【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题04 复数（考点梳理）.zip

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【考点题型一】复数的有关概念理解
方法点拨：
1、复数的有关概念：
（1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq \a\vs4\al(a)，虚部是eq \a\vs4\al(b).
（2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
（3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
（4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
2、复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z=a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
（3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答。
【例1】（22-23高二下·四川成都·期中）复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2i D．
【答案】D
【解析】∵的虚部为b，∴的虚部为.故选：D.
【变式1-1】（23-24高二下·全国·练习）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得：，故选：A.
【变式1-2】（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）（多选）若复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为虚数不能比较大小，若复数，
则说明与均为实数，所以且.故选：AC
【变式1-3】（23-24高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（ ）
①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.
A．1 B．2 C．0 D．3
【答案】B
【解析】对于①，因为，所以，故①正确；
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误；
对于③，当，时，成立，故③错误；④正确.故选：B
【变式1-4】（23-24高一·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数
C．复数与（R）不可能相等 D．没有平方根
【答案】ABC
【解析】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确；
对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确；
对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确；
对于D，因为的平方根为，D错误．故选：ABC
【考点题型二】复数的分类及应用
方法点拨：
1、对于复数a＋bi，复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【例2】（23-24高一下·重庆·月考）若复数是纯虚数，则（ ）
A． B．且 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，解得或，又，所以.故选：A
【变式2-1】（22-23高一下·广东清远·期中）已知复数，其中i为虚数单位．若复数z为实数，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为复数，复数z为实数，则，解得.故选：D.
【变式2-2】（22-23高一下·贵州·期中）已知复数.
（1）若z为实数，求m的值；
（2）若z为纯虚数，求m的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若z为实数，则，即；
（2）若z为纯虚数，则，可得.
【变式2-3】（22-23高一下·陕西商洛·期中）已知是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
【答案】（1）或；（2）且；（3）2
【解析】（1）当，即或时，复数为实数；
（2）当，即且时，复数为虚数；
（3）当，即时，复数为纯虚数.
【考点题型三】利用复数相等求参数
方法点拨：
1、如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即，这就是说，两个复数相等的充要条件就是它们的实部和虚部分别相等。
2、复数相等的充要条件是“化实为虚”的主要依据，多用来求解参数。解决复数相等问题的步骤：分别分理处两个复数的实部和虚部，利用复数的实部与实部的相等，虚部与虚部的相等列方程组求解。
【例3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意，
所以，解得，所以.故选：D.
【变式3-1】（22-23高三·陕四川·月考）设，且，则 ．
【答案】
【解析】由题意知：，解得：，.
【变式3-2】（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则
【答案】3
【解析】因为，，
所以 解得，所以.
【变式3-3】（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】复数，且，
所以，则
因为，所以，当时，，当时，
所以的取值范围是.故选：B.
【考点题型四】复数的加减乘除运算
方法点拨：
1、复数的四则运算规律
（1）复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项；
（2）复数的乘法：复数的乘法与多项式的乘法类似，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只需讲i2换成-1，并把实部与实部合并，虚部与虚部合并即可；
（3）复数的除法运算：两个复数相除，可以先把它们的商写成分数形式，然后把分子、分母同乘分母的共轭复数（互为共轭复数的两个数的乘积是一个实数），再对分子、分母分别进行乘法运算，最后整理、化简成负数的标准代数形式。
2、复数的运算技巧
（1）充分观察题中的数字特征：
（2）充分利用复数模、共轭复数的运算性质：
（3）利用一些基本结论简化计算：，，；
【例4】（2023·贵州黔东南·一模）已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.故选：A
【变式4-1】（23-24高三上·湖北·期末）已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】.故选：B
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，即，
故，故选:B．
【变式4-3】（23-24高三上·海南·月考）已知复数满足的共轭复数为，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】由，
所以，故选：B
【考点题型五】复数的乘方运算
方法点拨：，，，，.
【例5】（22-23高一下·江苏苏州·期中）若是虚数单位，，则 .
【答案】
【解析】化简原式，可得，所以，所以.
【变式5-1】（23-24高一下·浙江宁波·月考）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，可得，
则.故选：B
【变式5-2】（23-24高一下·重庆·月考）复数的共轭复数的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
所以，其共轭复数为，虚部为.故选：B
【变式5-3】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知复数满足，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题意，所以.故选：C.
【考点题型六】共轭复数及其应用
方法点拨：共轭复数问题的求解技巧
1、求复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算；
2、已知关于与的方程，而复数的的代数式形式未知，求解。解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。
【例6】（2023·全国·模拟预测）若，分别是非零复数，的共轭复数，，则下列等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以．故选：B
【变式6-1】（23-24高三上·广东中山·月考）复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.故选：A
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）（多选）设非零复数的共轭复数为，则下列计算结果为实数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】设（且、不同时为），则，
所以，故A正确；
，故B正确；
，
因为、不同时为，所以，所以为虚数，故C错误；
，故D正确；故选：ABD
【变式6-3】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）（多选）已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面内对应的点在一条直线上
【答案】AD
【解析】对于A：设，若，则，故，必有，A正确；
对于B：若，，则有，但，B错误；
对于C：若，，则有，但，C错误；
对于D：设复数，在复平面内对应的点为和
若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，
故在复平面内对应的点在一条直线上，D正确，故选：AD.
【考点题型七】复数范围内的解方程
方法点拨：在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法： = 1 \* GB3 ①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a = 2 \* GB3 ②当∆<0时，x=-b±-(b2-4ac)i2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
【例7】（23-24高三上·广东广州·月考）已知、为实数，是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为、为实数，是关于的方程的一个根，
所以，关于的方程的两个虚根分别为、，
由韦达定理可得，可得，
，解得，故.故选：B.
【变式7-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·开学考试）已知是关于x的方程的一个根，则 ．
【答案】
【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以为方程的另一个根，
所以由韦达定理可得，，解得，所以.
【变式7-2】（23-24高三上·全国·开学考试）（多选）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题可知，，所以，，故A正确；
，均为虚数，不能比较大小，故B错误；，故C正确；
，故D正确.故选：ACD
【变式7-3】（23-24高二上·江西新余·开学考试）已知关于的方程，其中a，b为实数．
（1）设（是虚数单位）是方程的根，求a，b的值；
（2）证明：当，且时，该方程无实数根．
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】（1）∵是方程的根，∴也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得，
得，解得，；
（2）∵，∴，∴，即，
∴，∴原方程无实数根．
【考点题型八】复数对应点所在象限应用
方法点拨：
1、由复平面内符合某种条件的点的集合求参数的取值时，通常是根据对应关系，列出方程（组）或不等式（组）求解；
2、复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系。每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值范围。
【例8】（23-24高一下·河北保定·开学考试）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】易知，
其对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D
【变式8-1】（22-23高一下·广东肇庆·期末）设为复数，若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】设z，则，
∴，，∴，，∴，，即z位于第四象限，故选：D.
【变式8-2】（23-24高三上·北京朝阳·期末）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，
所以在复平面内对应的点为，即在虚轴上，
因此可得，即；故选：B
【变式8-3】（22-23高一下·湖北黄冈·期中）在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】复数所对应的点在第二象限，
，解得.故选：C.
【变式8-4】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z，
（1）求点Z在实轴上时，实数m的取值；
（2）求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
（3）求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或；（3）或.
【解析】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部，解得或.
（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，所以，解得或.
（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，即，解得或.
【考点题型九】求复数的模长
方法点拨：复数的模
（1）定义：向量OZ的eq \a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
【例9】（22-23高一下·贵州贵阳·期中）已知，，，则 .
【答案】
【解析】依题意，化为：，而，
则，解得，
所以.
【变式9-1】（22-23高一下·贵州贵阳·月考）i为虚数单位，若复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因，则.故选：C
【变式9-2】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知复数的模等于2，则实数的值为（ ）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
【答案】A
【解析】复数的模等于2，，
化为：，解得或．故选：．
【变式9-3】（2023·黑龙江·模拟预测）设复数满足，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】依题意，令，则，
所以，所以，即，
所以.故选：B．
【考点题型十】与复数模有关的最值问题
方法点拨：1、向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作z或a+bi，即z=a+bi=a2+b2，其中a、b∈R，z表示复平面内的点Za,b到原点的距离；
2、z1-z2的几何意义：复平面中点Z1与点Z2间的距离，如右图所示。
示例：z+(1+2i)表示：点Z到点-1,-2的距离
小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，
若z=x+yi，则z-(a+bi)表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，
则z-(a+bi)=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.
【例10】（22-23高一下·山东菏泽·月考）复数，，则的最大值是 .
【答案】/
【解析】由题意可得，
由三角不等式可得.
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
【变式10-1】（23-24高一下·全国·练习）已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【解析】设（是虚数单位）.则.
因为，所以表示点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.
而表示圆上任意一点到（0，1）的距离.
由几何法可知：的最小值为（0，1）到圆心（-4，-2）减去圆的半径，
即为.故选：A
【变式10-2】（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，所以对应点在单位圆上，
表示单位圆上的点和点的距离，
其最小值为.故选：D
【变式10-3】（22-23高一下·江苏盐城·期中）如果复数z满足，那么的最大值是 .
【答案】
【解析】设复数，
因为，可得，表示以原点为圆心，半径为的圆，
又由表示圆上的点到的距离，
所以的最大值为.
【考点题型十一】复数代数式与三角式互化
方法点拨：复数的代数形式化为三角形式的步骤： = 1 \* GB3 ①求出模； = 2 \* GB3 ②确定辐角的主值； = 3 \* GB3 ③写出三角形式。
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可。
【例11】（2023·湖北·二模）复数与下列复数相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，，故A、C、D错误；
而，故B正确.故选：B
【变式11-1】（23-24高一·全国·课时练习）复数化成三角形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设复数的模为，则，，
所以复数的三角形式为．故选：A.
【变式11-2】（23-24高一·全国·练习）复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】复数在复平面内所对应的点为位于第四象限，
则，，所以，即
所以．故选：D
【变式11-3】（22-23高一·全国·课时练习）复数的三角形式为 ．
【答案】
【解析】为复数的三角形式，其中为模长，为辐角，
-3对应，故.
【考点题型十二】三角形式下复数的乘除运算
方法点拨：三角形式下复数的乘、除运算的关键点
复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减。
【例12】（21-22高一·全国·课前预习）计算(cs＋isin)÷＝ ．
【答案】
【解析】由复数除法的几何意义知：(cs＋isin)÷＝.
【变式12-1】（23-24高一·全国·练习）设复数，则得一个辐角是 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意得，
，
所以得辐角是（答案不唯一）
【变式12-2】（22-23高二下·河南洛阳·月考）若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
所以，，
综上，.故选：A
【变式12-3】（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【解析】设，
则，
由题意可得：
可得关于的方程的根为，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022为偶数，所以.故选：B.