【导数大题】题型刷题突破 第34讲 估值问题

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第34讲 估值问题
1．对关于的方程有近似解，必修一课本里研究过‘二分法’.现在结合导函数，介绍另一种方法‘牛顿切线法’.对曲线，估计零点的值在附近，然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题：
（1）求的值；
（2）设，求的解析式（用表示）；
（3）求该方程的近似解的这两种方法，‘牛顿切线法’和‘二分法’，哪一种更快？请给出你的判断和依据.（参照值：关于的方程有解）
【详解】
（1）因为，故可得，
则，
故可得在处的切线方程为，
整理得，令，则.
根据题意，则.
（2）由（1）中所求，
可得，
故可得在处的切线方程为
，
又因为满足切线方程，
故可得
解得.
故.
（3）根据（1）和（2）中所求，用牛顿法经过1次运算，可得近似解，
用牛顿法经过次运算，可得近似解
用牛顿法经过3次运算，可得近似解
经过3次运算，牛顿法求得的近似解精确到了；
若采用二分法，选定初始区间为，
因为，经过一次运算，近似解为，
因为，经过二次运算，近似解为，
因为，经过三次运算，近似解为，
经过3次运算，二分法求得的近似解才精确到.
不难发现，牛顿法相对二分法要更加快速
2．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天.
（i）求的表达式；
（ii）估计的近似值（精确到0.01）.
参考数值：，，.
【详解】
（1）由题得，当时，的定义域为；
当时，的定义域为，
又，且，
所以是的极小值点，故.
而，于是，解得.
下面证明当时，.
当时，，，，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即符合题意.综上，.
（2）（i）由于人生日都不相同的概率为，
故人生日至少有两人相同的概率为.
（ii）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，
由（i）得.
记，
则，
即
由参考数值得
于是
故.
3．已知函数=.
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，,求的最大值；
（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
【详解】
（1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；
（2）因为=，
所以=.
当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；
当时，若满足，即时，，而，
因此当时，，
综上，的最大值为2.
（3）由（2）知，，当时，，；
当时，，，
，所以的近似值为.
4．已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若取，试估计的范围．（精确到0.01）
试题解析：
（1）;
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时，恒成立，所以时，
，单调递增，恒成立．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时，，解得
且
（i）当，则，故时，，
单调递增，恒成立．
（ii）当，则，当时，，单调递减；
恒成立．这与恒成立矛盾．
综上所述，的取值范围是．
（2）由（1）得恒成立，取，
得.
又由（１）可知时，在时恒成立，
令，解得，取，
即有在上恒成立，取，得∴
（精确到）,取.
5．已知函数.
（1）若函数在内为增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）已知，试估算的近似值，（结果精确到0.001）
【详解】
解:（1）由题,,
,
在内为增函数,
在上恒成立,即,
令,则,所以在内为增函数,
所以.
（2）由题,,
,
①当时,,则,在内为增函数,
,则当时,,
在内有且只有一个零点,不符合题意；
②当时,设,则,在内为减函数,
且,,
（i）当,时,,在内为增函数,
,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意；
（ii）当时,,,
,使得,则在内为增函数,在内为减函数,
则,则在内有且只有一个零点,当且仅当,解得；
（iii）当,时,,在内为减函数,
,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意,
综上所述,.
（3）由（1）可知,当时,在内为增函数,
所以,即在内恒成立,
由（2）可知,当时,在内为减函数,
所以,即在内恒成立,
综上,有,即在内恒成立,
令,则有,
可得,即,
则,
解得,
所以的近似值约为1.609.
6．设n是正整数，r为正有理数．
（1）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（2）证明：；
（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．
（参考数据：．
【解析】
（1）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．（2）由（1），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．
上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即，②
当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），
类似可得，③
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得，④
（3）在④中，令，n分别取值81，82，83，…，125，
得，，，…，
将以上各式相加，并整理得．
代入数据计算，可得
由[S]的定义，得[S]=211．
7．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：为自然对数的底数）．
【解答】解：（1）因为，所以 ，
因为 是函数的一个极值点，故（1），即，当 时，当经验得是函数的一个极值点，所以．
（2）因为在， 上恒成立，所以．
当时， 在，上恒成立，即在，上为增函数
所以 成立，即 为所求．
当时，令，则，令，则，
即在上为减函数，在 上为增函数．当时，，这与 矛盾．综上所述，的取值范围是，．
（3）要证，只需证．两边取自然对数得，，
上式等价于，只需要证明，只需要证明
，由时，在 单调递增．
又，，
，从而原命题成立．
8．已知函数，其中，．
（1）讨论函数在区间，上的单调性；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
当，时，，所以在，单调递增，
当，由，得，所以在，单调递减，
当时，当时，，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
（2）不等式，
即，
为此先证明：，
由
由（1）知，当，在单调递增，，
即，
令，则有，故．
由（1）知，当，在单调递减，，
即，
令，则有，故．
综上，对，恒成立，
所以．9．已知函数．
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：是自然对数的底数）．
【解答】解：（1），，
，（1），即；
（2）在，上恒成立，，
当时，在，上恒成立，即在，上为增函数，
成立，即，
当时，令，则，令，则，
即在，上为减函数，在上为增函数，
，又，则矛盾．
综上，的取值范围为，．
（3）要证，只需证
两边取自然对数得，，即证，
即证，即证，
由（2）知时，在，单调递增．
又，，
所以，
所以成立．
10．已知函数．（注
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）证明：．
【解答】解：（1）函数．
函数．
是函数的一个极值点，
（1）
；（2分）
（2）在，上恒成立，
，（3分）
当时，在，上恒成立，即在，上为增函数，（4分）
成立，
（5分）
当时，令，则，令，则，（6分）
即在，上为减函数，在上为增函数，
，
又，则矛盾．
综上，的取值范围为，（8分）
证明：（3）要证：，只需证．
两边取自然对数得，，（9分）
即，
即，
即，（11分）
由（2）知时，在，单调递增．
又，，
（13分）成立（14分）
11．设函数，其中为实数．
（1）当时，求在区间，上的最小值；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
，
当时，又，上，，
那么在，上单调递增，，
即，
所以在，上单调递增，，
故得当时，在区间，上的最小值为0；
（2）根据（1）可知：当时，恒大于0，
此时，取，
得对任意正整数都有，即，
所以，
可得恒成立，
令得：．
12．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：为自然对数的底数）．
【解答】解：（1），，
是函数的一个极值点，
（1）即；
（2）在，上恒成立，，
当时，在，上恒成立，
即在，上为增函数，
成立，即，
当时，令，则，
令，则，
即在，上为减函数，在上为增函数，
，又，则矛盾．
综上，的取值范围为，．
（3）两边取自然对数得，，
，
由（2）知时，在，单调递增，
又，，
，
故成立．