2022-2023学年天津八中八年级（上）期中数学试卷及答案解析

这是一份2022-2023学年天津八中八年级（上）期中数学试卷及答案解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C＝115°，∠A＝25°，则∠E＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
4．（3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
5．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC＝2S△ABF
6．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8，线段AB的垂直平分线交BC于点D，线段AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于（ ）
A．8B．4C．12D．16
7．（3分）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（ ）
A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7
8．（3分）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PBB．PO平分∠APB
C．OA＝OBD．AB垂直平分OP
9．（3分）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A．甲B．乙C．甲和乙D．都不是
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
11．（3分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米B．96米C．64米D．48米
12．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为 ．
14．（3分）如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
17．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝2，BC＝8，则△CDF的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
21．（8分）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
22．（8分）如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．
23．（8分）已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．求证：CM＝CN．
24．（8分）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
2022-2023学年天津八中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由三角形的内角和判定选项ABC中的三角形是否为等腰三角形，D选项由等腰三角形的定义判断．
【解答】解：A、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴A选项中的图形不是等腰三角形．故A选项符合题意；
B、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴B选项中的图形是等腰三角形．故B选项不符合题意；
C、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴C选项中的图形是等腰三角形．故C选项不符合题意；
D、由图形中有两边长为5知：选项D中的图形是等腰三角形．故D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和与等腰三角形的判定和定义．利用三角形的内角和为180°求出第三角是突破点．
3．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C＝115°，∠A＝25°，则∠E＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【分析】此题的解法灵活，可以首先根据平行线的性质求得∠EFB，再根据三角形的外角性质求得∠E；也可以首先根据平行线的性质求得∠CFB，再根据对顶角相等求得∠AFE，最后再根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：方法1：
∵AB∥CD，∠C＝115°，
∴∠EFB＝∠C＝115°．
又∠EFB＝∠A+∠E，∠A＝25°，
∴∠E＝∠EFB﹣∠A＝115°﹣25°＝90°；
方法2：
∵AB∥CD，∠C＝115°，
∴∠CFB＝180°﹣115°＝65°．
∴∠AFE＝∠CFB＝65°．
在△AEF中，∠E＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣25°﹣65°＝90°．
故选：C．
【点评】此题有多种解法，可以利用三角形外角的性质结合平行线的性质，也可以利用三角形内角和定理结合平行线的性质得到∠E的值为90°，本题综合考查了平行线的性质、三角形内角和及外角性质．
4．（3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：∵等腰三角形一个外角等于130°，
∴等腰三角形的一个内角为：180°﹣130°＝50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
5．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC＝2S△ABF
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8，线段AB的垂直平分线交BC于点D，线段AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于（ ）
A．8B．4C．12D．16
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DB＝DA，
∵线段AC的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝8，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（3分）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（ ）
A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
8．（3分）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PBB．PO平分∠APB
C．OA＝OBD．AB垂直平分OP
【分析】本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用全等三角形的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠POA＝∠POB，OP＝OP
∴△OPA≌△OPB（AAS），
∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB
∴A、B、C项正确
设PO与AB相交于E
∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OE＝OE
∴△AOE≌△BOE
∴∠AEO＝∠BEO＝90°
∴OP垂直AB
而不能得到AB平分OP
故D不成立
故选：D．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到△OPA≌△OPB，进而求得△AOE≌△BOE是解决的关键．
9．（3分）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A．甲B．乙C．甲和乙D．都不是
【分析】甲可根据ASA判定与△ABC全等；乙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．
【解答】解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故甲与△ABC全等；
乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等；
则与△ABC全等的有乙和甲，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BN＝AN，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴BN＝AN，
∵BC+CN+BN＝7cm，
∴BC+AN+CN＝7cm，即BC+AC＝7（cm），
∴BC＝3cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．（3分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米B．96米C．64米D．48米
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×8＝64（米）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
12．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：C．
【点评】解答此题要用到三角形的内角和为180°，若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．
【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征，关于y轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数．
14．（3分）如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 4 cm．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵AC＝BC＝8cm，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×8＝4（cm）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝ 40° ．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，则∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，所以∠BOC＝90°+∠A，然后把∠BOC＝110°代入计算可得到∠A的度数．
【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
而∠BOC＝110°，
∴90°+∠A＝110°
∴∠A＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
16．（3分）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 4cm ．
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的中点，得到BE＝BC＝BD＝4．
【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，
∴∠ABC+∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD＝BC，AC＝BE，
∵E是BC的中点，BD＝8cm，
∴BE＝BC＝BD＝4cm．
故答案为：4cm
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
17．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 540° ．
【分析】根据五边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：连接AE，
则∠1+∠2＝∠F+∠G，
∴∠3+∠B+∠C+∠D+∠4+∠F+∠G＝∠3+∠B+∠C+∠D+∠4+∠1+∠2＝540°，
故答案为：540°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及多边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
18．（3分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝2，BC＝8，则△CDF的面积为 4 ．
【分析】过点F作FG⊥BC，由角平分线的性质可得FG＝FE＝2，再由AD是中线，则有CD＝4，利用三角形的面积公式可求得△CDF的面积．
【解答】解：过点F作FG⊥BC，如图，
∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，EF＝2，
∴FG＝FE＝2，
∵BC＝8，AD为BC边上的中线，
∴CD＝BC＝4，
∴S△CDF＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．
三、解答题（本大题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B2的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，点C1的坐标为（3，﹣2）；
（2）△A2B2C2如图所示，点B2的坐标为（﹣1，1）．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBE，根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝60°，求得∠DBC＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△CED是等腰三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据SAS证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
,
∴△ABF≌△DCE（SAS）,
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
22．（8分）如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．
【分析】求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
23．（8分）已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．求证：CM＝CN．
【分析】由“SAS”可证△AOD≌△BOD，可得∠ADO＝∠BDO，由“AAS”可证△CMD≌△CND，可得CM＝CN．
【解答】证明：∵OD平分∠POQ，
∴∠AOD＝∠BOD，
在△AOD和△BOD中，
，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴∠ADO＝∠BDO，
∵CM⊥AD于M，CN⊥BD于N，
∴∠CMD＝∠CND＝90°，
在△CMD和△CND中，
，
∴△CMD≌△CND（AAS），
∴CM＝CN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．（8分）已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ 140° ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）根据四边形内角和360°，求出∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°，再根据邻补角性质可得∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）值；
（2）先利用四边形内角和360°，得到∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP，再利用邻补角性质得到∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP，从而整理出∠1+∠2＝90°+∠α．
【解答】解：（1）∵在四边形CEPD中，根据四边形内角和360°，可得
∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°．
又∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）＝360°﹣220°＝140°．
故答案为140°；
（2）在四边形CEPD中，∠C+∠CEP+∠α+∠CDP＝360°，
∴∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．
又∵∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．
∴∠C+∠α＝∠1+∠2，
即∠1+∠2＝90°+∠α．
【点评】本题主要考查了四边形内角和360°，以及邻补角互补性质，同时考查了整体思想．
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