【期中讲练测】北师大版八年级下册数学压轴真题必刷06 解答题.zip

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反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．
如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．
例如：；；
；．
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式．
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
(2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．
2．（23-24八年级上·北京东城·期中）【例题讲解】因式分解：．
∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：，
∴恒成立．
∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得，
∴．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
(1)若，则__________；
(2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式．
3．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B为y轴正半轴上一动点，点C落在y轴的右侧．
(1)如图1，若，直接写出点C的坐标；
(2)如图1，当x轴平分，且与交于点D，，之间的数量关系；
(3)如图2，过B点作垂直于y轴，且，连接交y轴于E，问当B点运动时，线段BE的长度是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由
4．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，过C作直线，B关于直线的对称点为D，连接，，，与的交点为E，设．

(1)若，则请直接写出下列两个角的度数： _______， _______．
(2)随着α的变化，的度数是否也发生变化，请说明理由；
(3)当成为等腰三角形时，求α的值．
5．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接．
(1)如图1，已知，，当时，求的面积；
(2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数；
(3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由．
6．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若点C在第二象限，的面积是5；
①求点C的坐标；
②直接写出不等式组的解集；
③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围．
7．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义
阳阳结合上面的学习过程，对函数的图象与性质进行了探究．
(1)① 化简函数的表达式：当时， ，当时， ；
② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(2)函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到；
① 当时，的取值范围是 ；
② 当时，x的取值范围是 ；
③ 当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n的值及m的取值范围．
8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．
(1)则 ， ， ；
(2)若函数的值大于函数的函数值，则x的取值范围是 ；
(3)则四边形的面积 ；
(4)在平面内是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若
①当x，y，n满足条件：时，求n的值；
②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长．
10．（23-24八年级上·广东江门·期中）阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．
原式．
【材料】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
11．（19-20八年级下·广东深圳·期中）为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元．
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案?
(3)在(2)的条件下，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少万元?
12．（2020·云南昆明·二模）为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉．其中，从甲地到武汉，A型货车5辆、B型货车6辆，一共需补贴油费3800元；A型货车3辆、B型货车2辆，一共需补贴油费1800元．
（1）从甲地到武汉，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
（2）A型货车每辆可装15吨物资，B型货车每辆可装12吨物资，安排的B型货车的数量是A型货车的2倍还多4辆，且A型车最多可安排18辆、运送这批物资，不同安排中，补贴的总的油费最少是多少？
13．（23-24八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，对于点，点，给出如下定义：如果点与原点的距离为，点与点的距离是的倍（为整数），那么称点为点的“倍关联点”．

(1)当时，
①若点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标为______；
②若是点的倍关联点，且满足，，那么整数的最大值为______；
(2)在中，，，，，若，且在的边上存在点的2倍关联点，求的取值范围．
14．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线（，k为常数）与x轴交于点C，与y轴交于点D．直线与交于点E，已知．

(1)求直线的表达式；
(2)P为直线上一动点，作轴交直线于点Q，以为直角边作，满足且．若的周长为，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
15．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）（1）阅读理解：如图1，在中，点是的中点，若，，求长的取值范围。小明同学是这样思考的：延长至，使，连接，利用全等将边转化到，在中利用三角形的三边关系，即可求出长范围．请根据小明的思考解答本题．
（2）灵活运用：如图2，在中，点是的中点，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，请探究与的关系，并说明理由．
16．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，平面直角坐标系中，，B为的中点，C是y轴上的动点，连接，过点A作，并截取，E是的中点，连接，，且E在第四象限．
(1)如图1，当点C与O重合时，求E点的坐标；
(2)如图2，当点C在y轴上运动时，的度数是否会发生变化；若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由；
(3)当最短时，求线段的长．
17．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，点在上，点在的延长线上，连接交于，，过点作的垂线，垂足为点．
(1)如图1，延长交线段于，当时，求证：；
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积为9，求的长．
18．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）（1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接．
填空：①的度数为 ；②线段，之间的数量关系为 ．
（2）如图2，和均为等腰三角形，，A，D，E三点在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，的数量关系，并说明理由．
（3）图1中的和，在旋转中当点A，D，E不在同一直线上时，旋转角，设直线与相交于点，尝试在图中探索的度数，不必说明理由．
19．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）问题背景：如图① ，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：
方法应用：
（1）在图① 中，若，，则 ；
（2）在图③ 中，在四边形中，，，，，，求的长；
拓展延伸：
（3）如图④ ，将边长为2的等边三角形，沿其边所在直线折叠，得四边形，有个的在四边形内部运动，边、分别交四边形的边、于点E、F．
① 试探究在运动过程中，四边形的面积是否发生变化，如果不变，求出这个值，如果发生变化，请求出四边形面积的取值范围；
20．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，等边中，于点，为线段上一动点不与、重合，连接、，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接交于，连接．
①直接写出的度数为______；
②求证：是的垂直平分线．
(3)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当到达点时，立即以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时运动停止．为使能最短时间到达处，若，运动所需的总时间为，直接写出的最小值是多少，并标出此时的位置，用表示．
21．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上， ，连接、，与相交于P．
(1)求证：；
(2)如图2，过点A作，分别交、于M、N，比较与的大小并证明；
(3)如图3，连接，若，求的度数．
22．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，是中点，连接、．
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，当时，试判断和的数量关系；
(3)当时，求的长
23．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F．
(1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：；
(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，三条线段之间的数量关系；
(3)点O在线段上，若，当时，请直接写出的长．
24．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）探究性试题
(1)【发现问题】如图1， 为等边三角形，点 D 、E在边上，，将线段绕点 C 顺时针旋转得到线段，连接．
① 求的度数；
② 求证：；
(2)【解决问题】如图 2， 是一个三角形的余料．小张同学量得， 他在边上取了 D、E 两点，并量得，求这三个三角形的面积之比．
25．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图所示，等腰直角 中，．
(1)如图 1所示, 若 是 内一点，将线段绕点顺时针旋转 得到, 连接，求证：；
(2)若D是外部一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，并使，连接，猜想：线段和满足什么数量关系?请在图 2 中面出符合要求的图形 (一种即可)，并在你所画图形的基础上完成证明．
(3)如图 3 所示， 若 O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，求 的值．
26．（22-23八年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，在中，，，点、、分别为、、的中点，求证：；
（2）如图2，在中，，，点为的中点，，那么是否成立？证明你的猜想；
（3）如图3，边长为4的等边外有一点，，，、分别是边、的点，满足，求的周长．
27．（23-24八年级上·山东泰安·期末）（）操作发现：如图，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：
将绕点逆时针旋转至，由，得，即点、三点共线，易证________，故之间的数量关系是________；
（）类比探究：如图②，在四边形中，，点分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明；
（）拓展延伸：如图，在中，，点均在边上，且，若，请在图中作出辅助线，并直接写出的长：________．
28．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，中，，BD平分，于点B．动点P从点D出发沿线段DB以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿射线BE以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动．
(1)求证：；
(2)若是直角三角形，求t的值．
(3)若，则t的值为______（直接写出答案，不要求书写求解过程）．
29．（23-24八年级上·北京西城·期中）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明，只需要证明；同样的，要证明，只需要证明．
例如：
小明对于命题：任意的实数a和b，总有，当并且只有时，等号成立，给出了如下证明：
证明：∵，
∴，当并且只有时，等号成立．
(1)请仿照小明 的证明方法，证明如下命题：
若a，b，x，，且，则．
(2)若，，且，
求的最大值．
30．（23-24八年级上·江苏常州·期中）（1）如图1，四边形的对角线、交于点，．证明：．
（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连结、、．
①，，求的值．
②若分别取，的中点、，连接，，，判断的形状为__________．
（3）如图3，对于任意，以和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连结、、，分别取，的中点、，连接，，，则②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．