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北师大版七年级下册第四章 三角形1 认识三角形多媒体教学课件ppt
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这是一份北师大版七年级下册第四章 三角形1 认识三角形多媒体教学课件ppt，共59页。PPT课件主要包含了逐点学练，本节小结，作业提升，本节要点，学习流程，知识点，三角形的相关元素，∠AED，三角形内角和定理，直角三角形的性质等内容，欢迎下载使用。
三角形的相关元素三角形内角和定理直角三角形的性质三角形的三边关系三角形的三条重要线段
1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
特别解读●构成三角形的“条件”：1. 三条线段；2. 不在同一直线上；3. 首尾顺次相接.
三角形的表示法：用符号“△”表示三角形.如图4-1-1，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”.
字母的顺序可以自由安排
2. 三角形的“三元素”(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图4-1-1，点A，B，C 是△ ABC 的三个顶点，(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. 如图4-4-1，线段AB，BC，AC 是△ ABC 的三条边.
●三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如顶点A所对的边BC可用a表示.
(3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图4-1-1，∠ A，∠ B，∠ C 是△ ABC 的三个角.
如图4-1-2，在△ ABC 中，D，E 分别是BC，AC 上的点，连接BE，AD 交于点F.
解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.
解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.
(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来.
△BDF 的三个顶点是B，D，F， 三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD, ∠FDB，∠BFD.
(2)请写出△BDF 的三个顶点、三条边及三个内角.
解：以AB 为边的三角形有△ ABF，△ ABD，△ABE，△ABC.
(3)以AB 为边的三角形有哪些？
以∠ C 为内角的三角形有△ ACD，△ BCE，△ ACB.
(4)以∠ C 为内角的三角形有哪些？
方法点拨几何图形计数的常用方法：按序计数法；画图计数法；基本图形计数法；分类计数法.
1-1. 如图所示， 图中共有_____个三角形. 在△ ABE 中，AE 所对的角是_____， ∠ BAE 所对的边是_____ .AD 在△ ADE 中是________所对的边， 在△ ADC 中是_______所对的边.
1. 定理 三角形三个内角的和等于180° .几何语言：在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
2. 三角形内角和定理的说明思路思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图4-1-3 ①② .
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4-1-3 ③ .
特别解读1. 三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.2. 已知三角形中任意两角或两角的和可以计算出另一个角的度数.
∠ A，∠ B，∠ C 是△ ABC 的三个内角.
解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程求解.
(1)已知∠ A=40°，∠ B= ∠ C，求∠ B，∠ C 的度数；
解：设∠ B= ∠ C=m°.因为∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，所以40+m+m=180，解得m=70.所以∠ B= ∠ C=70°.
(2)已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B的度数；
解：设∠ A=x°，则∠ B=x°－16°.因为∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∠ C=54°，所以x+x－16+54=180，解得x=71.所以∠ A=71°，∠ B=55°.
三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解，当角之间存在数量关系或比例关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程求解.
2-1. 在△ ABC 中， 若∠A=60°，∠ B ∶∠C=2∶1，则∠ B等于( )A. 10° B. 40°C. 50° D. 80°
2-2. 如图， 在△ ABC中，∠ A=80°， ∠ B=40 °，D，E 分别是AB，AC 上的点， 且DE ∥ BC， 则∠ AED的度数是( )A. 40° B. 60°C. 80° D. 120°
2-3. 在△ ABC 中，∠ A=∠B+20°，∠ C=∠ A+50°，求△ ABC 各内角的度数.
解：因为∠A＝∠B＋20°，∠C＝ ∠A＋50°，所以∠C＝∠B＋20°＋50° ＝ ∠B＋70°.因为∠A＋ ∠B＋ ∠C ＝180°，所以∠B ＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.所以∠B＝30°. 所以∠A＝50°，∠C ＝100°.
1. 三角形按内角的大小分类锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形分类示意图如图4-1-4.
2. 直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC.注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt △的边”.
3. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余.几何语言： 在△ ABC 中， 因为∠ C=90 °， 所以∠ A+∠ B=90° .
特别解读1. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.2. 直角三角形的性质的理论依据是三角形的内角和定理.3. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，则可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小.
如图4-1-5，AB，CD 相交于点O，AC ⊥ CD 于点C，若∠ BOD=35°，则∠ A=______.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
解：因为∠ BOD=35°，所以∠ AOC=35° .又因为AC ⊥ CD，所以∠ ACD=90° .所以 ∠ A=90°－∠ AOC=90°－35° = 55° .
3-1. [中考·岳阳] 如图，已知l ∥ AB，CD ⊥ l 于点D，若∠ C=40 °， 则∠ 1 的度数是( )A. 30° B. 40°C. 50° D. 60°
1. 等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. (如图4-1-6)特别地：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
2. 三角形的三边关系
特别提醒◆应用三角形的三边关系时，必须用任意两边的和与第三边作比较，任意两边的差与第三边作比较.◆已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c 的取值范围是a－b
解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”进行判断.
解：因为1 cm+2 cm<3.5 cm，所以不能组成三角形.因为4 cm+5 cm=9 cm，所以不能组成三角形.因为5 cm+8 cm<15 cm，所以不能组成三角形.因为6 cm+8 cm>9 cm，所以能组成三角形.
用较短的两条线段的和与最长的线段作比较.
4-1. 如果一个三角形的两边长分别是6 cm 和8 cm， 周长是偶数，那么这样的三角形有( )A. 3 个 B. 4 个C. 5 个 D. 6 个
1. 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.
特别解读三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系：1. 两个三角形的面积相等；2. 两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的长度的差.
2. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点.
特别提醒 ◆角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.◆三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分.故三角形的角平分线都具有角平分线的性质.
3. 三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高所在的直线交于一点.几何语言：如图4-1-9，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.线段AD是△ABC中BC边上的高.
拓展三角形中三个重要的点：三条高所在直线的交点叫垂心,三条中线的交点叫重心,三条内角平分线的交点叫内心.
如图4-1-10，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.
解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长；
解：因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD.所以△ABD与△ADC的周长之差为(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5.
(2)若S△ABC=8，求S△ABE.
5-1. [中考·常州]如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是______．
如图4-1-11，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由.
解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.
解：DO是△DEF的角平分线.理由：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4. 所以DO是△DEF的角平分线.
6-1. 如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是( )A. 20° B. 30°C. 45° D. 60°
如图4-1-12，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.(1)△ABC的边BC上的高为_____，边AB上的高为______；
解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断；
解：△ABC是钝角三角形，由三角形高的定义和钝角三角形高的位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.
解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.
同一个三角形面积的两种表示.
7-1. 如图，在△ABC中，∠C=90°.(1)指出图中BC，AC边上的高.(2)画出AB边上的高CD.
解：BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.
(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来.(4)若BC=3，AC=4，AB=5，求AB边上的高CD的长.
解：图中有3个直角三角形，分别是直角三角形ABC，直角三角形ACD，直角三角形BCD.
三角形的相关元素三角形内角和定理直角三角形的性质三角形的三边关系三角形的三条重要线段
1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
特别解读●构成三角形的“条件”：1. 三条线段；2. 不在同一直线上；3. 首尾顺次相接.
三角形的表示法：用符号“△”表示三角形.如图4-1-1，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”.
字母的顺序可以自由安排
2. 三角形的“三元素”(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图4-1-1，点A，B，C 是△ ABC 的三个顶点，(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. 如图4-4-1，线段AB，BC，AC 是△ ABC 的三条边.
●三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如顶点A所对的边BC可用a表示.
(3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图4-1-1，∠ A，∠ B，∠ C 是△ ABC 的三个角.
如图4-1-2，在△ ABC 中，D，E 分别是BC，AC 上的点，连接BE，AD 交于点F.
解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.
解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.
(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来.
△BDF 的三个顶点是B，D，F， 三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD, ∠FDB，∠BFD.
(2)请写出△BDF 的三个顶点、三条边及三个内角.
解：以AB 为边的三角形有△ ABF，△ ABD，△ABE，△ABC.
(3)以AB 为边的三角形有哪些？
以∠ C 为内角的三角形有△ ACD，△ BCE，△ ACB.
(4)以∠ C 为内角的三角形有哪些？
方法点拨几何图形计数的常用方法：按序计数法；画图计数法；基本图形计数法；分类计数法.
1-1. 如图所示， 图中共有_____个三角形. 在△ ABE 中，AE 所对的角是_____， ∠ BAE 所对的边是_____ .AD 在△ ADE 中是________所对的边， 在△ ADC 中是_______所对的边.
1. 定理 三角形三个内角的和等于180° .几何语言：在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
2. 三角形内角和定理的说明思路思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图4-1-3 ①② .
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4-1-3 ③ .
特别解读1. 三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.2. 已知三角形中任意两角或两角的和可以计算出另一个角的度数.
∠ A，∠ B，∠ C 是△ ABC 的三个内角.
解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程求解.
(1)已知∠ A=40°，∠ B= ∠ C，求∠ B，∠ C 的度数；
解：设∠ B= ∠ C=m°.因为∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，所以40+m+m=180，解得m=70.所以∠ B= ∠ C=70°.
(2)已知∠A－∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B的度数；
解：设∠ A=x°，则∠ B=x°－16°.因为∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∠ C=54°，所以x+x－16+54=180，解得x=71.所以∠ A=71°，∠ B=55°.
三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解，当角之间存在数量关系或比例关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程求解.
2-1. 在△ ABC 中， 若∠A=60°，∠ B ∶∠C=2∶1，则∠ B等于( )A. 10° B. 40°C. 50° D. 80°
2-2. 如图， 在△ ABC中，∠ A=80°， ∠ B=40 °，D，E 分别是AB，AC 上的点， 且DE ∥ BC， 则∠ AED的度数是( )A. 40° B. 60°C. 80° D. 120°
2-3. 在△ ABC 中，∠ A=∠B+20°，∠ C=∠ A+50°，求△ ABC 各内角的度数.
解：因为∠A＝∠B＋20°，∠C＝ ∠A＋50°，所以∠C＝∠B＋20°＋50° ＝ ∠B＋70°.因为∠A＋ ∠B＋ ∠C ＝180°，所以∠B ＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.所以∠B＝30°. 所以∠A＝50°，∠C ＝100°.
1. 三角形按内角的大小分类锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形分类示意图如图4-1-4.
2. 直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC.注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt △的边”.
3. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余.几何语言： 在△ ABC 中， 因为∠ C=90 °， 所以∠ A+∠ B=90° .
特别解读1. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.2. 直角三角形的性质的理论依据是三角形的内角和定理.3. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，则可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小.
如图4-1-5，AB，CD 相交于点O，AC ⊥ CD 于点C，若∠ BOD=35°，则∠ A=______.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
解：因为∠ BOD=35°，所以∠ AOC=35° .又因为AC ⊥ CD，所以∠ ACD=90° .所以 ∠ A=90°－∠ AOC=90°－35° = 55° .
3-1. [中考·岳阳] 如图，已知l ∥ AB，CD ⊥ l 于点D，若∠ C=40 °， 则∠ 1 的度数是( )A. 30° B. 40°C. 50° D. 60°
1. 等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. (如图4-1-6)特别地：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
2. 三角形的三边关系
特别提醒◆应用三角形的三边关系时，必须用任意两边的和与第三边作比较，任意两边的差与第三边作比较.◆已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c 的取值范围是a－b
解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”进行判断.
解：因为1 cm+2 cm<3.5 cm，所以不能组成三角形.因为4 cm+5 cm=9 cm，所以不能组成三角形.因为5 cm+8 cm<15 cm，所以不能组成三角形.因为6 cm+8 cm>9 cm，所以能组成三角形.
用较短的两条线段的和与最长的线段作比较.
4-1. 如果一个三角形的两边长分别是6 cm 和8 cm， 周长是偶数，那么这样的三角形有( )A. 3 个 B. 4 个C. 5 个 D. 6 个
1. 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.
特别解读三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系：1. 两个三角形的面积相等；2. 两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的长度的差.
2. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点.
特别提醒 ◆角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.◆三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分.故三角形的角平分线都具有角平分线的性质.
3. 三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高所在的直线交于一点.几何语言：如图4-1-9，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.线段AD是△ABC中BC边上的高.
拓展三角形中三个重要的点：三条高所在直线的交点叫垂心,三条中线的交点叫重心,三条内角平分线的交点叫内心.
如图4-1-10，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.
解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长；
解：因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD.所以△ABD与△ADC的周长之差为(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5.
(2)若S△ABC=8，求S△ABE.
5-1. [中考·常州]如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是______．
如图4-1-11，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由.
解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.
解：DO是△DEF的角平分线.理由：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4. 所以DO是△DEF的角平分线.
6-1. 如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是( )A. 20° B. 30°C. 45° D. 60°
如图4-1-12，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.(1)△ABC的边BC上的高为_____，边AB上的高为______；
解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断；
解：△ABC是钝角三角形，由三角形高的定义和钝角三角形高的位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.
解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.
同一个三角形面积的两种表示.
7-1. 如图，在△ABC中，∠C=90°.(1)指出图中BC，AC边上的高.(2)画出AB边上的高CD.
解：BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.
(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来.(4)若BC=3，AC=4，AB=5，求AB边上的高CD的长.
解：图中有3个直角三角形，分别是直角三角形ABC，直角三角形ACD，直角三角形BCD.
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