2024年四川省内江一中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年四川省内江一中中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023的倒数是( )
A. 2023B. −2023C. −12023D. 12023
2.人的大脑每天能记录大约86000000条信息，86000000用科学记数法表示为( )
A. 86×106B. 8.6×107C. 8.6×108D. 8.6×109
3.如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，AB/​/CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE.若∠D=40°，∠BED=60°，则∠B=( )
A. 10°
B. 20°
C. 40°
D. 60°
5.下列运算结果正确的是( )
A. x4+x4=2x8B. (−2x2)3=−6x6C. x6÷x3=x3D. x2⋅x3=x6
6.如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
7.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )
A. 1.65，1.70B. 1.70，1.65C. 1.70，1.70D. 3，5
8.在函数y= x+3x中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥3B. x≥−3C. x≥3且x≠0D. x≥−3且x≠0
9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为( )
A. 12(x+4.5)=x−1B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x−4.5D. 12(x−1)=x+4.5
10.如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于12FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB=10，DE=6，CE=8，则BE的长为( )
A. 2 41B. 40 2C. 4 5D. 8 5
11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH/​/CD，交BF于点H，则线段GH的长度是( )
A. 56B. 1C. 54D. 53
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，以下结论中：①abc>0；②b2−4ac>0；③2a−b=0；④a−b+c>m(am+b)+c(m≠−1的任意实数)；⑤4a−2b+c<0.正确的个数是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题（本题共8小题，共40分）
13.因式分解：ax2−2ax+a=______．
14.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．
15.如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC.若四边形AOBC的面积为6，ADAC=12，则k的值为______．
16.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为______．
17.若m，n为方程x2−5x−2=0的两根，则多项式m2+5n+3的值为______．
18.若关于x的一元一次不等式组3x−1219.如图，在第一象限内的直线l：y= 3x上取点A1，使OA1=1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；…，依次类推，则点A2024的横坐标为______．
20.如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6,8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点.若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为______．
三、解答题（本题共8小题，共74分）
21.计算：(2 3−π)0−|1− 3|+3tan30°+(−12)−2．
22.如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF/​/AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
23.某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：(A)微重力环境下的太空“冰雪”实验，(B)液桥演示实验，(C)水油分离实验，(D)太空抛物实验.观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

请根据图中信息，回答下列问题：
(1)共调查了______名学生，请补全条形统计图；
(2)图2中A所对应的圆心角度数为______；
(3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
24.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m，∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
(1)求DE的长；
(2)求塔AB的高度.(tan27°取0.5， 3取1.7，结果取整数)
25.如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，点A坐标为(6,2)，点B坐标为(−4,n)，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)请你根据图象直接写出不等式ax+b>kx的解集，
(3)求四边形OCBD的面积．
26.随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
(1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
(3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第(2)问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
27.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，OD⊥BE，连接AD交BC于点F，若AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF=8，DF=2 10，求BD的长；
(3)在(2)的条件下，若∠ADB=60°，求阴影部分的面积．
28.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．

(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的倒数是12023．
故选：D．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
2.【答案】B
【解析】解：86000000用科学记数法表示为8.6×107，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠C+∠D=∠BED=60°，
∴∠C=60°−∠D=60°−40°=20°．
又∵AB/​/CD，
∴∠B=∠C=20°．
故选：B．
利用平行线的性质及外角计算即可．
本题简单地考查了平行线的性质，知识点比较基础，一定要掌握．
5.【答案】C
【解析】解：A.x4+x4=2x4，故此选项不合题意；
B.(−2x2)3=−8x6，故此选项不合题意；
C.x6÷x3=x3，故此选项符合题意；
D.x2⋅x3=x5，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：B．
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
7.【答案】A
【解析】解：在这一组数据中1.70是出现次数最多的，故众数是1.70.在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.65，所以中位数是1.65．
所以这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.65，1.70．
故选：A．
根据中位数和众数的定义，第8个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．
本题为主要考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥−3且x≠0，
故选：D．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设木长x尺，根据题意可得：
12(x+4.5)=x−1，
故选：A．
设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AJ//EC交BC于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AJ//EC，AE//JC，
∴四边形AJCE是平行四边形，
∴AJ=EC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=10，AJ=EC=8，AE=JC=10，
∵DE=6，
∴AD=BC=16，
∴BJ=BC−JC=16−10=6，
∴AB2=BJ2+AJ2，
∴∠AJB=90°，
∵AJ//EC，
∴∠BCE=∠BJA=90°，
∴BE= BC2+EC2= 162+82=8 5，
故选：D．
如图，过点A作AJ//EC交BC于J.证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明∠AJB=90°，推出∠BCE=90°，利用勾股定理求出BE即可．
本题考查作图——基本作图，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，
∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，
∵EH/​/CD，
∴FH=BH，
∵BE=CE，
∴EH=12CF=32，
由勾股定理得：BF= BC2+CF2= 42+32=5，
∴BH=FH=12BF=52，
∵EH/​/CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴EHDF=GHFG，
∴323=GH52−GH，
解得：GH=56，
故选：A．
根据矩形的性质得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，求出FH=BH，根据勾股定理求出BF，求出FH=BH=52，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形的性质得出EHDF=GHFG，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：①抛物线开口方向向下，则a<0．
抛物线对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即ab>0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．
所以abc>0．
故①正确．
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0．
故②正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，即2a−b=0，
故③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−1，
∴函数的最大值为：a−b+c，
∴a−b+c>am2+bm+c(m≠−1的任意实数)，即a−b+c>m(am+b)+c，
故④正确；
∵x=0时，y>0，对称轴为直线x=−1，
∴x=−2时，y>0，
∴4a−2b+c>0．
故⑤错误．
故选：C．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
13.【答案】a(x−1)2
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】
解：ax2−2ax+a
=a(x2−2x+1)
=a(x−1)2．
故答案为：a(x−1)2．
14.【答案】2
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=120⋅π×6180，
解得，r=2，
即该圆锥底面半径为2．
故答案为2．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=120⋅π×6180，然后解关于r的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15.【答案】3
【解析】解：设点A(a,ka)，
∵AC⊥y轴，
∴AD=a，OD=ka，
∵ADAC=12，
∴AC=2a，
∴CD=3a，
∵BC⊥AC.AC⊥y轴，
∴BC/​/y轴，
∴点B(3a,k3a)，
∴BC=ka−k3a=2k3a，
∵S梯形OBCD=S△AOD+S四边形AOBC，
∴12(ka+2k3a)×3a=12k+6，
解得：k=3．
故答案为：3．
设点A(a,ka)，可得AD=a，OD=ka，从而得到CD=3a，再由BC⊥AC.可得点B(3a,k3a)，从而得到BC=2k3a，然后根据S梯形OBCD=S△AOD+S四边形AOBC，即可求解．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
16.【答案】172
【解析】解：在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BCD=90°，O是中点，
∵F为DE的中点，
∴CF=EF=DF，
∵△CEF的周长为32，CE=7，
∴CF+EF=25，即DE=25，
在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD=24=BC，
∴BE=24−7=17，
根据三角形的中位线可得OF=12BE=172．
故答案为：172．
在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，可知O是中点，∠BCD=90°，F为DE的中点，则CF=EF=DF，△CEF的周长为32，CE=7，则CF+EF=25，即DE=25，根据勾股定理可得CD=24=BC，从而求得BE，再根据中位线的性质即可解答．
本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟悉性质是解题关键．
17.【答案】解：原式=1−( 3−1)+3× 33+4
=1− 3+1+ 3+4
=6．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵CF/​/AB，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠CFE∠DAE=∠FCEAE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF．
(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由(1)知，AD=CF．
∵AD//CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD=12AB=AD，
∴四边形ADCF是菱形．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
(1)由CF/​/AB，得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，又AE=CE，可证△ADE≌△CFE(AAS)，即得AD=CF；
(2)由AD=CF，AD/​/CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD=12AB=AD，即得四边形ADCF是菱形．
19.【答案】50 144°
【解析】解：(1)共调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，
D的人数为：50×10%=5(人)，
∴C的人数为：50−20−10−5=15(人)，
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
(2)图2中A所对应的圆心角度数为：360°×2050=144°；
故答案为：144°；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为812=23．
(1)由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题；
(2)求出D、C的人数，即可解决问题；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，
CD=6m，∠DCE=30°，
∴DE=12CD=3(m)，
∴DE的长为3m；
(2)由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE=3m，∠DCE=30°，
∴CE= 3DE=3 3(m)，
在Rt△ABC中，
设AB=ℎ m，
∵∠BCA=45°，
∴AC=ABtan45∘=ℎ(m)，
∴AE=EC+AC=(3 3+ℎ)m，
∴线段EA的长为(3 3+ℎ)m；
过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由题意得：DF=EA=(3 3+ℎ)m，DE=FA=3m，
∵AB=ℎ m，
∴BF=AB−AF=(ℎ−3)m，
在Rt△BDF中，
∵∠BDF=27°，
∴BF=DF⋅tan27°≈0.5(3 3+ℎ)m，
∴ℎ−3=0.5(3 3+ℎ)，
解得：ℎ=3 3+6≈11，
∴AB=11m，
∴塔AB的高度约为11m．
【解析】(1)根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
(2)过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB=ℎm，根据题意得：DF=EA=(3 3+ℎ)m，DE=FA=3m，则BF=(ℎ−3)m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于ℎ的方程，进行计算即可解答．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)点A坐标为(6,2)，
∴k=6×2=12，
∵点B在反比例函数图象上，
∴−4n=12，
解得n=−3，
∴点B坐标为(−4,−3)，
将点A(6,2)，点B(−4,−3)代入一次函数y=ax+b，
得6a+b=2−4a+b=−3，
解得a=12b=−1，
∴一次函数表达式为y=12x−1，反比例函数表达式为y=12x；
(2)由图象可知，不等式ax+b>kx的解集是x>6或−4
(3)当x=0时，y=12x−1=−1，
∴点C坐标为(0,−1)，
∵CD⊥y轴，
∴点D纵坐标为−1，
∵点D在反比例函数y=12x上，
∴点D横坐标为−12，
∴CD=12，
∴四边形OCBD的面积=S△OCD+S△BCD=12×12×1+12×12×2=18．
【解析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析，再根据点B在反比例函数图象上，可得点B的坐标，进一步利用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)根据图象即可确定不等式的解集；
(3)先求出点C和点D坐标，再根据四边形OCBD的面积=S△OCD+S△BCD求解即可．
本题考查了反比例函数的综合题，涉及待定系法求函数解析式，三角形面积等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
22.【答案】30
【解析】解：∵m为方程x2−5x−2=0的根，
∴m2−5m−2=0，
∴m2=5m+2，
∴m2+5n+3=5m+2+5n+3=5(m+n)+5，
∵m，n为方程x2−5x−2=0的两根，
∴m+n=5，
∴m2+5n+3=5×5+5=30．
故答案为：30．
先根据一元二次方程根的定义得到m2=5m+2，则m2+5n+3可化为5(m+n)+5，再利用根与系数的关系得到m+n=5，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
23.【答案】13
【解析】解：3x−12解不等式①得：x<5，
解不等式②得：x≥a+24，
∴不等式组的解集为a+24≤x<5，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴1∴2分式方程两边都乘(x−1)得：ax−2−3=x−1，
解得：x=4a−1，
∵x−1≠0，
∴x≠1，
∵方程有正数解，
∴4a−1>0，又∵4a−1≠1，
∴a>1且a≠5，
综上所述，2∴a的整数解为3，4，6，
∴3+4+6=13，
故答案为：13．
解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围，从而得到2本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程不要忘记检验．
24.【答案】22022
【解析】解：∵OA1=1，△OA1B1是等边三角形，
∴OB1=OA1=1，
∴A1的横坐标为12，
∵OB1=1，
∴A2的横坐标为1，
∵过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，
∴OB2=2OB1=2，
∴A3的横坐标为2，
∴依此类推：An的横坐标为2n−2，
∴A2024的横坐标为22022，
故答案为：22022．
根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．
25.【答案】(−14,0)
【解析】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6、MQ=8，
∴OM=10，
又∵MP′=r=4，
∴OP′=MO+MP′=10+4=14，
∴AB=2OP′=2×14=28；
∴A点坐标为(−14,0)，
故答案为：(−14,0)．
由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最大值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，得出AB取得最大值时点P的位置是解答本题的关键．
26.【答案】解：(1)设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得2800x=2000x−20，
解得x=70，
70−20=50(元)，
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
(2)设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得70m+50(100−m)≤5900，
解得m≤45，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
(3)设总利润为w元，
w=25m+20(100−m)=5m+2000，
∵5>0，
∴w随着m的增大而增大，
当m=45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000=2225(元)，
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100−45=55(副)，
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
(1)设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
(2)设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
(3)设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
27.【答案】(1)证明：连接OA，如图，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AC=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵OD⊥BE，
∴∠DOB=∠DOF=90°，
∴∠OFD+∠ODA=90°，
∵∠OAD=∠ODA，∠CAF=∠CFA，∠OFD=∠CFA，
∴∠CAF+∠OAD=90°，
∴OA⊥AC即AC是⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，
∴BO=DO=r，
∵BF=8，
∴OF=8−r，
∵∠DOF=90°，
在Rt△OFD中，由勾股定理得OF2+OD2=DF2，
∵DF=2 10，
∴(8−r)2+r2=(2 10)2，
解得：r=6或r=2(不合题意，舍去)，
∴BD= BO2+OD2=6 2；
(3)解：∵∠ADB=60°，
∴∠AOB=2∠ADB=120°，
∴∠AOC=180°−∠AOB=60°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
在Rt△OAC中，tan∠AOC=tan60°=ACOA= 3．
∵OA=6，
∴AC= 3OA=6 3，
∴SRt△OAC=12OA⋅AC=12×6×6 3=18 3，S扇形OAE=60π⋅62360=6π，
∴S阴解=SRt△OAC−S扇形OAE=18 3−6π．
【解析】(1)连接OA.由OA=OD，可得∠OAD=∠ODA.由AC=CF，可得∠CAF=∠CFA.由OD⊥BE，可得∠DOB=∠DOF=90°，所以∠OFD+∠ODA=90°.结合∠OAD=∠ODA，∠CAF=∠CFA，∠OFD=∠CFA，可得∠CAF+∠OAD=90°.所以OA⊥AC，即AC是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r，所以BO=DO=r.由BF=8，可得OF=8−r.在Rt△OFD中，由勾股定理得OF2+OD2=DF2，结合DF=2 10，可得(8−r)2+r2=(2 10)2，解得r=6或r=2(不符合题意舍)，再对Rt△OBD运用勾股定理求解即可．
(3)由∠ADB=60°，可得∠AOB=120°.可求出∠AOC=180°−∠AOB=60°.由于OA⊥AC，可得∠OAC=90°.所以在Rt△OAC中，运用三角函数求出AC，则Rt△OAC面积可求，扇形OAE面积可求，最后利用S阴影=SRt△OAC−S扇形OAE求解．
本题主要考查知识点为：切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式．证明切线的辅助线，一般为连接圆心和切点，再证明垂直．求阴影部分面积，思路是用我们已知得几何图形面积来表示阴影部分面积．熟练掌握切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式，是解决本题的关键．
28.【答案】解：(1)点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
∴点B的坐标为(−3,0)，点C的坐标为(0,−3)，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为 (0,1)，
将A(1,0)，B(−3,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c得：
a+b+c=09a−3b+c=0c=−3，
解得：a=1b=2c=−3，
∴这条抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)在抛物线对称轴上存在一点N，使得△ANC的周长最小；理由如下：
∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
连接BC，交抛物线对称轴点N，如图1所示，

∵点A，B关于直线x=−1对称，
∴AN=BN，
∴AN+CN=BN+CN，
∴当点B，C，N三点共线时，BN+CN取得最小值，即△ANC的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+d(k≠0)，
将B(−3,0)，C(0,−3)代入y=kx+d得：
−3k+d=0d=−3，
解得：k=−1d=−3，
∴直线BC的解析式为y=−x−3，
当x=−1时，y=−(−1)−3=−2，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点N(−1,−2)时△ANC的周长最小；
(3)点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，
∵A(1,0)，D(0,1)，
∴直线AD的解析式为y=−x+1，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：
y=−x+1y=x2+2x−3，
解得：x1=−4y1=5，x2=1y2=0，
∴点M的坐标为(−4,5)，
过点P作PE⊥x轴，交直线AD于点E，如图2所示，

设点P的坐标为(m,m2+2m−3)(−4∴PE=−m+1−(m2+2m−3)=−m2−3m+4，
∴S△APM=S△APE+S△MPE，
=12×(1−m)(−m2−3m+4)+12×[m−(−4)1(−m2−3m+4),
=−52m2−152m+10，
∴S△APM=−52m2−152m+10=−52(m+32)2+1258，
∵−52<0，
∴当m=−32时，△AMP的面积取最大值，最大值为1258，
∴当△AMD面积最大时，点P的坐标为(−32,−154)，面积最大值为1258．
【解析】(1)由OB，OC，OA，OD的长度可得出点A，B，C，D的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
(2)利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接BC，交抛物线对称轴于点N，此时AN+CN和最小，即△ANC的周长最小，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标；
(3)由点A，D的坐标可得出直线AD的解析式，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点M的坐标，过点PP作PE⊥x轴，交直线AD于点E，设点P的坐标为(m,m2+2m−3)(−4本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称(最短路径问题)、三角形的面积、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．跳高成绩(m)
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
跳高人数
1
3
2
3
5
1