【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题01 平面向量（考点梳理）.zip

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【考点题型一】向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．
【例1】下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
【变式1-1】下列量中是向量的为（ ）
A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离
【答案】B
【解析】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，
而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B
【变式1-2】给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．
【变式1-3】以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力 C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
【答案】D
【解析】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．
海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．
速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．
【考点题型二】向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的字母表示法：如等.
3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
【例2】已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
【答案】D
【解析】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；
向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.故选：D
【变式2-1】在如图的方格纸中，画出下列向量．
（1），点在点的正西方向；
（2），点在点的北偏西方向；
（3）求出的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）3
【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：
（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：
（3）.
【变式2-2】下列结论中，正确的是（ ）
A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】B
【解析】由一个单位长度取作2020 cm时，2020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；
根据单位向量的定义，在直线上有且仅有两个点使得为单位长度，所以B正确；
方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；
根据位移的定义，向量表示点到点的位移，所以D不正确.故选：B.
【考点题型三】向量的相关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【例3】下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．故选：B
【变式3-1】设为单位向量，有下列命题：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，与的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；
若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，
反向时，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3．故选：D．
【变式3-2】下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【答案】C
【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.
【变式3-3】在下列判断中，真命题的是 .
①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．
【答案】①③⑤
【解析】对①：由定义知①正确；
对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，
也不能确定是哪个具体方向，故②不正确；
对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确；
对④：单位向量方向可以不同，故④错误；
对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确.
【考点题型四】向量的共线或平行
1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。
规定：与任一向量共线.
【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【例4】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；
零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量，
则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；
同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误.
综上正确的是1个.故选：B
【变式4-1】（多选）下列命题中错误的有（ ）
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．与同向，且，则
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】由平行向量和共线向量的定义可知，A选项正确；
因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B选项错误；
因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C选项错误；
因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，
因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确．故选：BC.
【变式4-2】下列命题是真命题的是 . (填序号)
①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上.
【答案】①④
【解析】①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，
因此与是共线向量；
②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，
则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；
③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；
④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，
且与是共线向量，所以三点共线.
【变式4-3】如图所示，O是正六边形的中心.
（1）与的模相等的向量有多少个？
（2）是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
（3）与共线的向量有几个？
【答案】（1）23；（2）存在，4；（3）9.
【解析】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，
而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知，，
所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
（3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
【考点题型五】向量的加法运算
1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，
向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC
3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和
4、向量加法的运算律
结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
【例5】在四边形ABCD中，，则 ）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
【答案】D
【解析】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，
由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.故选：D.
【变式5-1】．向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，故B正确.故选：B.
【变式5-2】下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
由向量加法的运算法则，有，D选项正确.故选：D.
【变式5-3】（多选）已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由平行四边形法则可知，，故A正确；
由，即，可知不正确，故B错误；
由，故C正确；
由，可知不正确，故D错误.故选：AC
【考点题型六】向量的减法运算
1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
（1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
（2）－(－a)＝a；
（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
（4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．
2、向量的减法
（1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（2）几何意义：以O为起点，作向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(BA,\s\up7(―→)) ＝a－b，
如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
【例6】下列等式成立的个数是（ ）
①； ②； ③；④； ⑤.
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由向量的线性运算可得，，，
，，，故①③④⑤正确.故选：B
【变式6-1】已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】A
【解析】由，可得，
所以四边形一定是平行四边形.故选：A
【变式6-2】如图．向量 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图,设，
∴．故选：A．
【变式6-3】化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）；
（2）；
（3）.
【考点题型七】向量的数乘运算
1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，
它的长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
（3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
2、向量数乘的几何意义
当时，把向量沿的相同方向放大或缩小；
当时，把向量沿的相反方向放大或缩小。
3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.
4、向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【例7】下列运算正确的个数是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；
在③中，，显然该运算错误.
所以运算正确的个数为2.故选：C
【变式7-1】化简： .
【答案】
【解析】.
【变式7-2】（多选）下列结论中正确的有 （ ）
A．对于实数m和向量，，恒有
B．对于实数m，n和向量，恒有
C．对于实数m和向量，，若，则
D．对于实数m，n和向量，若，则
【答案】AB
【解析】由数乘向量运算律，得A，B均正确；
对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误；
对于D，若，由，未必一定有，错误．故选：AB．
【变式7-3】在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
【答案】1
【解析】，则，，
所以.
【考点题型八】向量共线定理
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
【注意】
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
【例8】已知，为不共线向量，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】A
【解析】因为，
所以，，三点共线，故选：A
【变式8-1】已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.故选：B
【变式8-2】已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】向量不共线，则，由共线，得，，
于是，则且，解得，
所以实数的值为.故选：C
【变式8-3】已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，
又由于向量，不共线，只能有，解得：
【考点题型九】向量数量积的定义
1、定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；
2、记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；
3、向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）cs θ＝；
（5）
4、向量数量积满足的运算律
（1）； （3）(λ为实数)； （3）；
5、平面向量数量积运算的常用公式

【例9】已知向量，，， ．
【答案】
【解析】由已知可得，
因此．
【变式9-1】已知单位向量，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，，，
所以.故选：B.
【变式9-2】在等边中，点是边的中点，且，则为（ ）
A． B．16 C． D．8
【答案】C
【解析】等边中，点是边的中点，且，
则,，，
则故选：C
【变式9-3】如图，圆O为四边形的外接圆，点M在直径上，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
则，，∴，
则
.故选:A.
【考点题型十】投影向量
（1）设，是两个非零向量，，，
考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．
（3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。
【例10】已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量在向量上的投影向量为：，故选：C.
【变式10-1】已知为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得向量在向量上的投影向量为；故选：B
【变式10-2】已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】在向量上的投影向量为.
.故选：A
【变式10-3】已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
由知为中点，
又为外接圆圆心，，，
，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．故选：D．
【考点题型十一】向量的模长
利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
【例11】若向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【解析】因为，
，解得（负根舍去）.故选：C
【变式11-1】已知单位向量满足，则（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】由得，
，故.故选：A.
【变式11-2】已知向量、、满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，且，
则，可得，
所以，，故.故选：B.
【变式11-3】已知单位向量满足，则= .
【答案】5
【解析】因为单位向量，满足，
所以，即，即，
，所以.
【考点题型十二】向量的夹角
1、定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．
2、两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；
两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．
【例12】已知向量满足满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
，
，
因此．故选：D．
【变式12-1】若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
【解析】，
，
，
由于向量夹角的取值范围是，
所以向量与的夹角为120°.故选：D
【变式12-2】已知非零向量与满足，若，则 .
【答案】
【解析】因为，即，
展开可得，整理得，
且，所以.
【变式12-3】已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当向量向量与的夹角为锐角时，
有且与方向不相同，即，解得且，
因为是假命题，所以实数的取值范围是.故选：C.
【考点题型十三】平面向量的垂直问题
两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数，高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数。
（1）如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数；
（2）如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数。
【例13】已知向量，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以由可得，，解得．
【变式13-1】已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 .
【答案】
【解析】因为，，与的夹角为，
所以.
因为，
所以，解得.
【变式13-2】若，，且，则（ ）
A． B．6 C．3 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
由得，
即，即，
因为，所以，所以.故选：B
【变式13-3】已知平面向量，的夹角为，且，，.
（1）当，求；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）平面向量，的夹角为，且，，当，，
则，所以.
（2）当时，，所以.
【考点题型十四】平面向量基本定理
1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
【例14】下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解析】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，
故①错误，②正确；
由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确.故选：B
【变式14-1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量
B．在平面向量基本定理中，若，则
C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
【答案】ABC
【解析】选项A，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，
因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确；
选项C，在方向上的投影向量为，故C正确；
选项D，只要不共线的两个向量都可以作为基底，
所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故D错误；故选：ABC
【变式14-2】设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C
【变式14-3】设是不共线的向量，则下面四组向量中，能作为一组基底的组数有（ ）
①和；②和；③和；④和.
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】由基底的概念可知两个非零不共线向量可作为一组基底向量，
又因为是不共线的向量，由此可判断：
①设，则，无解，
所以与不共线，即与可作为一组基底；
②设，则，无解，
所以与不共线，即与可作为一组基底；
③因为，所以与共线，
即与不可作为一组基;
④设，则，无解，
所以与不共线，即与可作为一组基底；
综上①②④可作为一组基底，故选：C
【考点题型十五】平面向量基本定理的应用
1、唯一性的应用：设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则
2、重要结论：设是平面内一个基底，若，
= 1 \* GB3 ①当时，与共线； = 2 \* GB3 ②当时，与共线； = 3 \* GB3 ③当时，；
【例15】如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.故选：A.
【变式15-1】在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图等腰梯形中，取中点，连接，
则,,
于是，
.故选:D.
【变式15-2】在中，，点为与的交点，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
三点共线，
可得，
所以，解得，
可得，则，.
【变式15-3】如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.
（1）试用基底表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
【考点题型十六】向量的坐标表示
1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2、向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设、，则
【例16】下列说法正确的有（ ）
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，
根据向量的坐标表示方法得到②③④正确．故选：C
【变式16-1】已知，，平面向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，故选：D．
【变式16-2】如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，.故选：A
【变式16-3】已知O是坐标原点，点A在第一象限，，，
（1）求向量的坐标；
（2）若，求的坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设点，则，，
所以向量的坐标是.
（2）由（1）知，，由，得，
所以.
【考点题型十七】向量线性运算的坐标表示
1、向量加减法的坐标运算：已知，则，．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2、向量数乘的坐标运算：若，则；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
【例17】已知平面向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A
【变式17-1】已知平面向量，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
因为，所以，解得.故选：A
【变式17-2】已知平行四边形中，，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】因为平行四边形中，所以，又
，设，则，
所以，则，解得，
所以点的坐标为.
【变式17-3】（多选）已知向量满足，且，则的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设为坐标原点，
则由可知三点共线，且在之间，
选项A：，，与不平行，选项A错误；
选项B：，，与平行，且在之间，选项B正确；
选项C：，，与平行，且在之间，选项C正确；
选项D：，，与平行，但不在之间，选项D错误.
故选：BC.
【考点题型十八】向量数量积的坐标表示
1、数量积坐标表示：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a∙b=x1y1+x2y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则a⊥b⟺x1y1+x2y2=0
3、用坐标表示模长、距离、夹角
（1）向量的模公式：若a=(x1,y1)，则a=x12+y12
（2）两点间的距离公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2
（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，
则csθ=a∙bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
【例18】已知，，，若，则x等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由题意可得，，
所以，，所以，解得x＝4.故选：C.
【变式18-1】已知，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，向量在向量方向上的投影向量为.故选：A
【变式18-2】已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向量，则，
所以.故选：A
【变式18-3】已知向量，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．故选：A.
【变式18-4】已知平面向量，．若，则（ ）
A．或1 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为，，则，，
又因为，则，
解得或，且，所以．故选：B．
【考点题型十九】线段的定比分点与λ
设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：

(内分) (外分)() (外分) ()
（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，
则点坐标为，我们称为点分所成的比.
（2）点的位置与的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.
【例19】（多选）已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A项，如图，点是的重心，点，，，
设点，则，故A选项正确；
对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则
设则即,解得，故B项正确；
对于C项，因为，则，
故,即，故C项错误；
对于D项，因
则，故D项错误.故选:AB.
【变式19-1】（多选）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.故选：AC.
【变式19-2】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.故选：C.
【变式19-3】直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（ ）
A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比
B．可以用表示直线上的任意一点
C．当且时，为外分点
D．当时，点与点重合
【答案】B
【解析】A选项，由，可知，
，，
时，，
此时，A选项正确；
B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误；
C选项，由于，当且时，，
不妨设，
故，，为外分点，C选项正确；
D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确.故选：B
【考点题型二十】向量在几何中的应用
1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
2、利用向量证明平面几何的两种经典方法
（1）线性运算法
第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；
第二步：利用基底表示相关向量；
第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。
（2）坐标运算法
第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；
第二步：把相关向量坐标化；
第三步：用向量的坐标运算找到相应关系；
第四步：利用向量关系回答几何问题。
【例20】在中，点在边上，且．点满足．若，，则（ ）
A． B． C．12 D．11
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，所以为的中点，
则，
故.
故选：A.
【变式20-1】已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形
【答案】C
【解析】由题意结合中位线定理可得，，
所以，即四边形为平行四边形.
，
，
，
，
，即，即，所以，
又，所以，
同理由中位线定理可得，所以，
故四边形为矩形.故选：C.
【变式20-2】如图，在中，，点在线段上，且.求：
（1）的长；
（2）的大小.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，
则，
∴，
故.
（2）设，则为向量与的夹角.
∵，
∴，即.
【变式20-3】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
（1）求的值；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
【考点题型二十一】向量在物理中的应用
向量在物理应用中的主要解题思路
（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；
（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；
（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。
【例21】已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．70
【答案】D
【解析】根据向量的数量积，做的功为cs 60°＝.故选：D
【变式21-1】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设每根绳子上的拉力大小为T，
则根据平衡条件可得，,解得．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．故选：A.
【变式21-2】（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）

A．越小越省力，越大越费力 B．的范围为
C．当时， D．当时，
【答案】AC
【解析】对A：根据题意，得，
所以，解得，
因为时，单调递减，所以越小越省力，越大越费力，故A正确；
对B：由题意知的取值范围是，故B错误；
对C：因为，所以当时，，所以，故C正确；
对D：因为，所以当时，，
所以，故D错误.故选：AC.
【变式21-3】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
（1）；
（2）船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵河的宽度，，
∴，∴.
如图，设合速，，船在静水中的速度，则，
由题意可得，且，
又，∴在中，由余弦定理可得
（2）由（1）知，，，
由余弦定理可得.
∴.