【导数大题】题型刷题突破第02讲双变量单调问题

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第02讲双变量单调问题
参考答案与试题解析
1．（2019•苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）．
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即．
显然，，代入方程中得，．
△，方程无解．
故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；
（Ⅱ）依题意，
恒成立．
设，则上式等价于，
要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，
在上恒成立．
（1），则，
在上成立的必要条件是：．
下面证明：当时，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
，即，．
那么，当时，，；
当时，，，恒成立．
因此，的最大整数值为 3．2．（2020秋•龙岩期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，，证明：．
【解答】解：（1）的定义域为，，
若，则，所以在单调递增；
若，当时，；
当时，．
所以在单调递减，在单调递增；
证明：（2）因为存在两个极值点且，
，
所以的两个极值点，满足，
所以，不妨设，则，
则
，
要证，只需证，
设，
则，
知在单调递减，又（1），
当时，，故，
即，
所以．
3．（2020•辽宁）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，．
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得．
则当时，；时，．
故在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）不妨假设，而，由（Ⅰ）知在单调递减，
从而，，
等价于，，①
令，则
①等价于在单调递减，即．
从而
故的取值范围为，．（12分）
4．（2020春•平顶山期末）已知函数，．
（1）当为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：对于任意，．
【解答】解：（1）当时，，，
当时，；时，；当时，．
所以，时，取得最小值．
（2），，
时，，在单调递减．
（3）证明：时，，，，
当时，；当时，；当时，．
即时，在和上单调递减，
在上单调递增．
由（2）知，当时，在上单调递减，
所以，当时，对任意，（b）（a），
即对任意，．
5．（2020•重庆模拟）已知函数．
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：若，则对于任意的，，，有．
【解答】解：（1）由题意知，，
因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根，
即有两个不等的正根，
所以，解得，所以的取值范围是，．（6分）
（2）证明：构造函数，
则．
由于，，故，即在上单调递增，
从而当时，有，
即，故；
当时，同理可证．
综上，对于任意的，，，有（12分）
6．（2020春•平顶山期末）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；（Ⅱ）设，证明：对任意，，．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，，．
（1），（1），
曲线在，（1）处的切线方程为．
（Ⅱ），的定义域为，，
在上单调递减．
不妨假设，那么等价于，
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意，，．
7．（2020•长春二模）已知函数在点，（1）处的切线与直线平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围．
【解答】解（1）由题意得，，
点，（1）处的切线与直线平行．
又（1），即，解得．
令，
解得：，
当，解得：，
函数在上单调递增，当，解得：，
函数在上单调递减，
在时取极小值，极小值为．（6分）
（2）由，可得，
令，则，其中，，，
又，，则，
即，
实数的取值范围是，．（12分）
8．（2020春•周口期末）已知函数．
（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当，时，对任意，，，有成立，求实数的取值范围
【解答】解：（1）函数的定义域为．
当时，．，
①当时，，函数在单调递增；
时，，时，，此时函数恰有一个零点．
②当时，令，，或（舍去），
时，，，时，
函数在单调递减，在，单调递增；
要使函数恰有一个零点，则，解得实数的取值范围为：，或
（2）对任意，，，有成立，，
，成立
，时，．．
当时，，当时，，
在单调递减，在，单调递增，
（1），，（e），
，．
（b）在递增，（b），．
，
，即，
设（b），，（b）在恒成立．
（b）在单调递增，且（1），
不等式的解集为，．
实数的取值范围为，
9．（2020•浙江模拟）已知函数，．
（Ⅰ）对任意，使得是函数在区间，上的最大值，试求最大的实数．
（Ⅱ）若，对于区间，上的任意两个不相等的实数、，且，都有成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，在区间，上恒成立，
只需在区间，上恒成立，
，
只需（b）对一切恒成立，
记（a）（b），只需（1），
解得，
最大的实数为2．
（Ⅱ）当，时，，
，
函数在区间，上是减函数，
，成立，
成立，
即，，
和在区间，上是减函数．
由，可得在区间，上恒成立，
，即；
由，可得在区间，上恒成立，
，即；
，
不存在．
10．（2020•福建模拟）已知函数，．
（1）若，求的零点个数；
（2）证明：，，，．
【解答】解：（1）当时，，
当时，，此时函数在单调递减，在单调递增，
又（3），故此时无零点；
当时，，此时函数在，上单调递增，
又，故此时无零点；
综上，当时，函数的零点个数为0；
（2）证明：要证：，，，，即证，时，，①当时，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递增，
故函数在，上单调递增，
（9），（3），
；
②当时，，易知函数在，上单调递增，
（9），（3），
；
综上，，，，．
11．（2020春•呼和浩特校级月考）已知函数．
（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围．
（2）如果对任意、，，有，求实数的取值范围．
【解答】（1）函数的定义域为，
；，
所以在上单调递增，在上单调递减，则极大值为（1），
当时，；当时，，
由，得在区间上存在唯一零点，则函数的图象大致如下图所示
在区间上同时存在函数的极值点和零点，
，解得，
艮．
（2）由（1）可知，函数在，上单调递减，
不妨设，由，得，
，
令，
函数在，上单调递减，
则在，上恒成立，
即在，上恒成立，
又因为当，时，的最小值为，
，
故实数的取值范围为，．