资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩11页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
最新高考数学考试易错题 易错点13 圆锥曲线及直线与圆锥曲线位置关系
展开
这是一份最新高考数学考试易错题 易错点13 圆锥曲线及直线与圆锥曲线位置关系，文件包含易错点13圆锥曲线及直线与圆锥曲线位置关系-备战2023年高考数学考试易错题新高考专用原卷版docx、易错点13圆锥曲线及直线与圆锥曲线位置关系-备战2023年高考数学考试易错题新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
专题13 解析几何
易错分析
一、设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在致错
1．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.
【错解】设直线的方程为l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)
＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1. 答案：2 1
【错因】
【正解】
2．若直线l与椭圆C：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.交于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))|，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
【错解】∵|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))|，∴eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则.
设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝6，,y＝kx＋m))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3 (*)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2)，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(m2－6k2,1＋2k2)，
由eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得eq \f(2m2－6,1＋2k2)＋eq \f(m2－6k2,1＋2k2)＝0，
整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴eq \f(|m|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，即原点到直线l的距离为eq \r(2)，
∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切．
【错因】
【正解】
二、当直线的斜率存在时忽略判断斜率是否为零致错
3．若过点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，0))的直线l交椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1.于A，B两点，证明：eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)为定值．
【错解】设直线AB的方程为x＝ty－eq \f(\r(6),3)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty－\f(\r(6),3)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
消去x得(t2＋2)y2－eq \f(2\r(6)t,3)y－eq \f(4,3)＝0，则Δ＝eq \f(8,3)t2＋eq \f(16,3)(t2＋2)>0恒成立，由根与系数的关系，
得y1＋y2＝eq \f(2\r(6)t,3t2＋2)，y1y2＝－eq \f(4,3t2＋2)，所以eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝eq \f(1,1＋t2y\\al(2,1))＋eq \f(1,1＋t2y\\al(2,2))＝eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))
＝eq \f(y1＋y22－2y1y2,1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))＝eq \f(\f(8t2,3t2＋22)＋\f(8,3t2＋2),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(\f(16t2＋1,3t2＋22),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(16,3)×eq \f(9,16)＝3.
综上，eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝3为定值．
【错因】
【正解】
三、忽略圆锥曲线几何性质致错
4．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3)
C．5 D．2eq \r(5)
【错解】选B 设P(x0，y0)，则由题意得eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，故xeq \\al(2,0)＝4(1－yeq \\al(2,0))，
所以|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq \\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)，
所以当y0＝－时，|PA|2取得最大值eq \f(76,3)，即|PA|的最大值为eq \f(\r(218),3) . 故选C.
【错因】
【正解】
5．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2,0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则椭圆的长轴长为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2)
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(8\r(3),3)
【错解】选C 由焦点F(－2,0)在x轴上，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
作差得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0.(*)，因为直线l过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))及F(－2,0)，且AB的中点为M，
所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，kl＝eq \f(0－\f(1,2),－2－－1)＝eq \f(1,2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，代入(*)式，
得eq \f(b2,a2)＋eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2)＋eq \f(1,－2)×eq \f(1,2)＝0，即b2＝eq \f(1,4)a2，
因为c2＋b2＝a2，c＝2，所以a＝eq \f(4\r(3),3)，故选C.
【错因】
【正解】
6．已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝eq \f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________．
【错解】设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1＝eq \f(\r(2),4)x1，由|AB|＝2c，
可知|OA|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝c(O为坐标原点)，即eq \r(x\\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)x1))2)＝c，所以x1＝eq \f(2\r(2),3)c，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c，\f(c,3))).把点A的坐标代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)c))2,b2)＝1，又a2＝b2＋c2，
整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(\r(3),2)或.
【错因】
【正解】
7、若点F1，F2依次为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，
B2(0，b)．若双曲线C上存在点P，使得eq \(B1P,\s\up7(―→))·eq \(B2P,\s\up7(―→))＝－2，则实数b的取值范围为_______．
【错解】设双曲线上的点P(x，y)满足eq \(B1P,\s\up7(―→))·eq \(B2P,\s\up7(―→))＝－2，即x2＋y2＝b2－2，
又eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1⇒y2＝eq \f(b2,a2)x2－b2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b2,a2)))x2＝2b2－2，即eq \f(c2,a2)x2＝2b2－2，
∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥eq \f(\r(22),2)，
∴实数b的取值范围是。
【错因】
【正解】
8、已知点P是椭圆C: 上的动点,,求的最小值.
【错解】设,则
==,
所以.
【错因】
【正解】
四、有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错
9．若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5,7)B．(5,6) C．(6,7) D．(5,6)∪(6,7)
【错解】选A 由题意可知，解得5＜k＜7.
【错因】
【正解】
10．若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
【错解】选A 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0【错因】
【正解】
五、求离心率考虑不全致错
11、若两数1､9的等差中项是a, 等比中项是b, 则曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．D．
【错解】D，由题意,,则曲线方程为,
该方程表示椭圆,其离心率为。
【错因】
【正解】
12、双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|＝2|PF2|,
则双曲线离心率的取值范围为________．
【错解】如图,设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ<π),
由条件得|PF1|＝2m,|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cs θ,
且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(m2＋2m2－4m2cs θ),m)＝eq \r(5－4cs θ).
又－1【错因】
【正解】
六、求圆锥曲线的方程、离心率忽略焦点位置致错
13．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
【错解】选A 直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．
则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
【错因】
【正解】
14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，则双曲线的离心率为__________．
【错解】设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由题意可得eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，b＝eq \r(3)a，可得c＝2a，则e＝eq \f(c,a)＝2； 答案：2
【错因】
【正解】
15、若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为_______．
【错解】设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2,1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4,4)在抛物线上，点(1,2)不在抛物线上，满足题意；若点(1,2)在抛物线上，则m＝eq \f(1,2)，此时x2＝eq \f(1,2)y，点(－2,1)，(4,4)均不在抛物线上，不满足题意． 答案：x2＝4y
【错因】
【正解】
七、直线与圆锥曲线的位置关系忽略判别式致错
16．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,3，|BF|成等差数列，则k＝( )
A.eq \r(5)±1 B．1－eq \r(5) C．1±eq \r(5) D．1＋eq \r(5)
【错解】选C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x，))消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故x1＋x2＝eq \f(4k＋2,k2).由|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋2，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋2，且|AF|,3，|BF|成等差数列，
得x1＋2＋x2＋2＝6，得x1＋x2＝2，所以eq \f(4k＋2,k2)＝2，解得k＝1±eq \r(5).
【错因】
【正解】
17、已知双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q1,Q2两点,且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由．
【错解】设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),2)＝1， ①,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),2)＝1. ②))
①－②化简得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2x1＋x2,y1＋y2).，∵中点B(1,1),∴x1＋x2＝2,y1＋y2＝2,∴k＝2.
∴满足题设的直线存在,且方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0.
【错因】
【正解】
八、求轨迹方程对隐含条件挖掘不全致错
18．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1
【错解】选D，∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，
|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1
【错因】
【正解】
19、若Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0), 则点C满足的方程为________.
【错解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半,
如图,这样直角三角形斜边上的中点为M(1,0),
则半径为,即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【错因】
【正解】
20．已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))，直线PM，PN的斜率乘积为－eq \f(3,4)，P点的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为________.
【错解】设P点坐标为(x，y)，∵kPM·kPN＝－eq \f(3,4)，∴eq \f(y－\f(3,2),x－1)·eq \f(y＋\f(3,2),x＋1)＝－eq \f(3,4)，
∴4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))＋3(x－1)(x＋1)＝0，∴eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，∴曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
【错因】
【正解】
八、求离心率忽略开方致错
21．已知圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(4，＋∞)
C．(eq \r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)
【错解】选B，由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，解得k＝±eq \r(3)，
因为圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，
所以eq \f(b,a)＞eq \r(3)，所以e2＝1＋eq \f(b2,a2)＞4.
【错因】
【正解】
22．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
【错解】选D 设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)). 又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式作差，
代入上式得kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故eq \f(2,3)<1－eq \f(b2,a2)<1，又e＝1－eq \f(b2,a2)，故选D。
【错因】
【正解】
九、使用圆锥曲线的定义忽略限制条件致错
23．已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线的右支
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
【错解】选A 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故点P的轨迹为双曲线的右支；
【错因】
【正解】
24、设定点F10,−3，F20,3，动点Px,y满足条件PF1+PF2=aa>0，则动点P的轨迹是
A. 椭圆B. 线段
C. 不存在D. 椭圆或线段或不存在
【错解】A，由题中坐标得到F1F2=6，又由于PF1+PF2=a，则点P的轨迹为椭圆．
【错因】
【正解】
25、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________．
【错解】x2－eq \f(y2,8)＝1，
如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,
|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|,所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|,
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a＝1,c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1．
【错因】
【正解】
易错题通关
1、已知m∈R，命题p：方程x2m−2+y23−m=1表示椭圆，命题q：m2−5m+6<0，则命题p是命题q成立的( )条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
2、设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线
A． 经过点B． 经过点
C． 平行于直线D． 垂直于直线
3、已知点P在曲线C1：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是( )
A．6 B．8
C．10 D．12
4、设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3) ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3) ]∪[4，＋∞)
5．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对
6．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± eq \r(－\f(m,n))x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
7．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．x2＝8y或x2＝－8y B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．y2＝8x
8．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2eq \r(2)x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4eq \r(2)x
9．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足 ，则的离心率的取值范围是（ ）
A.B. C. D.
12．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭图
B．若t＜1．则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
13．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点
14．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
15、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
16．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(5)) B．(1，eq \r(5)]
C．(eq \r(5)，＋∞) D．[eq \r(5)，＋∞)
17．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2)
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32)
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
18．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．
19．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
20．P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,81)＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
21．平面内一点M到两定点F1(－6,0)，F2(6,0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________．
22．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________．
23．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为__________．
24．设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为_________．
25.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一．如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径为16 cm，瓶口直径为20 cm，瓶高20 cm，则该双曲线的离心率为________．
26、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为________．
27、若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为 .
28．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为________．
29．定义椭圆的“蒙日圆”的方程为,已知椭圆的长轴长为,离心率为.
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）过“蒙日圆”上的任意一点作椭圆的一条切线,为切点,延长与“蒙日圆”点交于点,为坐标原点,若直线,的斜率存在,且分别设为,,证明：为定值.
30.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，右焦点F(1,0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，过F作两条互相垂直的弦AB，CD.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．
31．已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(2)，且经过A(0,2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求三角形BOM(O为坐标原点)面积的取值范围．
32．已知双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．
1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
专题13 解析几何
易错分析
一、设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在致错
1．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.
【错解】设直线的方程为l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)
＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1. 答案：2 1
【错因】
【正解】
2．若直线l与椭圆C：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.交于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))|，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
【错解】∵|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))|，∴eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则.
设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝6，,y＝kx＋m))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3 (*)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2)，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(m2－6k2,1＋2k2)，
由eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得eq \f(2m2－6,1＋2k2)＋eq \f(m2－6k2,1＋2k2)＝0，
整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴eq \f(|m|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，即原点到直线l的距离为eq \r(2)，
∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切．
【错因】
【正解】
二、当直线的斜率存在时忽略判断斜率是否为零致错
3．若过点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，0))的直线l交椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1.于A，B两点，证明：eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)为定值．
【错解】设直线AB的方程为x＝ty－eq \f(\r(6),3)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty－\f(\r(6),3)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
消去x得(t2＋2)y2－eq \f(2\r(6)t,3)y－eq \f(4,3)＝0，则Δ＝eq \f(8,3)t2＋eq \f(16,3)(t2＋2)>0恒成立，由根与系数的关系，
得y1＋y2＝eq \f(2\r(6)t,3t2＋2)，y1y2＝－eq \f(4,3t2＋2)，所以eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝eq \f(1,1＋t2y\\al(2,1))＋eq \f(1,1＋t2y\\al(2,2))＝eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))
＝eq \f(y1＋y22－2y1y2,1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))＝eq \f(\f(8t2,3t2＋22)＋\f(8,3t2＋2),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(\f(16t2＋1,3t2＋22),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(16,3)×eq \f(9,16)＝3.
综上，eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝3为定值．
【错因】
【正解】
三、忽略圆锥曲线几何性质致错
4．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3)
C．5 D．2eq \r(5)
【错解】选B 设P(x0，y0)，则由题意得eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，故xeq \\al(2,0)＝4(1－yeq \\al(2,0))，
所以|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq \\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)，
所以当y0＝－时，|PA|2取得最大值eq \f(76,3)，即|PA|的最大值为eq \f(\r(218),3) . 故选C.
【错因】
【正解】
5．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2,0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则椭圆的长轴长为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2)
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(8\r(3),3)
【错解】选C 由焦点F(－2,0)在x轴上，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
作差得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0.(*)，因为直线l过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))及F(－2,0)，且AB的中点为M，
所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，kl＝eq \f(0－\f(1,2),－2－－1)＝eq \f(1,2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，代入(*)式，
得eq \f(b2,a2)＋eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2)＋eq \f(1,－2)×eq \f(1,2)＝0，即b2＝eq \f(1,4)a2，
因为c2＋b2＝a2，c＝2，所以a＝eq \f(4\r(3),3)，故选C.
【错因】
【正解】
6．已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝eq \f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________．
【错解】设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1＝eq \f(\r(2),4)x1，由|AB|＝2c，
可知|OA|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝c(O为坐标原点)，即eq \r(x\\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)x1))2)＝c，所以x1＝eq \f(2\r(2),3)c，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c，\f(c,3))).把点A的坐标代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)c))2,b2)＝1，又a2＝b2＋c2，
整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(\r(3),2)或.
【错因】
【正解】
7、若点F1，F2依次为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，
B2(0，b)．若双曲线C上存在点P，使得eq \(B1P,\s\up7(―→))·eq \(B2P,\s\up7(―→))＝－2，则实数b的取值范围为_______．
【错解】设双曲线上的点P(x，y)满足eq \(B1P,\s\up7(―→))·eq \(B2P,\s\up7(―→))＝－2，即x2＋y2＝b2－2，
又eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1⇒y2＝eq \f(b2,a2)x2－b2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b2,a2)))x2＝2b2－2，即eq \f(c2,a2)x2＝2b2－2，
∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥eq \f(\r(22),2)，
∴实数b的取值范围是。
【错因】
【正解】
8、已知点P是椭圆C: 上的动点,,求的最小值.
【错解】设,则
==,
所以.
【错因】
【正解】
四、有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错
9．若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5,7)B．(5,6) C．(6,7) D．(5,6)∪(6,7)
【错解】选A 由题意可知，解得5＜k＜7.
【错因】
【正解】
10．若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
【错解】选A 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0
【正解】
五、求离心率考虑不全致错
11、若两数1､9的等差中项是a, 等比中项是b, 则曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．D．
【错解】D，由题意,,则曲线方程为,
该方程表示椭圆,其离心率为。
【错因】
【正解】
12、双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|＝2|PF2|,
则双曲线离心率的取值范围为________．
【错解】如图,设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ<π),
由条件得|PF1|＝2m,|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cs θ,
且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(m2＋2m2－4m2cs θ),m)＝eq \r(5－4cs θ).
又－1
【正解】
六、求圆锥曲线的方程、离心率忽略焦点位置致错
13．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
【错解】选A 直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．
则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
【错因】
【正解】
14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，则双曲线的离心率为__________．
【错解】设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由题意可得eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，b＝eq \r(3)a，可得c＝2a，则e＝eq \f(c,a)＝2； 答案：2
【错因】
【正解】
15、若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为_______．
【错解】设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2,1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4,4)在抛物线上，点(1,2)不在抛物线上，满足题意；若点(1,2)在抛物线上，则m＝eq \f(1,2)，此时x2＝eq \f(1,2)y，点(－2,1)，(4,4)均不在抛物线上，不满足题意． 答案：x2＝4y
【错因】
【正解】
七、直线与圆锥曲线的位置关系忽略判别式致错
16．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,3，|BF|成等差数列，则k＝( )
A.eq \r(5)±1 B．1－eq \r(5) C．1±eq \r(5) D．1＋eq \r(5)
【错解】选C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x，))消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故x1＋x2＝eq \f(4k＋2,k2).由|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋2，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋2，且|AF|,3，|BF|成等差数列，
得x1＋2＋x2＋2＝6，得x1＋x2＝2，所以eq \f(4k＋2,k2)＝2，解得k＝1±eq \r(5).
【错因】
【正解】
17、已知双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q1,Q2两点,且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由．
【错解】设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),2)＝1， ①,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),2)＝1. ②))
①－②化简得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2x1＋x2,y1＋y2).，∵中点B(1,1),∴x1＋x2＝2,y1＋y2＝2,∴k＝2.
∴满足题设的直线存在,且方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0.
【错因】
【正解】
八、求轨迹方程对隐含条件挖掘不全致错
18．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1
【错解】选D，∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，
|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1
【错因】
【正解】
19、若Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0), 则点C满足的方程为________.
【错解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半,
如图,这样直角三角形斜边上的中点为M(1,0),
则半径为,即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【错因】
【正解】
20．已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))，直线PM，PN的斜率乘积为－eq \f(3,4)，P点的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为________.
【错解】设P点坐标为(x，y)，∵kPM·kPN＝－eq \f(3,4)，∴eq \f(y－\f(3,2),x－1)·eq \f(y＋\f(3,2),x＋1)＝－eq \f(3,4)，
∴4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))＋3(x－1)(x＋1)＝0，∴eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，∴曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
【错因】
【正解】
八、求离心率忽略开方致错
21．已知圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(4，＋∞)
C．(eq \r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)
【错解】选B，由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，解得k＝±eq \r(3)，
因为圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，
所以eq \f(b,a)＞eq \r(3)，所以e2＝1＋eq \f(b2,a2)＞4.
【错因】
【正解】
22．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
【错解】选D 设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)). 又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式作差，
代入上式得kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故eq \f(2,3)<1－eq \f(b2,a2)<1，又e＝1－eq \f(b2,a2)，故选D。
【错因】
【正解】
九、使用圆锥曲线的定义忽略限制条件致错
23．已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线的右支
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
【错解】选A 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故点P的轨迹为双曲线的右支；
【错因】
【正解】
24、设定点F10,−3，F20,3，动点Px,y满足条件PF1+PF2=aa>0，则动点P的轨迹是
A. 椭圆B. 线段
C. 不存在D. 椭圆或线段或不存在
【错解】A，由题中坐标得到F1F2=6，又由于PF1+PF2=a，则点P的轨迹为椭圆．
【错因】
【正解】
25、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________．
【错解】x2－eq \f(y2,8)＝1，
如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,
|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|,所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|,
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a＝1,c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1．
【错因】
【正解】
易错题通关
1、已知m∈R，命题p：方程x2m−2+y23−m=1表示椭圆，命题q：m2−5m+6<0，则命题p是命题q成立的( )条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
2、设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线
A． 经过点B． 经过点
C． 平行于直线D． 垂直于直线
3、已知点P在曲线C1：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是( )
A．6 B．8
C．10 D．12
4、设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3) ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3) ]∪[4，＋∞)
5．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对
6．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± eq \r(－\f(m,n))x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
7．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．x2＝8y或x2＝－8y B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．y2＝8x
8．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2eq \r(2)x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4eq \r(2)x
9．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足 ，则的离心率的取值范围是（ ）
A.B. C. D.
12．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭图
B．若t＜1．则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
13．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点
14．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
15、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
16．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(5)) B．(1，eq \r(5)]
C．(eq \r(5)，＋∞) D．[eq \r(5)，＋∞)
17．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2)
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32)
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
18．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．
19．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
20．P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,81)＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
21．平面内一点M到两定点F1(－6,0)，F2(6,0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________．
22．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________．
23．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为__________．
24．设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为_________．
25.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一．如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径为16 cm，瓶口直径为20 cm，瓶高20 cm，则该双曲线的离心率为________．
26、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为________．
27、若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为 .
28．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为________．
29．定义椭圆的“蒙日圆”的方程为,已知椭圆的长轴长为,离心率为.
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）过“蒙日圆”上的任意一点作椭圆的一条切线,为切点,延长与“蒙日圆”点交于点,为坐标原点,若直线,的斜率存在,且分别设为,,证明：为定值.
30.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，右焦点F(1,0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，过F作两条互相垂直的弦AB，CD.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．
31．已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(2)，且经过A(0,2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求三角形BOM(O为坐标原点)面积的取值范围．
32．已知双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．
相关试卷
最新高考数学考试易错题 易错点12 直线及直线与圆位置关系： 这是一份最新高考数学考试易错题 易错点12 直线及直线与圆位置关系，文件包含易错点12直线及直线与圆位置关系-备战2023年高考数学考试易错题新高考专用原卷版docx、易错点12直线及直线与圆位置关系备战2023年高考数学考试易错题新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
最新高考数学考试易错题 易错点11 立体几何： 这是一份最新高考数学考试易错题 易错点11 立体几何，文件包含易错点11立体几何-备战2023年高考数学考试易错题新高考专用原卷版docx、易错点11立体几何-备战2023年高考数学考试易错题新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
最新高考数学考试易错题 易错点10 数列： 这是一份最新高考数学考试易错题 易错点10 数列，文件包含易错点10数列-备战2023年高考数学考试易错题新高考专用原卷版docx、易错点10数列-备战2023年高考数学考试易错题新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
