【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题06 三角恒等变换（考点专练）.zip

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两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
二倍角公式及其应用
辅助角公式及其应用
给值求值
给值求角
利用三角恒等变换判断三角形的形状
三角恒等变换的综合问题
三角恒等变换的实际应用
题型一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
1．（19-20高一下·江苏徐州·期中）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两角和的正弦公式和特殊角三角函数求解.
【详解】.
故选：D.
2．（22-23高一下·江苏盐城·期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得出答案.
【详解】
.
故选：C.
3．（2024·陕西西安·一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
4．（22-23高一下·江苏连云港·期中）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确．
对于C，，C错误；
对于D，，D错误；
故选：AB．
5．（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，
.
故选：D.
题型二 二倍角公式及其应用
6．（23-24高三上·安徽安庆·期中）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由
.
故选：B.
7．（23-24高三上·山西朔州·期中）计算： ．
【答案】/
【分析】利用两角差的正弦公式及特殊角的三角函数值化简即可.
【详解】
．
故答案为：.
8．（21-22高一下·湖北荆州·期中）化简：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
9．（22-23高三上·山东菏泽·期中）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，记，则（ ）.
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】先将代入化简，最后利用诱导公式、倍角公式求解即可
【详解】因为，
所以，
，
所以
，
故选：D
题型三 辅助角公式及其应用
10．（23-24高三上·北京·期中）函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】确定，，得到最值.
【详解】，
，故，
故函数的最大值为.
故选：C
11．（2023高一下·四川成都·期中）函数，，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象变换求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，
将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
因为，可得，
所以当时，即时，函数取得最小值，最小值为，
即函数在区间上的最小值为.
故选：C.
12．（23-24高二上·广东汕头·期中）函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】先根据两角和正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解最值.
【详解】，
因为，所以，根据正弦函数的性质，，
所以当时，有最大值为2.
故选：D.
13．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知，函数在单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用降次公式及辅助角公式化简，结合，换元法及复合函数单调性求解即可.
【详解】，
∵在单调递减，∴，即，又，∴，
令，∵，∴，
∴问题转化为在上单调递减，
∴问题转化为在上单调递减，
又，
单调递减区间为，
∴，
∴，解得
故选：D.
题型四 给值求值
14．（23-24高二上·云南文山·期中）已知，，则 .
【答案】/
【分析】借助三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得.
【详解】由，，则，
则
.
故答案为：.
15．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的基本关系可得，，然后根据两角差的正切公式，展开代入，即可得出答案.
【详解】由可得，，
所以，，
所以，.
故选：D.
16．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）若，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用差角的余弦公式计算得解.
【详解】由，得，则，
所以
.
故选：D
17．（23-24高二上·安徽淮北·期中）已知，均为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出，，再由两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，均为锐角，且，，
所以，，
所以.
故选：C
18．（23-24高三上·湖北·期中）已知，均为锐角，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的余弦公式，即可求解.
【详解】由，，且为锐角，
则，，，
所以
.
故选：A
19．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知角，且，则（ ）
A．－2B．C．D．2
【答案】C
【分析】
根据已知条件，分别求得和，再由正切的差角公式即可求得结果.
【详解】因为，故可得，则；
，故可得，即；
，即，
也即，等式两边同时除以，
则；
故；
故选：C.
20．（23-24高三上·广东·期中）已知，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意利用两角和差公式结合倍角根式整理得，两边平方运算求解即可.
【详解】因为，
则，
可得，
又因为，则，可知，
可得，两边平方可得，
所以.
故选：D.
21．（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由余弦二倍角公式和诱导公式计算．
【详解】由题意，，
所以，
故选：A．
22．（23-24高三上·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的变换及诱导公式，二倍角的正切公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，故，
，
故选：C
23．（23-24高三上·福建厦门·期中）已知，则（ ）
A．B．C． D． -
【答案】D
【分析】根据角的变换及二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为，
所以
.
故选：D
24．（23-24高三上·江苏淮安·期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
将写成，利用诱导公式，化为，然后利用余弦函数的二倍角公式可得出答案.
【详解】
故选：A
25．（17-18高二上·宁夏石嘴山·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可.
【详解】
.
故选：B.
题型五 给值求角
26．（21-22高一下·辽宁大连·期中）已知锐角满足，则等于（ ）
A．B．或C．D．
【答案】C
【分析】由，利用同角三角函数的关系算出、的值，进而根据两角和的余弦公式算出，结合可得的值．
【详解】因为满足，
所以，.
由此可得.
又因为，所以，
故选：C.
27．（20-21高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果.
【详解】因为，，，
则，
可知，，则，
又因为，
可得，
所以.
故选：D.
28．（19-20高一下·江苏南京·期中）已知，均为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为，，，
，
，
所以.
故选：C.
29．（21-22高一下·江苏苏州·期中）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选：A．
30．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【详解】因为，则，因为，则，可得，
因为，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故选：A.
31．（23-24高三上·河北廊坊·期中）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用三角恒等变换可得答案.
【详解】
因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
题型六 利用三角恒等变换判断三角形的形状
32．（17-18高一下·浙江·期中）中，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据题中等式结合三角形内角和，可得，利用两角和差的正弦公式展开化简得，由此求得答案.
【详解】中，若，
则,即，
故，而 ，
故,
故为直角三角形，
故选：B
33．（21-22高一下·上海奉贤·期中）在中，若，则此三角形为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状.
【详解】因为，
所以，
，又
所以，即.
故选：A.
34．（20-21高一下·北京海淀·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用和角正弦公式及三角形内角和性质，可得，讨论、情况下，判断△ABC对应形状.
【详解】由题意，，又，
∴，即，，
∴当时，；当时，，又，则；
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
35．（19-20高一下·江苏南通·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【分析】根据两角差的余弦公式可得，从而得到，即可得到答案；
【详解】
,,
△ABC的形状为钝角三角形.
故选：B.
【点睛】本题考查三角形形状的判断、三角恒等变换，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
题型七 三角恒等变换的综合问题
36．（21-22高一下·北京·期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求该函数的对称轴方程；
(3)求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)最小值为0；最大值为3．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式求出函数的解析式，即可求最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质计算可得；
（3）根据三角函数的图象性质求区间上的最值.
【详解】（1）因为
，
所以函数的最小正周期.
（2）令，，解得，，
可得函数的对称轴方程为，．
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故函数在区间上的最小值为0，最大值为3.
37．（21-22高一下·北京·期中）已知函数 ．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】(1)π
(2)最小值为，最大值为0
【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，进而可得最小正周期；
（2）根据题意结合正弦函数有界性分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为时，则，可得，
当，即时，取到最小值；
当或0，即或0时，取到最大值0；
所以函数在区间上的最小值和最大值0．
38．（21-22高一下·北京·期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数有零点.求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得，利用周期公式计算即可；
（2）令,分离参数得到，利用三角函数的值域即可求解.
【详解】（1）因为，
所以
即，
所以,
（2）令，则，
要使函数有零点，则有解.
因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围.
39．（21-22高一下·北京·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果；
（2）利用正弦型函数最值求法可求得，由此可得的范围；
（3）根据同角三角函数关系可得，由，利用两角差的正弦公式可求得结果.
【详解】（1），
的最小正周期.
（2）当时，，
当，即时，取得最小值，，
即实数的取值范围为.
（3），，
，，，
.
40．（21-22高一下·北京海淀·期中）已知函数．
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(2)已知函数（）.
（i）若函数的最小正周期为，求的单调递增区间；
（ii）在（i）条件下求函数在范围内的最大值与最小值．
【答案】(1)图象见解析
(2)（i）．（ii）最大值为，最小值为0.
【分析】（1）由题意利用辅助角公式求出，再根据五个关键点，列表、作图即可；
（2）（i）首先求出的解析式，根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间；（ii）根据的范围求出，然后根据正弦函数的值域可得函数的最大值和最小值.
【详解】（1），
由五个关键点列表如下：
函数图象如下：
（2）函数，
（i）若函数的最小正周期为，
则，所以，
所以，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，.
（ii）因为，所以，
所以，
所以，
所以的最大值为，最小值为0.
题型八 三角恒等变换的实际应用
41．（21-22高一下·四川成都·期中）有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设,以为参数表示矩形的面积，求以为自变量的三角函数的最值即可
【详解】
如图, 在 中, 设, 则,.
在 中, .
.
设矩形的面积为,
则
故当 , 即时, .
故选：A
42．（2022·新疆·二模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆弧所在圆心为O，半径为r，连接，由题意得可得，且，根据三角函数定义，可得的值，根据二倍角公式，即可得答案.
【详解】设圆弧所在圆心为O，连接，可知，
设圆的半径为r，依题意，有，即，
所以
所以．
故选：A
43．（20-21高一下·四川南充·期中）为献礼建党一百周年，南高嘉陵校区在学校后山修建“初心园”，现有半径为，圆心角为的扇形空地（如图所示），需要在空地内修建一平行四边形景观场地，则该景观场地的面积最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作于点，作于点，则矩形的面积即等于平行四边形的面积，设，可得，
，利用三角恒等变换和三角函数的性质计算的最大值即可.
【详解】如图：作于点，作于点，
则矩形的面积即等于平行四边形的面积，
设，，
则， ，
在中，，
所以，
所以矩形的面积
，
因为，所以，
当即时，矩形的面积最大为，
所以该景观场地平行四边形的面积最大值为.
故选：A.
x






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