2022-2023学年天津九十中八年级（上）期中数学试卷及答案解析

这是一份2022-2023学年天津九十中八年级（上）期中数学试卷及答案解析，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列交通标志图案，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如所示图形中具有稳定性的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
3．（3分）由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．1cm，3cm，3cmB．2cm，5cm，6cm
C．8cm，6cm，4cmD．14cm，7cm，7cm
4．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）如图，下列各组条件中，得不到△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD，∠BAC＝∠ABDB．AC＝BD，∠BAC＝∠ABD
C．BC＝AD，AC＝BDD．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD
6．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论，其中错误的是（ ）
A．AC＝BDB．∠AMB＝36°
C．MO平分∠AMDD．OM平分∠AOD
7．（3分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）
A．126°B．128°C．130°D．132°
8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．（3分）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）
A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27°B．59°C．69°D．79°
11．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
二、填空题
13．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P是OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则ON＝ cm．
14．（3分）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 ．
15．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠A＝67°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝74°，那么∠A′DE的度数为 ．
17．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
18．（11分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点P（0，p）．
（Ⅰ）如图①，当p＝4时，以点A为直角顶点，AP为腰，在第二象限作等腰直角三角形APC，则点C的坐标为 ．
（Ⅱ）如图②，当p＜﹣2时，以点P为直角顶点，PA为腰作等腰直角三角形APD（点D在y轴右侧），过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则OP﹣DE＝ ．
（Ⅲ）如图③，当p＜0时，将点A平移到A（2，2），连接A'P，过点A′作A'P的垂线，与x轴的正半轴交于点M（m，0），则m，p之间的数量关系为 ．
三、解答题
19．（8分）如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF，试证明：AD＝CF．
20．（8分）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，∠AFD＝155°，AB＝BC，求∠EDF的度数．
21．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，D是BC的中点，BE⊥AD于E，交AC于F，连接DF．求证：∠1＝∠2．
22．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．
23．（8分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF．求证：AD∥BC．
24．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
25．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
2022-2023学年天津九十中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列交通标志图案，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
2．（3分）如所示图形中具有稳定性的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【分析】所有图形里，具有稳定性的是三角形．据此作答即可．
【解答】解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性，属于基础题，比较简单．
3．（3分）由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．1cm，3cm，3cmB．2cm，5cm，6cm
C．8cm，6cm，4cmD．14cm，7cm，7cm
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
【解答】解：A、∵1+3＞3，∴能构成三角形，不符合题意；
B、∵2+5＞6，∴能构成三角形，不符合题意；
C、∵6+4＞8，∴能构成三角形，不符合题意；
D、∵7+7＝14，∴不能构成三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C＝∠D＝90°，还有一条公共边AB＝AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①AC＝BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
5．（3分）如图，下列各组条件中，得不到△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD，∠BAC＝∠ABDB．AC＝BD，∠BAC＝∠ABD
C．BC＝AD，AC＝BDD．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD
【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A．根据AB＝BA，BC＝AD，∠BAC＝∠ABD不能推出△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
B．根据AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA能推出△ABC≌△BAD（SAS），故本选项不符合题意；
C．根据BC＝AD，AC＝BD，AB＝BA能推出△ABC≌△BAD（SSS），故本选项不符合题意；
D．根据BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA能推出△ABC≌△BAD（SAS），故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
6．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论，其中错误的是（ ）
A．AC＝BDB．∠AMB＝36°
C．MO平分∠AMDD．OM平分∠AOD
【分析】先证明△AOC≌△BOD（SAS），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，
故A选项不符合题意；
∵∠OAB+∠ABO＝180°﹣36°＝144°，
∴∠MAB+∠ABM＝144°，
∴∠AMB＝180°﹣144°＝36°，
故B选项不符合题意；
过点O作OG⊥AC于点G，过点O作OH⊥BD于点H，如图所示：
∵△AOC≌△BOD，
∴S△AOC＝S△BOD，
即，
∵AC＝BD，
∴OH＝OG，
在Rt△OHM和Rt△OGM中，
，
∴Rt△OHM≌Rt△OGM（HL），
∴∠OMG＝∠OMH，
即OM平分∠AMD，
故C选项不符合题意；
假设OM平分∠AOD，
则∠AOM＝∠DOM，
∵OM平分∠AMD，
∴∠AMO＝∠DMO，
∵OM＝OM，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝DO，
∵OD＝OC，AO＜OC，
∴AO＜DO，
∴假设不成立，
∴OM不平分∠AOD，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）
A．126°B．128°C．130°D．132°
【分析】连接AD，利用轴对称的性质解答即可．
【解答】解：连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝62°，∠C＝52°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣52°＝66°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝132°，
故选：D．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠ACP＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
9．（3分）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）
A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．
【解答】解：此题需动手操作，可以通过折叠再减去4个重合，得出是八边形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了与剪纸相关的知识；动手操作的能力是近几年常考的内容，要掌握熟练．
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27°B．59°C．69°D．79°
【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．
【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定
【分析】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．
【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACP和△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
【分析】①由条件可知∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，可得到∠E＝∠ADC，再结合条件可证明△ADC≌△CEB；
②AD为BC边上的中线，得到BD＝CD，得到∠AFB≠90°，求得DF≠CD；
③BE＝CD＝BD，结合条件可证明△BEF≌△BDF，则有∠E＝∠BDF＝∠ADC，可得结论；
④由③可得EF＝DF，而DF＞FG，故F不可能为EG中点．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正确；
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵AG⊥CE，
∴∠BFC≠90°，
∴DF≠CB，
∴DF≠CD，
∴②不正确；
∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，
∴BE＝CD＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠DBF＝∠EBF＝45°，
在△BEF和△BDF中，
，
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E＝∠BDF，又∠E＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠BDF，
∴③正确；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF＝DF，
在Rt△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，
∴④不正确；
综上可知正确的有①③共两个，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
二、填空题
13．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P是OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则ON＝ 5 cm．
【分析】过P作PD⊥OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM＝PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN＝2求出DN的长，由OD+DN即可求出ON的长．
【解答】解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP＝×8＝4cm，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝MN＝1cm，
∴ON＝OD+DN＝4+1＝5cm．
故答案为：5．
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形三线合一．
14．（3分）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 44° ．
【分析】由折叠的性质可得，∠BDE＝∠B'DE，∠BED＝∠DEB'，再由已知可求∠B＝60°，∠BDB'＝180°﹣76°＝104°，则∠BDE＝52°，∠DEB＝∠DEB'＝68°，则可求∠GEC＝180°﹣68°﹣68°＝44°．
【解答】解：由折叠的性质可得，∠BDE＝∠B'DE，∠BED＝∠DEB'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠ADF＝76°，
∴∠BDB'＝180°﹣76°＝104°，
∴∠BDE＝52°，
∴∠DEB＝180°﹣60°﹣52°＝68°，
∴∠DEB'＝68°，
∴∠GEC＝180°﹣68°﹣68°＝44°，
故答案为44°．
【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
15．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为 11 ．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF＝64﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝11．
故答案为11．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
16．（3分）如图，△ABC中，∠A＝67°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝74°，那么∠A′DE的度数为 60° ．
【分析】首先求得∠AEA′，根据折叠的性质可得∠A′ED＝∠AED＝∠AEA′，在△A′DE中利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠AEA′＝180°﹣∠A′EC＝180°﹣74°＝106°，
又∵∠A′ED＝∠AED＝∠AEA′＝53°，∠DA′E＝∠A＝67°，
∴∠A′DE＝180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E＝180°﹣53°﹣67°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，找出图形中相等的角是关键．
17．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是 65°或25° ．
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
18．（11分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点P（0，p）．
（Ⅰ）如图①，当p＝4时，以点A为直角顶点，AP为腰，在第二象限作等腰直角三角形APC，则点C的坐标为 （﹣6，2） ．
（Ⅱ）如图②，当p＜﹣2时，以点P为直角顶点，PA为腰作等腰直角三角形APD（点D在y轴右侧），过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则OP﹣DE＝ 2 ．
（Ⅲ）如图③，当p＜0时，将点A平移到A（2，2），连接A'P，过点A′作A'P的垂线，与x轴的正半轴交于点M（m，0），则m，p之间的数量关系为 m+p＝4 ．
【分析】（Ⅰ）过点C作CH⊥x轴于H，由“AAS”可证△ACH≌△PAO，可得AH＝PO＝4，CH＝AO＝2，即可求解；
（Ⅱ）过点D作DF⊥OP于F，由“AAS”可证△APO≌△PDF，可得AO＝PF＝2，即可求解；
（Ⅲ）过点A'作A'G⊥y轴于G，作A'N⊥x轴于N，由“AAS”可证△GA'P≌△NA'M，可得MN＝GP，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点C作CH⊥x轴于H，
∵△APC是等腰直角三角形，
∴AC＝AP，∠CAP＝90°，
∵点A（﹣2，0），点P（0，4），
∴OA＝2，OP＝4，
∵CH⊥x轴，
∴∠CHA＝∠CAP＝∠AOP＝90°，
∴∠CAH+∠PAO＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠PAO＝∠ACH，
在△ACH和△PAO中，
，
∴△ACH≌△PAO（AAS），
∴AH＝PO＝4，CH＝AO＝2，
∴HO＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，2），
故答案为：（﹣6，2）；
（Ⅱ）如图②，过点D作DF⊥OP于F，
∵△APD是等腰直角三角形，
∴AP＝PD，∠APD＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，∠APO+∠DPF＝90°，
∴∠OAP＝∠DPF，
在△APO和△PDF中，
，
∴△APO≌△PDF（AAS），
∴AO＝PF＝2，
∵DE⊥AO，DF⊥PO，EO⊥OP，
∴四边形OFDE为矩形，
∴DE＝OF，
∴OP﹣DE＝OP﹣OF＝FP＝2；
故答案为：2；
（Ⅲ）m+p＝4，
理由如下：如图③，过点A'作A'G⊥y轴于G，作A'N⊥x轴于N，
∵A'（2，2），
∴A'G＝A'N＝2，
∵A'G⊥y轴，A'N⊥x轴，∠GON＝90°，
∴A'G∥ON，A'G∥OF，
∴A'N＝GO＝2，A'G＝ON＝2，∠GA'N+∠A'NO＝180°，
∴∠GA'N＝90°＝∠PA'M，
∴∠GA'P＝∠NA'M，
在△GA'P和△NA'M中，
，
∴△GA'P≌△NA'M（AAS），
∴MN＝GP，
∴m﹣2＝2﹣p，
∴m+p＝4．
故答案为：m+p＝4．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解答题
19．（8分）如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF，试证明：AD＝CF．
【分析】由题意得到三角形ABC与三角形DEF都为直角三角形，利用HL得到两三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到AC＝DF，两边减去AF，即可得证．
【解答】证明：∵∠ACB＝∠CFE＝90°，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，即△ABC与△DEF都为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AC＝DF，
∴AC﹣AF＝DF﹣CF，即AD＝FC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，∠AFD＝155°，AB＝BC，求∠EDF的度数．
【分析】根据已知条件以及外角的性质可得∠C的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，进一步可得∠B的度数，再根据三角形外角的性质可得∠EDC的度数，进一步即可求出∠EDF的度数．
【解答】解：∵DF⊥BC，
∴∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝∠C+∠FDC＝155°，
∴∠C＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝65°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝50°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形的内角和定理等，熟练掌握这些性质并灵活运用是解题的关键．
21．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，D是BC的中点，BE⊥AD于E，交AC于F，连接DF．求证：∠1＝∠2．
【分析】过点B作BM⊥AC，交AD于G，证明△ABG≌△BCF（ASA），由全等三角形的性质得出BG＝CF，证明△CFD≌△BGD（SAS），由全等三角形的性质得出∠1＝∠2．
【解答】证明：过点B作BM⊥AC，交AD于G，如图，
∵AB＝BC，
∴∠DBG＝∠ABG＝∠ABC＝45°，∠C＝∠CAB＝＝45°，
∴∠C＝∠ABG＝∠DBG＝45°，
∵BE⊥AD，
∴∠DAB+∠ABE＝90°，
∵∠CBF+∠ABE＝∠ABC＝90°
∴∠CBF＝∠DAB，
在△ABG和△BCF中，
，
∴△ABG≌△BCF（ASA），
∴BG＝CF，
∵D为CB中点，
∴CD＝BD，
在△CFD和△BGD中，
，
∴△CFD≌△BGD（SAS），
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABG≌△BCF是解题的关键．
22．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在正方形网格中存在 4 个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．
【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，顺次连接各点即可；
（2）作线段BC的垂直平分线l，直线l与格点的交点即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，直线l与格点的交点有4个，所以与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形的格点有4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF．求证：AD∥BC．
【分析】过D作DM⊥BF于M，DN⊥AC于N，DP⊥BA交BA延长线于P，根据角平分线的判定和性质证得AD平分∠PAC，结合三角形的外角性质证得∠PAD＝∠ABC即可证得结论．
【解答】解：过D作DM⊥BF于M，DN⊥AC于N，DP⊥BA交BA延长线于P，
∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF，
∴DM＝DP，DM＝DN，
∴DN＝DP，
∴AD平分∠PAC，
∴∠PAC＝2∠PAD，
∵∠PAC是△ABC的一个外角，∠ABC＝∠ACB，
∴∠PAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∴∠PAD＝∠ABC，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质定理、三角形的外角性质，添加辅助线，利用角平分线的判定与性质定理证得AD平分∠PAC是解答的关键．
24．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
25．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 EF＝BE+FD ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；
（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．
【解答】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠3+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/30 13:40:08；用户：15297698232；邮箱：15297698232；学号：50382024