2023春•西和县期末）下列计算错误的是（ ）
A．B．2C．D．
【变式训练4-1】（2023秋•昌黎县期末）小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝ ．
【变式训练4-2】（2023春•红安县期末）化简：的结果为： ．
【变式训练4-3】（2023春•宾阳县期中）观察下列各式及其验证过程：
，
验证：．
，
验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且a为整数）表示的等式．
重点考向05：分母有理化
【典例精讲】（2023春•莘县期末）下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练5-1】（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝
【变式训练5-2】（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简：＝ ．
【变式训练5-3】（2023春•巨野县期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
重点考向06：同类二次根式
【典例精讲】（2024•岳阳楼区开学）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【变式训练6-1】（2023春•蜀山区期中）使最简二次根式与是同类二次根式的x值是
【变式训练6-2】（2023春•灌云县期末）已知是最简二次根式，且与可以合并．
（1）求x的值；
（2）求与的乘积．
【变式训练6-3】（2023秋•高州市期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0的解．
重点考向07：二次根式的加减法
【典例精讲】（2023春•民权县期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．（）2﹣＝
【变式训练7-1】（2023春•铜梁区校级期末）若a和b都是正整数且a＜b，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得；
②只存在两组a和b使得；
③不存在a和b使得；
④若只存在三组a和b使得（c为定值），则c可以被49或64整除．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练7-2】（2023秋•海曙区期末）（1）解不等式：；
（2）计算：．
【变式训练7-3】（2023春•绥江县期中）已知：，，
，…，，n为正整数，且n≥1．
（1）求出a2和a3的值，猜想an的结果，并用含n的式子表示出an；
（2）设an与bn满足的数量关系为，例如，请利用所学知识试求出b1+b2+b3+…+bn的结果．（解答建议：（2）小题可构造平方差公式先对bn进行化简，再求和．）
【变式训练7-4】（2023春•前郭县期中）计算：（b＞0）
重点考向08：二次根式的混合运算
【典例精讲】（2023秋•宽甸县期末）（1）计算：（+2）（﹣2）+|1﹣|×．
（2）解方程组：．
【变式训练8-1】（2023秋•麻阳县期末）阅读下列解题过程：
，，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：．
【变式训练8-2】（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝ ﹣ ；②＝ + ．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝ ．（用含n的式子表示，n为正整数）
【变式训练8-3】2023春•章贡区期中）【阅读理解]】阅读下列材料，然后解答下列问题．
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；②＝ ；
（2）计算：；
（3）已知：，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
重点考向09：二次根式的化简求值
【典例精讲】（2022秋•新化县期末）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
【变式训练9-1】（2023春•康巴什期末）已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为 ．
【变式训练9-2】（2023秋•华容县期末）已知，，．求值：
（1）m2+n2；
（2）．
【变式训练9-3】（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算：+++⋯+＝ ；
（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．
重点考向10：二次根式的应用
【典例精讲】（2023春•嘉鱼县期中）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称为海伦﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，则△ABC的面积是（ ）
A．12B．C．24D．
【变式训练10-1】（2023秋•攸县期末）新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴＝ ．
根据海伦公式可得：＝ ．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
【变式训练10-2】（2023秋•南岸区期末）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．
（1）若a＝1，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中AF的长；
（3）已知m＞n且满足．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形ABEF的面积为3，求△ACF的面积．
【变式训练10-3】（2023秋•光明区期末）秦九韶（1208年～1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，S为三角形的面积，那么s＝．
（1）在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝7，请用上面的公式计算△ABC的面积；
（2）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7，BD⊥AC，垂足为D，求CD的长；
（3）一个三角形的三边长分别为a，b，c，s＝p＝15，a＝10，求bc的值．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
（思维导图+知识梳理+十大重点考向举一反三讲练）
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
知识点01：二次根式的相关概念和性质
【高频考点精讲】
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点02：二次根式的运算
【高频考点精讲】
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
知识点03：二次根式的相关概念和性质
【高频考点精讲】
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】
最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点04：二次根式的运算
【高频考点精讲】
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
重点考向01：二次根式有意义的条件
重点考向02：二次根式的性质与化简
重点考向03：最简二次根式
重点考向04：二次根式的乘除法
重点考向05：分母有理化
重点考向06：同类二次根式
重点考向07：二次根式的加减法
重点考向08：二次根式的混合运算
重点考向09：二次根式的化简求值
重点考向10：二次根式的应用
重点考向01：二次根式有意义的条件
【典例精讲】（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4
【变式训练1-1】（2023春•招远市期中）若式子有意义，则x的取值可以是（ ）
A．0B．2C．3D．5
【变式训练1-2】（2023•包河区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【变式训练1-3】（2023•香坊区校级开学）已知，则＝ ．
【变式训练1-4】（2023•平潭县校级开学）已知．
求x的值． （2）求的值．
重点考向02：二次根式的性质与化简
【典例精讲】（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-1】（2023春•兰陵县期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
【变式训练2-2】（2023秋•怀化期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即
，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
【变式训练2-3】（2023秋•天元区期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．
【变式训练2-4】（2023春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值．
（3）化简．
重点考向03：最简二次根式
【典例精讲】（2023秋•蒸湘区校级期中）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-1】（2022春•舒兰市期末）下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】（2020春•怀宁县期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
【变式训练3-3】（2021秋•侯马市校级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【变式训练3-4】（2023春•莱阳市期中）已知A＝5，B＝3，C＝，其中A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求的值．
重点考向04：二次根式的乘除法
【典例精讲】（2023春•西和县期末）下列计算错误的是（ ）
A．B．2C．D．
【变式训练4-1】（2023秋•昌黎县期末）小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝ ．
【变式训练4-2】（2023春•红安县期末）化简：的结果为： ．
【变式训练4-3】（2023春•宾阳县期中）观察下列各式及其验证过程：
，
验证：．
，
验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且a为整数）表示的等式．
重点考向05：分母有理化
【典例精讲】（2023春•莘县期末）下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练5-1】（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝
【变式训练5-2】（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简：＝ ．
【变式训练5-3】（2023春•巨野县期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
重点考向06：同类二次根式
【典例精讲】（2024•岳阳楼区开学）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【变式训练6-1】（2023春•蜀山区期中）使最简二次根式与是同类二次根式的x值是
【变式训练6-2】（2023春•灌云县期末）已知是最简二次根式，且与可以合并．
（1）求x的值；
（2）求与的乘积．
【变式训练6-3】（2023秋•高州市期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0的解．
重点考向07：二次根式的加减法
【典例精讲】（2023春•民权县期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．（）2﹣＝
【变式训练7-1】（2023春•铜梁区校级期末）若a和b都是正整数且a＜b，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得；
②只存在两组a和b使得；
③不存在a和b使得；
④若只存在三组a和b使得（c为定值），则c可以被49或64整除．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练7-2】（2023秋•海曙区期末）（1）解不等式：；
（2）计算：．
【变式训练7-3】（2023春•绥江县期中）已知：，，
，…，，n为正整数，且n≥1．
（1）求出a2和a3的值，猜想an的结果，并用含n的式子表示出an；
（2）设an与bn满足的数量关系为，例如，请利用所学知识试求出b1+b2+b3+…+bn的结果．（解答建议：（2）小题可构造平方差公式先对bn进行化简，再求和．）
【变式训练7-4】（2023春•前郭县期中）计算：（b＞0）
重点考向08：二次根式的混合运算
【典例精讲】（2023秋•宽甸县期末）（1）计算：（+2）（﹣2）+|1﹣|×．
（2）解方程组：．
【变式训练8-1】（2023秋•麻阳县期末）阅读下列解题过程：
，，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：．
【变式训练8-2】（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝ ﹣ ；②＝ + ．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝ ．（用含n的式子表示，n为正整数）
【变式训练8-3】2023春•章贡区期中）【阅读理解]】阅读下列材料，然后解答下列问题．
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；②＝ ；
（2）计算：；
（3）已知：，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
重点考向09：二次根式的化简求值
【典例精讲】（2022秋•新化县期末）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．B．﹣10C．﹣2D．
【变式训练9-1】（2023春•康巴什期末）已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为 ．
【变式训练9-2】（2023秋•华容县期末）已知，，．求值：
（1）m2+n2；
（2）．
【变式训练9-3】（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算：+++⋯+＝ ；
（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．
重点考向10：二次根式的应用
【典例精讲】（2023春•嘉鱼县期中）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称为海伦﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，则△ABC的面积是（ ）
A．12B．C．24D．
【变式训练10-1】（2023秋•攸县期末）新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴＝ ．
根据海伦公式可得：＝ ．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
【变式训练10-2】（2023秋•南岸区期末）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．
（1）若a＝1，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中AF的长；
（3）已知m＞n且满足．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形ABEF的面积为3，求△ACF的面积．
【变式训练10-3】（2023秋•光明区期末）秦九韶（1208年～1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，S为三角形的面积，那么s＝．
（1）在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝7，请用上面的公式计算△ABC的面积；
（2）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7，BD⊥AC，垂足为D，求CD的长；
（3）一个三角形的三边长分别为a，b，c，s＝p＝15，a＝10，求bc的值．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
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