【导数大题】题型刷题突破第10讲双变量不等式：中点型

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第10讲双变量不等式:中点型
参考答案与试题解析
一．解答题（共19小题）
1．（2021•呼和浩特二模）已知函数．
①讨论的单调性；
②设，证明：当时，；
③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．
【解答】解：①函数的定义域为，
，
当时，则由，得，
当时，，当，时，，
在单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，
在单调递增；
②设函数，
则，
，
当时，，而，
，
故当时，；
③由①可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，且，
不妨设，，，，，则，
由②得，，又在，上单调递减，
，于是，
由①知，．
2．（2021秋•山西期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．
【解答】解：（1），
①当时，，，单调递增；
②当时，，，单调递减；
，，单调递增，
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，则（a）．
不妨设，
要证，即证，即证，即证．
因为在单调递增，即证，
因为，所以即证，即证，
令
．
．
当，时，，单调递减，又，
所以，时，，即，
即，又，所以，所以．
3．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
又，
对于方程，△，
①若△，即时，则恒成立，
所以在上单调递增；
②若△，即时，令，解得，或，
当和，时，，
当，时，，
所以在和，上单调递增，
在，上单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，，单调递减区间为，；
（2）由（1）可知，当时，，，又，
故，
由，
可得，
两式相减，可得，
所以，
令，
所以，
则，
所以在上单调递减，
由的取值范围为，，可得的取值范围为，
所以，
又因为，
故实数的取值范围是．
4．（2021秋•巴南区校级月考）已知函数为常数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，设函数的两个极值点，满足，求的最小值．
【解答】解：（1）依题意，得，
，由，解得，即当时，，单调递增，由，解得，即当时，，单调递减，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为，．
（2），
的两根为，，
即方程的两根为，，
，△，
，，
，
，
令，
由韦达定理，得，
，
，，
或，，
令，，
在上递减，
，
5．（2021春•瑶海区月考）已知函数，．
（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；（2）若，为的两个极值点，证明：．
【解答】解：（1），，
若存在两个极值点，
则在上有两个根，
所以有两个根，
即与，有两个交点，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以时，，
所以，
所以的取值范围为．
（2）证明：由（1）知，且，，
所以
，
所以只需证明，
令，故，原不等式等价于对成立，
令，
，
所以单调递减，
则有（1）．
6．（2021•宜春模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性：
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的范围是，，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，，
若，则，当且仅当，时，，
若，令得，，
当，，时，，
当，时，，
故当时，单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，单调递减区间为，，，
单调递增区间为，．
（2）由（1）知：且，，
又，
，
由得：
，
，
令，，
，在上单调递减，
由的取值范围是，，得的取值范围是，，
，，
，，，实数的取值范围是，．
7．（2021•湖北模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求函数的解析式，并证明：．
（2）已知，且函数与函数的图象交于，，，两点，且线段的中点为，，证明：（1）．
【解答】解：（1）由题意得：（1），即，
又，即（1），则，解得：，
则．
令，，
令，解得：，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
，则．
（2）要证（1）成立，只需证：，
即证：，即证：，
只需证：，
不妨设，即证：，
要证，只需证：，令，则，在上为增函数，
，即成立；
要证，只需证：，
令，则，
在上为减函数，，即成立．
，成立．（1）成立．
8．（2021•辽宁模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为，，线段的中点的横坐标为，且，恰为函数的零点．求证．
【解答】解：（1）由于的定义域为，．
对于方程，其判别式△．
当，即时，恒成立，故在内单调递增．
当，即，方程恰有两个不相等是实根，
令，得或，此时单调递增；
令，得，此时单调递减．
综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，
在，内单调递增．
（2）证明：由（1）知，，
所以的两根，即为方程的两根．
因为，所以△，，．
又因为，为的零点，
所以，，两式相减得，
得．而，
所以
．
令，由得，
因为，两边同时除以，得，
因为，故，解得或，所以．
设，所以，
则在上是减函数，
所以，
即的最小值为．
所以．
9．（2021秋•重庆月考）已知函数；（1）讨论的单调性；
（2）已知时，不等式恒成立；若函数的图象与轴交于，，，两点，线段中点的横坐标为，求证：．
【解答】解：（1）的定义域为，；
若，则，所以在单调增加，
若，则由得，且当时，，当时，；
即在单调增加，在单调减少；
（2）证明：由（1）可知当时，在单调增加，在单调减少．
与轴有2个交点，则，且，中一个大于，一个小于，
设，，则，
因为，恒成立，
所以，即，
又，所以，
因为，，又在单调递减，可知即，
，则，．
故成立．
10．（2021春•江西月考）已知函数，
（1）若函数的极小值是，求的值；
（2）设，，，是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，，直线的斜率为．证明：．
【解答】解：（1）函数，
所以的定义域为，
且，（1分）
当时，恒大于0，在上递增，无极值；（2分）当时，令，解得，
则时，，在上单调递减，
时，，在单调递增；
所以在的极小值为，解得；（4分）
经检验，使得函数的极小值为成立；（5分）
（2）证明：由已知可得，
又，所以；
要证，即证；（6分）
不妨设，即证，
即证；（8分）
设，即证，
即证，其中；（9分）
设，
则；
所以在上单调递增，
因此（1），
得证成立．（12分）
11．（2021秋•张家口期末）已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，，为函数图象上不同的两点，的中点为，．
求证：．
【解答】解：（Ⅰ），，当时，，，，递减，
，，递增；
的单调递减区间为0，，单调递增区间为．
（Ⅱ）不妨设．
要证明．即证明．
即证明，
设
及证明，
，
函数在单调递增，而（1），
（1）．
在上恒成立．
成立．
12．（2021•达州模拟）已知，是自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．
【解答】解：（1）由函数得，，且
，．
由不等式得，
由不等式得，或．
的单调增区间是，，的单调减区间是，，，．证明（2）曲线在，、，处的切线平行，
，
即
，
，
即．
，
即
．
．
由（1）知在，上递增，在区间，递减，且，
当时，，
，
设，，
，
令，
，即，
，
即，
函数在，上单调递增，
，
函数在，上单调递增，
当时，（1），．
13．（2021•达州模拟）已知，是自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．
【解答】解：（1）由函数得，，且．
，．
由不等式得，
由不等式得，或．
的单调增区间是，，的单调减区间是，，，．
证明（2）曲线在，、，处的切线平行，
，
即，
，
，
即．
，
即
．
．
14．（2021秋•上杭县校级月考）已知函数，又函数两个极值点为，满足；，恰为的零点．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：．
【解答】解：（1），，
令，或，
，，，，
当或时，，当时，，
在，，上单调递减，在，上单调递增；
（2），则，
由题意，得，，
结合，，恰为的零点，可得，
当时，，则，
，，
两式相减得，
令，则，
，
设，则，
在上单调递减，，
．
15．（2016秋•岳麓区校级月考）设函数的图象在点，处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）设函数的两个极值点，恰为的零点．当时，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得．
函数为偶函数，
，
恒成立，
．
，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
，
．
由题意得△，，
又，
解得．，恰为的零点，
代入，两式相减得，．
又，从而．
设，
则，记为．
在，上单调递减．
．
故的最小值为．
16．（2021•武清区校级模拟）已知函数，．
（Ⅰ）已知为的极值点，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若对于任意，，，都存在，，使得，证明；．
【解答】解：（Ⅰ），
由为的极值点，
所以（1），解得，，
由，得，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以（1），
（1），
所以过点的切线的方程为．
（Ⅱ），
则，
当时，，
所以在上单调递增，
令，
△，，对称轴方程为，
当时，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
当时，△，
有两个不等实数根，
，，
所以得出，
所以得出，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅲ）证明：
，
所以，
又，
所以，
即，
则
由，则，设，
设，
则，
所以在上单调递减，
所以（1），
所以恒成立，
即
由，
则，由，则在上单调递增，
所以，可得成立．
17．（2021•广陵区校级模拟）已知函数．
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，，若在区间内有两个不等实根，，证明：．
【解答】解：（1），，
，
，
，
令，
解得或，
①当时，即时，
若，解得，或，函数单调递增，
若，解得，函数单调递减，
，
，
②当时，即时，
若，解得，或，函数单调递增，
若，解得，函数单调递减，
，
，
③当时，即，恒成立，在单调递增，
函数无极值，
（2）证明：设，
记函数在区间内的零点为，由，当时，，而，故；
，当时，，存在零点，不然有：，
故时，；当时，；
而此得到，
显然：当时，恒大于0，是单增函数．
当时，恒小于0，是单减函数．
在有两个不等实根，，则，，，
显然：当时，．
要证明，即可证明，而在时是单减函数．故证．
又由，即可证：．即，（构造思想）
令，由．其中，
那么：，
记，则，当时，；当时，；
故；
而；故，而，从而有：；
因此：，即单增，从而时，．
即成立．
故得：．
18．证明不等式：（1）当，时，求证：；
（2）已知函数，设，，，，且，证明：．
【解答】证明：（1）（1）当，时，求证：；
构造函数，则，，，，
在区间，上单调递增，，；
构造函数，则，
在区间，上单调递增，，；
；
（2）不妨设，
，
即，
，
两边同除以得，
令，则，即证：，
令，
，
令，，
，在上单调递减，
，即，即恒成立，
在上是减函数，所以（1），得证，
成立．
19．（2016秋•中山市校级月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设，若函数存在两个零点，，且，问：函数在，处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知，，
令，得，
在单调递增，在单调递减，在单调递增．
（1），；
（2），
，定义域：，
在成立．
的对称轴：，
当时，只要最小值即可；
当时，则，
解得，
综上；
（3）假设函数在，处的切线平行于轴，
，依题意，；，相减得，
，，
又，
所以，
设，，
设，
所以函数在上单调递增，
因此，当时，，
即
也就是，
所以无解．
所以在，处的切线不能平行于轴．