07-专项素养综合全练(七)三角形中求角的度数的常考类型--2024年冀教版数学七年级下册精品同步练习
展开专项素养综合全练(七) 三角形中求角的度数的常考类型 类型一 利用三角形内、外角的性质求角的度数 1.用分别含有30°和45°角的两块直角三角板拼成如下图形,∠C=90°, ∠B=30°,∠E=45°,则∠BFD的度数是( ) A.15° B.25° C.30° D.10° 2.(2023陕西西安模拟)如图,将两个直角三角板重叠摆放,其中∠B=30°,∠CDE=45°,且DE⊥AB于点D,交BC于点F,则∠DCF的度数为( ) A.75° B.55° C.35° D.15° 类型二 利用三角形内、外角的性质与平行线、垂线等知识求角的度数 3.(2023山东威海期中)如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC边上,EF⊥AB,垂足为F,∠1=∠2. (1)试说明DG∥BC; (2)若∠B=54°,∠ACD=35°,求∠3的度数. 类型三 利用三角形内、外角的性质与角平分线的定义求角的度数 4.(2023江苏盐城月考)如图,∠AOB=70°,点M,N分别在OA,OB上运动(不与点O重合),ME平分∠AMN,ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F,在M,N的运动过程中,∠F的度数( ) A.变大 B.变小 C.等于55° D.等于35° 5.【新考向·规律探究题】问题引入: (1)如图1,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC= (用含α的代数式表示);如图2,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,∠A=α,则∠BOC= (用含α的代数式表示); 拓展研究: (2)如图3,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,∠A=α,猜想∠BOC的度数(用含α的代数式表示),并说明理由; (3)和图3类似,若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC= (直接写出答案). 图1 图2 图3 答案全解全析 1.A 在△CDE中,∠C=90°,∠E=45°, ∴∠BDF=∠C+∠E=90°+45°=135°, 在△BDF中,∠B=30°,∠BDF=135°, ∴∠BFD=180°-30°-135°=15°.故选A. 2.D ∵DE⊥AB, ∴∠BDF=90°, ∵∠B=30°, ∴∠BFD=180°-∠BDF-∠B=60°, ∵∠CDE=45°,∠BFD是△CDF的外角, ∴∠DCF=∠BFD-∠CDE=15°.故选D. 3.解析 (1)∵CD⊥AB,EF⊥AB, ∴∠BFE=∠BDC=90°, ∴CD∥EF,∴∠2=∠BCD. ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BCD, ∴DG∥BC. (2)在△BCD中,∠BDC=90°,∠B=54°, ∴∠BCD=180°-∠BDC-∠B=180°-90°-54°=36°, ∴∠BCA=∠BCD+∠ACD=36°+35°=71°. 又∵BC∥DG, ∴∠3=∠BCA=71°. 4.D 如图,∵ME平分∠AMN,NF平分∠MNO, ∴∠EMN=12∠AMN,∠MNF=12∠MNO, 根据三角形外角的性质得∠AMN=∠AOB+∠MNO, ∴∠EMN=12∠AOB+12∠MNO, ∵∠AOB=70°, ∴∠EMN=12×70°+∠MNF=35°+∠MNF, 又∵∠EMN=∠F+∠MNF,∴∠F=35°,故选D. 5.解析 (1)90°+12α;120°+13α. (2)∠BOC=120°-13α.理由如下: ∵∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,∠A=α, ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°-13(∠DBC+∠ECB) =180°-13[360°-(∠ABC+∠ACB)] =180°-13[360°-(180°-∠A)] =180°-13(180°+α) =120°-13α. (3)(n-1)×180°-αn.