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【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题1-1二次根式 易错专练 .zip
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易错点1 当求二次根式有意义的条件时，易忽略分式有意义的条件
特别提醒：当二次根式所在的式子中含有分式（具有分式形式）时，字母的取值既要使被开方数为非负数，又要保证分母不为零.
易错点2 当利用化简二次根式时，易忽略的符号
特别提醒：利用化简二次根式，当时，.当时，.注意不要忽略的符号直接进行化简.
易错点3 忽视隐含条件，误将负数移到括号内
特别提醒：在做题时要注意根号内因式的取值范围，根据取值范围判断字母的正负，将二次根式化为最简二次根式时，要注意整体的符号.
二次根式有意义的条件有理数 二次根式的性质与化简
最简二次根式 二次根式的乘除法
分母有理化 同类二次根式
二次根式的混合运算 二次根式的化简求值
二次根式的应用
一．二次根式有意义的条件（共4小题）
1．（2023春•泸县校级期末）要使代数式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得，
解得，
故选：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
2．（2023春•宣化区期中）已知，则 8 ．
【分析】根据二次根式可得且，从而可得，进而可得，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
且，
解得：且，
，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
3．（2023春•中江县期中） 2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
所以，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
4．（2023春•邗江区期末）已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，根据满足条件的所有整数的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，从而或，从而得出答案．
【解答】解：，，
，
满足条件的所有整数的和是10，
，3，2，1或4，3，2，1，0，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，体现了分类讨论的思想，根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围是解题的关键．
二．二次根式的性质与化简（共2小题）
5．（2023春•乾安县期末）先阅读理解，再回答问题：
①，，的整数部分为1．
②，，的整数部分为2．
③，，的整数部分为3．
（1）填空：的整数部分是 ；
（2），分别是的整数部分和小数部分；
①分别写出、的值；
②求的值．
【分析】（1）依据所给规律可以证明，的整数部分是；
（2）①依据题意，由，从而，进而可得，故可得解；
②由①代入，再进行计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，，
．
的整数部分是．
故答案为：．
（2）①由题意，，
．
．
的整数部分为，的小数部分为．
②由题意，将，代入得，
原式
．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
6．（2022秋•市中区期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）；故答案为：；
（2）；故答案为：；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
三．最简二次根式（共3小题）
7．（2023春•江津区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、是最简二次根式，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
8．（2023春•同江市期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 8 ．
【分析】根据最简二次根式的定义可得，，从而可得，，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
，，
解得：，，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
9．（2023春•乾安县期末）已知，求的值．
【分析】依据题意，由二次根式的被开方数要是非负数，进而建立不等式求得的值，再代入计算即可得解．
【解答】解：由题意，，
．
又，
．
．
．
．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的性质，解题时要熟练掌握并理解．
四．二次根式的乘除法（共2小题）
10．（2023春•朝阳区期末）计算： ．
【分析】根据二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
11．（2023春•亭湖区期末）计算的结果为 6 ．
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
五．分母有理化（共2小题）
12．（2023春•抚远市期中）计算： ．
【分析】根据分母有理化进行计算，即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：．
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本题的关键．
六．同类二次根式（共3小题）
14．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，能与合并，故不符合题意；
、，不能与合并，故符合题意；
、，能与合并，故不符合题意；
、，能与合并，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
15．（2023春•微山县期中）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 1 ．
【分析】根据同类二次根式的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：，为最简二次根式，且能够与合并，
，
解得：，
故答案为：1．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
16．（2023春•东平县期末）最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 2 ．
【分析】根据二次根式的性质把化简，根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：最简二次根式和是同类二次根式，，
，
解得：，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
七．二次根式的混合运算（共11小题）
17．（2023秋•山亭区期中）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（2023春•西湖区期中）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法、除法、乘方运算法则，二次根式的性质与化简，进行计算逐一判断即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加法、除法、乘方运算法则，以及二次根式的性质与化简是解题的关键．
19．（2023春•遂宁期末）计算 ．
【分析】根据积的乘方法则，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（2023春•宿迁期末）计算式子：的值为 ．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（2023秋•兴庆区校级期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；
（3）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2023春•禹州市期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2023春•定南县期中）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2023春•唐县期末）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：
（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为 ；根据公式计算结果为 ；
（2）原式中的计算结果为 ；
（3）原式的最终结果为 ．
【分析】（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（2）利用零指数幂进行计算，即可解答；
（3）先计算二次根式的乘法，零指数幂，算术平方根，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为，根据公式计算结果为2，
故答案为：；2；
（2）原式中的计算结果为1，
故答案为：1；
（3）
，
原式的最终结果为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．（2023春•江阳区校级期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【解答】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最下值0，所以的最小值为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26．（2023春•禹州市期中）阅读下列材料，然后解决问题．
在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们可以将其进一步化简：，，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．
（1）化简 ， ， ．
（2）化简：．
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
故答案为：；；；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
27．（2023春•靖西市期中）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；①
；②
；③
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简；；④
（1）请参照方法④化简：；
（2）化简：．为正整数）
【分析】（1）先根据平方差公式进行变形，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．
八．二次根式的化简求值（共8小题）
28．（2023春•鞍山期中）已知，则的值为 ．
【分析】根据已知易得：，，然后利用异分母分式加减法法则进行计算，再把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
29．（2023春•葫芦岛期中）若，则 的值为 4 ．
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
30．（2023春•清河区校级期末）已知，则 ．
【分析】先利用异分母分式的加减法法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
当时，原式，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
31．（2023春•海安市月考）已知：，求的值．
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
的值为4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
32．（2023春•惠阳区期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算，的值，进而根据平方差公式即可求解；
（2）根据完全平方公式变形，结合平方差公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键．
33．（2023秋•信宜市期中）解决问题：已知，求的值．
小明是这样分析与解答的：因为，所以．
所以，即．
所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【分析】（1）利用分母有理化、平方差公式计算；
（2）利用（1）的结论计算；
（3）利用分母有理化把化简，根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
，
则原式；
（3），
，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．
34．（2023春•张店区期末）阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
，
，
，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
的值为2；
（2）由（1）得：，，
，
，
，
，
的值为．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．（2022秋•盐湖区期末）阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可；
（2）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．
【解答】解：（1），
的有理化因式是；
，
，，
的有理化因式是；
；；
故答案为：；；或；；
（2），
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查分母有理化．理解并掌握有理化因式的定义，是解题的关键．
九．二次根式的应用（共5小题）
36．（2023春•百色期末）某精密仪器的一个零件上有一个矩形孔，其面积为、长为，则这个孔的宽为 ．
【分析】依据题意，利用矩形的面积除以长等于宽，进而列式计算即可得解．
【解答】解：由题意，宽为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的实际运用，利用矩形的面积计算公式列出算式是解决问题的关键．
37．（2022秋•铜川期末）小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
，
答：壁布的面积为．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
38．（2022秋•封丘县期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
【解答】解：（1）长方形的周长．
答：长方形的周长是；
（2）蔬菜地的面积
．
（元．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
39．（2022秋•永兴县期末）如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32．
（1）求正方形和正方形的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；
（2）先求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）正方形的边长为：，
正方形的边长为：；
（2），，，
；
；
又，
，
．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．第（2）题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．
40．（2022秋•株洲期末）已知长方形长，宽．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
【解答】解：①长方形的周长为；
②长方形的面积为，
则正方形的边长为，
此正方形的周长为，
，，且，
，
则长方形的周长大于正方形的周长．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
易错点1 当求二次根式有意义的条件时，易忽略分式有意义的条件
特别提醒：当二次根式所在的式子中含有分式（具有分式形式）时，字母的取值既要使被开方数为非负数，又要保证分母不为零.
易错点2 当利用化简二次根式时，易忽略的符号
特别提醒：利用化简二次根式，当时，.当时，.注意不要忽略的符号直接进行化简.
易错点3 忽视隐含条件，误将负数移到括号内
特别提醒：在做题时要注意根号内因式的取值范围，根据取值范围判断字母的正负，将二次根式化为最简二次根式时，要注意整体的符号.
二次根式有意义的条件有理数 二次根式的性质与化简
最简二次根式 二次根式的乘除法
分母有理化 同类二次根式
二次根式的混合运算 二次根式的化简求值
二次根式的应用
一．二次根式有意义的条件（共4小题）
1．（2023春•泸县校级期末）要使代数式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得，
解得，
故选：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
2．（2023春•宣化区期中）已知，则 8 ．
【分析】根据二次根式可得且，从而可得，进而可得，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
且，
解得：且，
，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
3．（2023春•中江县期中） 2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
所以，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
4．（2023春•邗江区期末）已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，根据满足条件的所有整数的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，从而或，从而得出答案．
【解答】解：，，
，
满足条件的所有整数的和是10，
，3，2，1或4，3，2，1，0，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，体现了分类讨论的思想，根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围是解题的关键．
二．二次根式的性质与化简（共2小题）
5．（2023春•乾安县期末）先阅读理解，再回答问题：
①，，的整数部分为1．
②，，的整数部分为2．
③，，的整数部分为3．
（1）填空：的整数部分是 ；
（2），分别是的整数部分和小数部分；
①分别写出、的值；
②求的值．
【分析】（1）依据所给规律可以证明，的整数部分是；
（2）①依据题意，由，从而，进而可得，故可得解；
②由①代入，再进行计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，，
．
的整数部分是．
故答案为：．
（2）①由题意，，
．
．
的整数部分为，的小数部分为．
②由题意，将，代入得，
原式
．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
6．（2022秋•市中区期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）；故答案为：；
（2）；故答案为：；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
三．最简二次根式（共3小题）
7．（2023春•江津区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、是最简二次根式，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
8．（2023春•同江市期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 8 ．
【分析】根据最简二次根式的定义可得，，从而可得，，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
，，
解得：，，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
9．（2023春•乾安县期末）已知，求的值．
【分析】依据题意，由二次根式的被开方数要是非负数，进而建立不等式求得的值，再代入计算即可得解．
【解答】解：由题意，，
．
又，
．
．
．
．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的性质，解题时要熟练掌握并理解．
四．二次根式的乘除法（共2小题）
10．（2023春•朝阳区期末）计算： ．
【分析】根据二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
11．（2023春•亭湖区期末）计算的结果为 6 ．
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
五．分母有理化（共2小题）
12．（2023春•抚远市期中）计算： ．
【分析】根据分母有理化进行计算，即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：．
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本题的关键．
六．同类二次根式（共3小题）
14．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，能与合并，故不符合题意；
、，不能与合并，故符合题意；
、，能与合并，故不符合题意；
、，能与合并，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
15．（2023春•微山县期中）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 1 ．
【分析】根据同类二次根式的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：，为最简二次根式，且能够与合并，
，
解得：，
故答案为：1．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
16．（2023春•东平县期末）最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 2 ．
【分析】根据二次根式的性质把化简，根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：最简二次根式和是同类二次根式，，
，
解得：，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
七．二次根式的混合运算（共11小题）
17．（2023秋•山亭区期中）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（2023春•西湖区期中）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法、除法、乘方运算法则，二次根式的性质与化简，进行计算逐一判断即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加法、除法、乘方运算法则，以及二次根式的性质与化简是解题的关键．
19．（2023春•遂宁期末）计算 ．
【分析】根据积的乘方法则，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（2023春•宿迁期末）计算式子：的值为 ．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（2023秋•兴庆区校级期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；
（3）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2023春•禹州市期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2023春•定南县期中）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2023春•唐县期末）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：
（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为 ；根据公式计算结果为 ；
（2）原式中的计算结果为 ；
（3）原式的最终结果为 ．
【分析】（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（2）利用零指数幂进行计算，即可解答；
（3）先计算二次根式的乘法，零指数幂，算术平方根，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为，根据公式计算结果为2，
故答案为：；2；
（2）原式中的计算结果为1，
故答案为：1；
（3）
，
原式的最终结果为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．（2023春•江阳区校级期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【解答】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最下值0，所以的最小值为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26．（2023春•禹州市期中）阅读下列材料，然后解决问题．
在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们可以将其进一步化简：，，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．
（1）化简 ， ， ．
（2）化简：．
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
故答案为：；；；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
27．（2023春•靖西市期中）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；①
；②
；③
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简；；④
（1）请参照方法④化简：；
（2）化简：．为正整数）
【分析】（1）先根据平方差公式进行变形，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．
八．二次根式的化简求值（共8小题）
28．（2023春•鞍山期中）已知，则的值为 ．
【分析】根据已知易得：，，然后利用异分母分式加减法法则进行计算，再把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
29．（2023春•葫芦岛期中）若，则 的值为 4 ．
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
30．（2023春•清河区校级期末）已知，则 ．
【分析】先利用异分母分式的加减法法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
当时，原式，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
31．（2023春•海安市月考）已知：，求的值．
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
的值为4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
32．（2023春•惠阳区期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算，的值，进而根据平方差公式即可求解；
（2）根据完全平方公式变形，结合平方差公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键．
33．（2023秋•信宜市期中）解决问题：已知，求的值．
小明是这样分析与解答的：因为，所以．
所以，即．
所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【分析】（1）利用分母有理化、平方差公式计算；
（2）利用（1）的结论计算；
（3）利用分母有理化把化简，根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
，
则原式；
（3），
，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．
34．（2023春•张店区期末）阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
，
，
，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
的值为2；
（2）由（1）得：，，
，
，
，
，
的值为．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．（2022秋•盐湖区期末）阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可；
（2）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．
【解答】解：（1），
的有理化因式是；
，
，，
的有理化因式是；
；；
故答案为：；；或；；
（2），
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查分母有理化．理解并掌握有理化因式的定义，是解题的关键．
九．二次根式的应用（共5小题）
36．（2023春•百色期末）某精密仪器的一个零件上有一个矩形孔，其面积为、长为，则这个孔的宽为 ．
【分析】依据题意，利用矩形的面积除以长等于宽，进而列式计算即可得解．
【解答】解：由题意，宽为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的实际运用，利用矩形的面积计算公式列出算式是解决问题的关键．
37．（2022秋•铜川期末）小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
，
答：壁布的面积为．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
38．（2022秋•封丘县期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
【解答】解：（1）长方形的周长．
答：长方形的周长是；
（2）蔬菜地的面积
．
（元．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
39．（2022秋•永兴县期末）如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32．
（1）求正方形和正方形的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；
（2）先求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）正方形的边长为：，
正方形的边长为：；
（2），，，
；
；
又，
，
．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．第（2）题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．
40．（2022秋•株洲期末）已知长方形长，宽．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
【解答】解：①长方形的周长为；
②长方形的面积为，
则正方形的边长为，
此正方形的周长为，
，，且，
，
则长方形的周长大于正方形的周长．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
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