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【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题01 三角函数（考点讲解）
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这是一份【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题01 三角函数（考点讲解），共60页。PPT课件主要包含了考场练兵，典例剖析，考点透视，知识点1角的概念，知识点3象限角，知识点二三角函数线，2正弦函数的性质，题型1任意角的概念，答案B，答案C等内容，欢迎下载使用。
(1)角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照______________而成的角；②负角：按照______________而成的角；③零角：当射线__________时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________．(2)引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转．
知识点2 利用转角给出角的加减法运算的几何意义
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是_________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．状元随笔 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝______________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
知识点4 终边相同的角
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做________．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于________的圆弧所对的________叫做1弧度的角，记作________．以________为单位来度量角的制度叫做弧度制．知识点二 角的弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝______．
知识点5 角度制与弧度制的定义
知识点6 角度与弧度的互化
知识点7 一些特殊角与弧度数的对应关系
知识点8 扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
知识点10 单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做________．(2)角α的________和________分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
知识点14 诱导公式三α与π－α的三角函数值间的关系：sin (π－α)＝________，cs (π－α)＝________，tan (π－α)＝________．知识点15 诱导公式四α与α＋π的三角函数间的关系：sin (α＋π)＝－sin α，cs (α＋π)＝－cs α，tan (α＋π)＝tan α.
知识点20 正弦函数的图像(1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，要想得到y＝sin x(x∈R)的图像，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图像____________________即可，此时的图像叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，所取的五点分别是(0，0)，________，(π，0)，__________(2π，0)．
沿x轴平移±2π，±4π，…
知识点21 正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个________，使得定义域内的________x值，都满足___________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个______函数f(x)，如果在它的____________存在一个__________，那么这个________就叫做它的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
知识点22 正弦型函数(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝_______，频率f＝______，初相为______，值域为__________ ， ______也称为振幅，|A|的大小反映了y＝A sin (ωx＋φ)的波动幅度的大小．
知识点23 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin (x＋φ)图像的影响：
(2)ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图像的影响：
(3)A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图像的影响：
(4)用“变换法”作图：
知识点24 余弦函数的图像把正弦函数y＝sin x的图像______________________就得到余弦函数y＝cs x的图像，该图像叫做余弦曲线．
知识点25 余弦函数的性质知识点三 余弦型函数y＝A cs (ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝________．
[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)
x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
(2)正切函数的图像叫做________．(3)正切函数的图像特征：正切曲线是由通过点____________________且与________平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
(2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________．
利用角的概念进行判断．
【解析】 (1)第一象限角可表示为k·360°<α
【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
方法归纳(1)判断角的概念问题的关键与技巧：①关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．②技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．(2)在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：①一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．②如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
【例2】如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )A.{α|k·360°＋30°<α
方法归纳表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
【解析】 因为α是第四象限角，则角α应满足：k·360°－90°<α
【解析】 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C三项均为真命题．
题型5 弧长公式与扇形面积公式的应用【例6】 (1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1 radB．2 radC．3 radD．4 rad
可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；
(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
可通过建立扇形面积的目标函数来求解．
由定义确定终边位置，结合函数值求解．
【解析】 (1)由sin α，cs α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
题型7 三角函数符号的判断【例8】 判断下列各式的符号．(1)sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°；
先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．
【解析】 (1)∵2 015°＝5×360°＋215°，2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cs 2 016°<0，tan 2 017°>0，∴sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°>0.
题型7 三角函数符号的判断【例8】判断下列各式的符号．(2)tan 191°－cs 191°；
【解析】 ∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cs 191°<0，∴tan 191°－cs 191°>0.
题型7 三角函数符号的判断【例8】 判断下列各式的符号．(3)sin 2cs 3tan 4.
在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；
由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．
题型9 三角函数线的概念【例10】 (1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cs α＝OM，则下列命题成立的是( )A．总有MP＋OM＞1B．总有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜0
【解析】 显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C.
方法归纳(1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不等式的步骤：①作出取等号的角的终边；②利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；③将图中的范围用不等式表示出来．(2)求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
方法归纳(1)本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．(2)三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．
对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．
方法归纳利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
方法归纳解答此类题目常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
题型14 三角恒等式的证明
解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．
【例15】 求证：(2)2(sin6θ＋cs6θ)－3(sin4θ＋cs4θ)＋1＝0.
【证明】 左边＝2[(sin2θ)3＋(cs2θ)3]－3(sin4θ＋cs4θ)＋1＝2(sin2θ＋cs2θ)(sin4θ－sin2θcs2θ＋cs4θ)－3(sin4θ＋cs4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcs2θ＋2cs4θ)－(3sin4θ＋3cs4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcs2θ＋cs4θ)＋1＝－(sin2θ＋cs2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立．
方法归纳(1)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差，作比法)．(2)常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)．(3)解决此类问题要有整体代换思想．
先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．
方法归纳(1)解决本类问题的一般规律是：先用公式二将负角的三角函数值化为正角的三角函数值，再用公式一将其转化为[0，2π)内角的三角函数值．(2)求值问题要用到0～2π上特殊角的三角函数值来表达结果，一定要把特殊角的三角函数值记牢．
应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负．
题型17 利用诱导公式证明恒等式
【例18】 已知tan (2π－α)＝－2，求证：4sin2(4π－α)－3sinα·cs (－α)－5cs2α＝1.
可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可．
方法归纳(1)证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题．(2)证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明．
直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择．
分n为奇数、偶数两种情况讨论．
方法归纳(1)已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．一般是先利用公式二将负角化为正角，再利用公式一将任意角转化为0°～360°之间的角，然后利用公式三、公式四转化为0°～90°之间的角求解．(2)凡涉及参数n的三角函数求值问题．由于n为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．
题型20 利用诱导公式化简三角函数式
分k为奇数，k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解．
方法归纳本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式．常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
题型21 正弦函数的图像【例22】 作函数y＝sin x，x∈[0，2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并研究它们之间的关系．
可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图像，然后比较它们的关系．
【解析】 按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点作图，如图：由图像可以发现，把y＝sin x，x∈[0，2π]的图像向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图像．
题型22 正弦函数的单调性及应用【例23】 比较下列各组数的大小．(1)sin 194°和cs 160°；
先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
【解析】 sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°.cs 160°＝cs (180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°－sin 70°，即sin 194°>cs 160°.
方法归纳(1)求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性．(2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
题型23 正弦函数的值域与最值问题
方法归纳(1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．(2)将复合函数转化成一个函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
【解析】 ①列表：②描点连线作出一周期的函数图像．
由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
方法归纳三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略(1)确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言．(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ．
方法归纳(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．(2)有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
题型28 用“五点法”作余弦型函数的图像【例29】用“五点法”作函数y＝2＋cs x，x∈[0，2π]的简图．
在[0，2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
【解析】 列表：描点连线，如图
方法归纳(1)“五点法”是作三角函数图像的常用方法，“五点”即函数图像最高点、最低点、与x轴的交点．(2)列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．(3)求形如y＝A cs (ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．(4)具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y 1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
方法归纳(1)对于求形如y＝a cs x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cs x的范围．(2)求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
题型30 正、余弦函数的对称性
方法归纳关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cs (ωx＋φ))的图像关于x＝x0对称⇔f(x0)＝A或－A.(2)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cs (ωx＋φ))的图像关于点(x0，0)中心对称⇔f(x0)＝0.
列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
可按定义法的步骤判断．
题型33 正切函数的单调性
尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
方法归纳(1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．(2)对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
解答本题可先求出锐角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．
方法归纳cs x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．
3．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )A．sin α与cs α B．tan α与ct αC．tan α与sec α D．ct α与csc α
解析：由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，csα＜0，sin α＞0，故BC正确．
(1)角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照______________而成的角；②负角：按照______________而成的角；③零角：当射线__________时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________．(2)引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转．
知识点2 利用转角给出角的加减法运算的几何意义
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是_________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．状元随笔 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝______________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
知识点4 终边相同的角
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做________．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于________的圆弧所对的________叫做1弧度的角，记作________．以________为单位来度量角的制度叫做弧度制．知识点二 角的弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝______．
知识点5 角度制与弧度制的定义
知识点6 角度与弧度的互化
知识点7 一些特殊角与弧度数的对应关系
知识点8 扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
知识点10 单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做________．(2)角α的________和________分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
知识点14 诱导公式三α与π－α的三角函数值间的关系：sin (π－α)＝________，cs (π－α)＝________，tan (π－α)＝________．知识点15 诱导公式四α与α＋π的三角函数间的关系：sin (α＋π)＝－sin α，cs (α＋π)＝－cs α，tan (α＋π)＝tan α.
知识点20 正弦函数的图像(1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，要想得到y＝sin x(x∈R)的图像，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图像____________________即可，此时的图像叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，所取的五点分别是(0，0)，________，(π，0)，__________(2π，0)．
沿x轴平移±2π，±4π，…
知识点21 正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个________，使得定义域内的________x值，都满足___________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个______函数f(x)，如果在它的____________存在一个__________，那么这个________就叫做它的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
知识点22 正弦型函数(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝_______，频率f＝______，初相为______，值域为__________ ， ______也称为振幅，|A|的大小反映了y＝A sin (ωx＋φ)的波动幅度的大小．
知识点23 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin (x＋φ)图像的影响：
(2)ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图像的影响：
(3)A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图像的影响：
(4)用“变换法”作图：
知识点24 余弦函数的图像把正弦函数y＝sin x的图像______________________就得到余弦函数y＝cs x的图像，该图像叫做余弦曲线．
知识点25 余弦函数的性质知识点三 余弦型函数y＝A cs (ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝________．
[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)
x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
(2)正切函数的图像叫做________．(3)正切函数的图像特征：正切曲线是由通过点____________________且与________平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
(2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________．
利用角的概念进行判断．
【解析】 (1)第一象限角可表示为k·360°<α
【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
方法归纳(1)判断角的概念问题的关键与技巧：①关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．②技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．(2)在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：①一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．②如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
【例2】如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )A.{α|k·360°＋30°<α
方法归纳表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
【解析】 因为α是第四象限角，则角α应满足：k·360°－90°<α
【解析】 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C三项均为真命题．
题型5 弧长公式与扇形面积公式的应用【例6】 (1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1 radB．2 radC．3 radD．4 rad
可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；
(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
可通过建立扇形面积的目标函数来求解．
由定义确定终边位置，结合函数值求解．
【解析】 (1)由sin α，cs α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
题型7 三角函数符号的判断【例8】 判断下列各式的符号．(1)sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°；
先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．
【解析】 (1)∵2 015°＝5×360°＋215°，2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cs 2 016°<0，tan 2 017°>0，∴sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°>0.
题型7 三角函数符号的判断【例8】判断下列各式的符号．(2)tan 191°－cs 191°；
【解析】 ∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cs 191°<0，∴tan 191°－cs 191°>0.
题型7 三角函数符号的判断【例8】 判断下列各式的符号．(3)sin 2cs 3tan 4.
在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；
由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．
题型9 三角函数线的概念【例10】 (1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cs α＝OM，则下列命题成立的是( )A．总有MP＋OM＞1B．总有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜0
【解析】 显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C.
方法归纳(1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不等式的步骤：①作出取等号的角的终边；②利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；③将图中的范围用不等式表示出来．(2)求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
方法归纳(1)本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．(2)三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．
对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．
方法归纳利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
方法归纳解答此类题目常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
题型14 三角恒等式的证明
解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．
【例15】 求证：(2)2(sin6θ＋cs6θ)－3(sin4θ＋cs4θ)＋1＝0.
【证明】 左边＝2[(sin2θ)3＋(cs2θ)3]－3(sin4θ＋cs4θ)＋1＝2(sin2θ＋cs2θ)(sin4θ－sin2θcs2θ＋cs4θ)－3(sin4θ＋cs4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcs2θ＋2cs4θ)－(3sin4θ＋3cs4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcs2θ＋cs4θ)＋1＝－(sin2θ＋cs2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立．
方法归纳(1)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差，作比法)．(2)常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)．(3)解决此类问题要有整体代换思想．
先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．
方法归纳(1)解决本类问题的一般规律是：先用公式二将负角的三角函数值化为正角的三角函数值，再用公式一将其转化为[0，2π)内角的三角函数值．(2)求值问题要用到0～2π上特殊角的三角函数值来表达结果，一定要把特殊角的三角函数值记牢．
应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负．
题型17 利用诱导公式证明恒等式
【例18】 已知tan (2π－α)＝－2，求证：4sin2(4π－α)－3sinα·cs (－α)－5cs2α＝1.
可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可．
方法归纳(1)证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题．(2)证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明．
直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择．
分n为奇数、偶数两种情况讨论．
方法归纳(1)已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．一般是先利用公式二将负角化为正角，再利用公式一将任意角转化为0°～360°之间的角，然后利用公式三、公式四转化为0°～90°之间的角求解．(2)凡涉及参数n的三角函数求值问题．由于n为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．
题型20 利用诱导公式化简三角函数式
分k为奇数，k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解．
方法归纳本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式．常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
题型21 正弦函数的图像【例22】 作函数y＝sin x，x∈[0，2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并研究它们之间的关系．
可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图像，然后比较它们的关系．
【解析】 按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点作图，如图：由图像可以发现，把y＝sin x，x∈[0，2π]的图像向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图像．
题型22 正弦函数的单调性及应用【例23】 比较下列各组数的大小．(1)sin 194°和cs 160°；
先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
【解析】 sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°.cs 160°＝cs (180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°
方法归纳(1)求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性．(2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
题型23 正弦函数的值域与最值问题
方法归纳(1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．(2)将复合函数转化成一个函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
【解析】 ①列表：②描点连线作出一周期的函数图像．
由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
方法归纳三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略(1)确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言．(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ．
方法归纳(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．(2)有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
题型28 用“五点法”作余弦型函数的图像【例29】用“五点法”作函数y＝2＋cs x，x∈[0，2π]的简图．
在[0，2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
【解析】 列表：描点连线，如图
方法归纳(1)“五点法”是作三角函数图像的常用方法，“五点”即函数图像最高点、最低点、与x轴的交点．(2)列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．(3)求形如y＝A cs (ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．(4)具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y 1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
方法归纳(1)对于求形如y＝a cs x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cs x的范围．(2)求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
题型30 正、余弦函数的对称性
方法归纳关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cs (ωx＋φ))的图像关于x＝x0对称⇔f(x0)＝A或－A.(2)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cs (ωx＋φ))的图像关于点(x0，0)中心对称⇔f(x0)＝0.
列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
可按定义法的步骤判断．
题型33 正切函数的单调性
尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
方法归纳(1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．(2)对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
解答本题可先求出锐角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．
方法归纳cs x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．
3．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )A．sin α与cs α B．tan α与ct αC．tan α与sec α D．ct α与csc α
解析：由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，csα＜0，sin α＞0，故BC正确．
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