2024年内蒙古包头市中考数学考前冲刺预测模拟预测题二（原卷版+解析版）

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第I卷（选择题）
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列运算正确是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂乘除法及幂的乘方的运算，根据，，求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A选项错误，不符合题意，
，故B选项错误，不符合题意，
，故C选项错误，不符合题意，
，故D选项正确，符合题意，
故选：D．
2. 关于x一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）

A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式解集的方法．先求出，根据数轴得出，则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由图可知，该不等式的解集为，
∴，
解得：，
故选：C．
3. 定义新运算“”，规定，则的运算结果为（ ）
A. 10B. 8C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：．
故选D．
4. 如图，直线，是等边三角形，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，过点B作，可得，依次求解，，，再利用对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，过点B作，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B
5. 如图是由8个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从上面看到的几何体形状及个数即可得到从正面看到的形状及对应的个数．
【详解】解：根据从上面看到的几何体形状及个数可知：该几何体从正面看到的形状共三列，从左往右依次是2、2、3，
故选：B．
【点睛】本题考查了三种视图之间的关系，解题的关键是通过空间想象能力得到相应位置上正方体的个数．
6. 有甲、乙两个质地均匀的小正方体，每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，现抛郑这两个小正方体，记甲正方体朝上的面上的数字为点的横坐标，乙正方体朝上的面上的数字为点的纵坐标，那么点在直线上的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率，一次函数图象上点的坐标特征．点P在直线上，则坐标分别为；列出表格即可知所有可能情况数，则可求得概率．
【详解】解：点P在直线上时，横坐标，对应纵坐标为4，5，6，即点P的坐标为，因此满足条件的可能结果数有3种；
列表如下：
由表知，所有可能的结果数为36种，则点在直线上的概率为；
故选：D．
7. 如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理、一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．根据已知条件得到解析式为，设点P的坐标为，得到，求得，得到，根据建立方程，即可得到结论．
【详解】解：点为直线上的动点，且
∴设解析式为
把代入，解得
即解析式为，
设点P的坐标为，
∵，，，点在边上，且，点为的中点，
∴
∴
则
∵
∴
解得
∴
故选：B
8. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（ ）

A. B. C. 13D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点．先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长，结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得AB．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴是等边三角形，
，
∵，
，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
作于点M，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
9. 已知和有相同的外心，，则的度数是（ ）．
A. 80°B. 100°C. 80°或100°D. 不能确定．
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况：若C、D在AB的同侧，根据圆周角定理求解；若C、D在AB的异侧，根据圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：若C、D在AB的同侧，如图1，则∠D=∠C=80°；
若C、D在AB的异侧，如图2，则∠D+∠C=180°，
∵，
∴∠D=100°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的外心和圆内接四边形的性质，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．
10. 矩形中，，，以为原点，分别以，所在直线为轴和轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点，，连接，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义和矩形的性质，正确利用面积的和差计算不规则图形的面积是解答本题的关键．
根据已知条件，得到，，，再由双曲线，得到，，进而得到，由图中关系，得到，又，整理得：，由此得到答案．
【详解】解：矩形中，，，
，，，
双曲线的图象分别交，于点，，
，，
，
根据图示：，
，
，
又，
，
整理得：，
或（不合题意，舍去），
故选：．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 若m，n是两个连续的整数且，则_________.
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，先用夹逼法估算无理数，求出m和n，代入计算即可．
【详解】解：，
，即，
m，n是两个连续的整数且，
，，
，
故答案为：9．
12. 已知方程的两个根分别为，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的国际化是掌握一元二次方程根与系数的关系，则，，即可．
【详解】∵方程的两个根为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是__．
【答案】30
【解析】
【分析】根据题意得出AB=AB′=6，∠BAB′=75°，根据图形得出图中阴影部分的面积S= S扇形B′AB+S半圆O′-S半圆O，求出即可.
【详解】解：如图：
∵AB=AB′=6×2=12，∠BAB′=75°
∴图中阴影部分的面积是：
S=S扇形B′AB+S半圆O′-S半圆O
=+×62-×62
=30π.
【点睛】旋转的性质和扇形的面积公式是本题的考点，仔细观察图形利用分割图形求面积法找出阴影部分的面积是解题的关键.
14. 将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，由抛物线配方为，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由抛物线，向上平移个单位，再向右平移个单位后，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是，
故答案为：．
15. 点，均在直线上，点的横坐标是2，且，若将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是________．
【答案】或
【解析】
【分析】设直线分别交x轴，y轴于F、E，先求出，则，，，设将线段绕点顺时针旋转后线段所在的直线交y轴于C，则，解直角三角形求出，即，求出直线解析式为，设点B对应点坐标为，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设直线分别交x轴，y轴于F、E，
再中，当时，，当时，，当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设将线段绕点顺时针旋转后线段所在的直线交y轴于C，则，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设点B对应点坐标为，
∵，
∴由旋转的性质可得点B对应点到点A的距离为5，
∴，
整理得，
解得或，
∴点B对应点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，旋转的性质等等，正确求出旋转后直线所在的直线解析式是解题的关键．
16. 如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设．由题意可知，由，可得，列出方程即可解决问题．
详解】设．由题意可知，
∵，，
∴，同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴或不合题意舍去，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共7小题，满分72分）
17. （1）化简求值：，其中，；
（2）解分式方程：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解分式方程．
（1）根据整式的运算法则把所给代数式化简，然后把x，y的值代入计算即可；
（2）方程两边都乘以得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1）
，
当，时，原式；
（2）原方程化为：，
方程两边都乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解是
18. 某校兴趣小组为了解学校男生最喜爱的一项体育运动情况，在全体男生中采用抽样调查的方法进行调查．

（1）该校兴趣小组设计了以下三种调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分男生进行调查；
方案二：活动课时间在学校篮球场，随机抽取部分男生进行调查；
方案三：从全校所有男生中随机抽取部分男生进行调查．
其中最合理的调查方案是________．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）该校兴趣小组调查问卷的内容有：篮球、足球、乒乓球、跑步、其他，共五个选项，每位被调查的男生必选且只能选取一项．根据全部样本统计结果绘制了如图的扇形统计图，其中选择足球的人数为25人．
①若全校共有900名男生，请你估计选择乒乓球的人数；
②为了更好的开展体育运动，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
【答案】（1）方案三 （2）①180人；②建议学校多开设篮球、足球、乒乓球等项目活动特色课程
【解析】
【分析】（1）根据抽样调查的特点，可知方案三最合理；
（2）①根据选择足球的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出全校男生选择乒乓球的人数；②根据扇形统计图中的数据，写出一条建议即可，本题答案不唯一，合理即可．
【小问1详解】
解：方案一中的样本是指定的，不具有随机性和代表性，故方案一不合理；
方案二中样本只是在学校篮球场，不具有广泛性，故方案二不合理；
方案三中样本是随机抽取的，具有随机性、代表性和广泛性，故方案三是最合理的调查方案，
故答案为：方案三；
【小问2详解】
解：①（人），（人），
∴选择乒乓球的人数约为180人；
②建议学校多开设篮球、足球、乒乓球等项目活动特色课程；建议学校增加各类体育设施．
【点睛】本题考查抽样调查、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为，CD长为，BD长为，，（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离：
（2）求隧道AB的长度．
【答案】（1）；（2）3km
【解析】
【分析】（1）过点A作，垂足为E，在中，可利用特殊角的三角函数值和已知分别求出AE，CE及DE，则可由勾股定理求得A、D两点之间的距离；
（2）利用（1）中所求结果，可判断出△ADE是等腰直角三角形，结合已知角度可推出△ABD是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的长度．
【详解】解：（1）如图，过点A作，垂足为E，
．
在中，，，，
．
，
．
，
．
在中，，
．
A、D两点之间的距离为．
（2），，
∴△ADE是等腰直角三角形，
，
，
，
是直角三角形．
在中，，，
．
隧道AB的长度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣3x+900．
（1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设莫小贝获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
【答案】（1）政府这个月为他承担的总差价为16200元；（2）当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元；（3）销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．
【解析】
【分析】（1）把x=180代入y=-3x+900求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x-120）（-3x+900），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令-3（x-210）2+24300=10450，求出x的值，求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
【详解】解：（1）当x＝180时，y＝﹣3x+900＝﹣3×180+900＝360，
360×（165﹣120）＝16200，即政府这个月为他承担的总差价为16200元．
（2）依题意得，
w＝（x﹣120）（﹣3x+900）＝﹣3（x﹣210）2+24300
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝210时，w有最大值24300．
即当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元．
（3）由题意得：﹣3（x﹣210）2+24300＝19500，
解得：x1＝250，x2＝170．
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当170≤x≤250时，w≥19500．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（165﹣120）×（﹣3x+900）＝﹣135x+40500．
∵k＝﹣135＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x＝250时，p有最小值＝6750．
即销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．
【点睛】考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解.
21. 如图，在中，为直径，为弦．过延长线上一点，作于点，交于点，交于点，是的中点，连接，．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．（用两种做法解答）
【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，再根据斜边上的中线性质得到，继而解得，接着证明，从而得到，然后根据直线与圆的位置关系解题即可；
（2）方法一：先证明，再证明，则可判定，利用相似比计算出的长，再计算的长，然后计算即可．
方法二：如图2-2所示，过点C作于H，证明，得到，则，再证明，得到，设，则，利用勾股定理建立方程，求出，则．
【小问1详解】
解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，即，
∴，
∵为直径，
∴．
∵M点为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径
∴为的切线，即与相切；
小问2详解】
解：方法一：如图2-1所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；

方法二：如图2-2所示，过点C作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22. 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；
（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可；
（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90º，
∴∠E+∠ABD=90º，
∴∠EGB=90º，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90º，
∴∠DAG+∠DAH=90º，
∴∠HAG=90º，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值；
（3）点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）4 （3）点的坐标为：或．
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：①；
【小问2详解】
解：过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积，
，
故面积有最大值，当时，面积的最大值为4；
【小问3详解】
解：当点在轴上方时，
所以平行于x轴
则点和点关于抛物线对称轴对称，
则点；
当点在轴下方时，
设交轴于点，设点，
，
则，
则，
解得：，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（舍去）或，
即点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
x y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6