2020年湖南省长沙市雨花区中考数学模拟试卷（4月份） 解析版


2020年湖南省长沙市雨花区中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列各数比﹣1大的数是（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．﹣3 D．0
2．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3 D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）据《人民日报》“9组数据看懂新中国成立70周年的沧桑巨变”一文报道，我国国民生产总值从1952年679亿元到2018年900309亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记数法表示数字900309（精确到万位）是（　　）
A．9×105 B．9.0×105 C．9.00×105 D．9.003×104
4．（3分）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列不等式的变形不正确的是（　　）
A．若a＞b，则a+3＞b+3 B．若﹣a＞﹣b，则a＜b
C．若﹣x＜y，则x＞﹣2y D．若﹣2x＞a，则x＞﹣a
6．（3分）下图是2月26日至3月10日14天期间全国新冠肺炎新增确诊病例统计图，根据图中信息，下列描述不正确的是（　　）

A．2月29日新增确诊病例数最多
B．3月1日新增确诊病例数较前日大幅下降
C．2月29日后新增确诊病例数持续下降
D．新增确诊病例数最少出现在3月9日
7．（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，那么∠APB的度数是（　　）

A．36° B．54° C．60° D．66°
8．（3分）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（　　）

A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）

A．40° B．50° C．65° D．25°
11．（3分）Rt△ABC，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD （如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（　　）

A．80 B．80或120 C．60或120 D．80或100
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
2
4
5
y
0.38
0.38
6
则（a+b+c）（+）值为（　　）
A．24 B．36 C．6 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣2的“负倒数”等于　 　．
14．（3分）小明记录了一周每天的零花钱（单位：元）如下：5.5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，则这组数据的中位数是　 　．
15．（3分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛　 　斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
16．（3分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　 　．
17．（3分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是　 　．

18．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有　 　（填序号）．

三、解答题（本大题满分66分）
19．（6分）计算：
（﹣1）0﹣2cos60°+（﹣）﹣1+（﹣1）2020．
20．（6分）先化简，再求值：÷a，中a＝﹣1．
21．（8分）某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
22．（8分）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点 D．
（1）当OP⊥AB时，求OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求AP．

23．（9分）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
24．（9分）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？

25．（10分）在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）组成一个开口向上的“月牙线”，相同的交点为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3）．
（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；
（2）求图中M，N两点的坐标；
（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．

26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD一侧作正方形ADEF（如图1）．
（1）如果AB＝AC，且点D在线段BC上运动，证明：CF⊥BD；
（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝4，CD＝2，求线段CP的长．


2020年湖南省长沙市雨花区中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【解答】解：因为﹣7，﹣5，﹣3都比﹣1小，
0比﹣1大，
所以比﹣1大的数是0．
故选：D．
2．【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
3．【解答】解：900309＝9.00309×105≈9.0×105．
故选：B．
4．【解答】解：∵ab＜0，且a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
5．【解答】解：A．若a＞b，不等式两边同时加上3得：a+3＞b+3，即A项正确，
B．若﹣a＞﹣b，不等式两边同时乘以﹣1得：a＜b，即B项正确，
C．若﹣x＜y，不等式两边同时乘以﹣2得：x＞﹣2y，即C项正确，
D．若﹣2x＞a，不等式两边同时乘以﹣得：x，即D项错误，
故选：D．
6．【解答】解：如图所示：
A、2月29日新增确诊病例数最多为579人，正确，不合题意；
B、3月1日新增确诊病例数较前日大幅下降，正确，不合题意；
C、2月29日后新增确诊病例数持续下降，3月4日，5日人数较3月3日增加，故错误，符合题意；
D、新增确诊病例数最少出现在3月9日，正确，不合题意；
故选：C．
7．【解答】解：∵多边形ABCDE正五边形，
∴∠EAB＝＝108°，
∵AP是∠EAB的角平分线，
∴∠PAB＝EAB＝54°，
∵∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°，
所以∠APB的度数是66°．
故选：D．
8．【解答】解：∵点C的坐标为（2，1），
∴点C′的坐标为（﹣2，1），
∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），
故选：A．
9．【解答】解：连接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中点．
∴BD＝2EF＝4
∵BC＝5，CD＝3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC＝＝
故选：B．

10．【解答】解：连接OD，

∵AO＝OD，
∴∠A＝∠ODA＝25°，
∵∠COD＝∠A+∠ADO，
∴∠COD＝50°，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠C+∠COD＝90°，
∴∠C＝40°，
故选：A．
11．【解答】解：当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，

∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∴∠1＝∠B＝50°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠1﹣∠B＝80°，
即m＝80°；
当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，

∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∵BD＝2CD，
∴DB′＝2CD，
∴∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠B′DC＝120°，
即m＝120°，
综上所述，m的值为80°或120°．
故选：B．
12．【解答】解：由表格数据可知抛物线的对称轴为x＝﹣＝＝3，
∴﹣＝6，
∴x＝1与x＝5时的函数值相等，
∴x＝1时，y＝6，即a+b+c＝6，
∴（a+b+c）（+）＝6×（﹣）＝6×6＝36．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．【解答】解：根据题意，得﹣2的负倒数等于．
故答案为：．
14．【解答】解：把这些数据从小到大排列为：4.5，4.5，5，5，5.5，5.5，5.5，最中间的数是5，
则这组数据的中位数是5．
故答案为：5．
15．【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
则，
故5x+x+y+5y＝5，
则x+y＝．
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
故答案为：．
16．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
17．【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连接OB，如图所示：
则正方形ABCD的对角线＝2OA＝4，OA⊥OB，OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
过点O作ON⊥AB于N，则NA＝AB＝，
∴圆的半径为，
∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；
故答案为：4π．

18．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝（）2＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；
∴CF＝EC＝CD，
∴CD＝4CF，
故③错误；
∴tan∠BAE＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴，，
∴，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
故答案为：②④．
三、解答题（本大题满分66分）
19．【解答】解：原式＝1﹣2×+（﹣3）+1，
＝1﹣1﹣3+1，
＝﹣2．
20．【解答】解：原式＝﹣
＝﹣1
＝
当 a＝﹣1时，
原式＝＝﹣
21．【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），
所以二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），
补全图形如下：


（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；

（3）树状图如图所示，

∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．
22．【解答】解：（1）∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），
∴AO＝2，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝＝4，
∵OP⊥AB，
∴＝，CD＝DP，
∴CD＝，
∴OP＝2CD＝；
（2）连接CP，
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP为等边三角形，
∴AP＝AC＝AB＝2．

23．【解答】解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有
﹣＝2，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
2x＝2×20＝40，
故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；
（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有
0.5y+1.2×≤40，
解得y≥32．
故至少应安排乙生产线生产32天；
（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13
＝180+1300
＝1480（万个），
1440万个＜1480万个，
故再满负荷生产13天能完成任务．
24．【解答】解：（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；
（2）根据题意画出图形，如图所示，

根据平行投影可知：
＝，DE＝0.3，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH是平行四边形，
∴FH＝DG＝0.2，
∵AE＝4.42，
∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵＝，
∴AB＝＝8（米）．
答：树的高度为8米．
（3）由（2）可知：
AF＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
25．【解答】解：（1）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2++1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；

（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，
当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，
∵m≠0，
∴x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝﹣6，x2＝2，
∵点M在点N的左边，
∴M（﹣6，0），N（2，0）；

（3）存在，理由如下：
如图2，连接AM，PO，PM，PA，
∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，
∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），
∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），
∴﹣12n＝﹣3，
∴n＝，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3，
∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3），
∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM
＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3
＝﹣t2﹣t
＝﹣（t+3）2+．
∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，
∴根据二次函数的图象和性质知，当m＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为．


26．【解答】（1）证明：∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF＝90°，AD＝AF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，
∴∠B＝∠ACF，
∴∠B+∠BCA＝90°，
∴∠BCA+∠ACF＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；

（2）解：如图2所示：AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
则∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
在△GAD和△CAF中，，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∴CF⊥BD；

（3）解：过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，如图3所示：
∵∠BCA＝45°，
∴△ACQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝CQ＝AC＝2．
∴DQ＝CQ﹣CD＝2﹣2＝2﹣2，
∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°，
∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PDC，
∵∠AQD＝∠DCP＝90°，
∴△DCP∽△AQD，
∴＝，即，
解得：CP＝2﹣；
②点D在线段BC延长线上运动时，如图4所示：
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝2，
∴DQ＝AQ+CD＝2+2．
∵AQ⊥BC于Q，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴＝，即，
解得：CP＝+2，
综上所述，线段CP的长为2﹣或2+．