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人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集优秀导学案
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集优秀导学案，共7页。
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
知识点1 等式的性质
1.等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
2.等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.
知识点2 恒等式
1.恒等式：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
2.“十字相乘法”
对于给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则
x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b).
注意：已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示：
其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C.
知识点3 方程的解集
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值. 一般地，把一个方程的所有解组成的集合称为这个方程的解集.
探究一 等式性质的应用
(1)“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，
前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
A [设“●”“■”“▲”的质量分别为由题图可知，2x＝y＋z①，x＋y＝z②，②两边都加上y，得x＋2y＝y＋z③，由①③，得2x＝x＋2y，所以x＝2y，代入②，得z＝3y，因为x＋z＝2y＋3y＝5y，所以“？”处应放“■”5个.]
(2)下列变形一定正确的是( )
A.若ax＝bx，则a＝b
B.若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1
C.若x＝y，则x－5＝5－y
D.若x＝y，则eq \f(x,a2＋1)＝eq \f(y,a2＋1)
D [等式的性质2中两边同除以一个不为0的数，等式成立，应找不为0的式子，而A、B中字母都可取0，而D中a2＋1>0，故D正确.]
[跟踪训练1] 将等式变形，过程如下：
因为3a－2b＝2a－2b[来源:Z&xx&k.Cm]
所以3a＝2a (第一步)
所以3＝2 (第二步)
上述过程中，第一步的依据是________；第二步得出错误的结论，其原因是__________.
性质1 a＝0 [第一步的依据是等式的性质1.第二步得出错误的结论，其原因是a＝0. ]
探究二 恒等式问题
分解因式：
(1)x2－3x＋2; (2)x2＋4x－12；
(3)x2－(a＋b)xy＋aby2; (4) xy－1＋x－y.
解 (1)如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).
图1 图2 图3 图4
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示(如图2所示).
(2)由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).
(3)由图4，得 x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by)
(4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y＋1) (如图5所示).
[来源:]
图5
[方法总结]
因式分解的常用方法
1.“十字相乘法”，此法适用于二次项系数和常数项分解交叉相乘结果为一次项系数的二次三项式因式分解问题.
2.提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.
3.公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.
[跟踪训练2] 给出三个多项式：a2＋3ab－2b2，b2－3ab，ab＋6b2，任请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式.
解 根据平方差公式，可得答案.
(a2＋3ab－2b2)＋(b2－3ab)
＝a2＋3ab－2b2＋b2－3ab
＝a2－b2＝(a＋b)(a－b).
探究三 方程的解集
已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，
(1)求代数式200(m＋x)(x－2m)＋9m的值；
(2)求关于y的方程m|y－1|＝x的解.
解 (1)依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝1,m＋1≠0，))所以m＝1
所以原方程为－2x＋8＝0，所以x＝4.
将m＝1，x＝4代入
200(m＋x)(x－2m)＋9m＝200(1＋4)(4－2)＋9＝2009.
(2)因为m＝1，x＝4，
所以m|y－1|＝x可化为|y－1|＝4，
所以y－1＝±4，所以y＝5或y＝－3.
[方法总结]
先找准突破口，求出m，再层层递进，从而求x及代数式与方程的解. ,
[跟踪训练3] 能不能从(a＋3)x＝b－1得到x＝eq \f(b－1,a＋3)，为什么？反之，能不能从x＝eq \f(b－1,a＋3)得到等式(a＋3)x＝b－1，为什么？
解 当a＝－3时，从(a＋3)x＝b－1不能得到x＝eq \f(b－1,a＋3)，因为0不能为除数，而从x＝eq \f(b－1,a＋3)可以得到等式(a＋3)x＝b－1，这是根据等式的性质2，且从x＝eq \f(b－1,a＋3)可知，a＋3≠0.
1.在利用等式的基本性质时，经常没注意性质中两边不能同除一个为0的数，而式子往往又可能为0，故导致错误的发生.
2.掌握“十字相乘法”对二次三项式因式分解的方法
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.
课时作业(九) 等式的性质与方程的解集
1.下列等式变形不正确的是( )
A.若6x＝5x－2，则x＝2
B.若6x＝5x－2，则x＝－2
C.若3x＝x＋4，则2x＝4
D.若3x＝x＋4，则x＝2
A [对B，等式两边同减去5x；对C，等式两边同减去x；对D，等式两边同减去x后再除以2.]
2.下列是等式eq \f(2x＋1,3)－1＝x的变形，其中是根据等式的性质2变形的是( )
A.eq \f(2x＋1,3)＝x＋1 B.eq \f(2x＋1,3)－x＝1
C.eq \f(2x,3)＋eq \f(1,3)－1＝x D.2x＋1－3＝3x
D [根据等式的性质2，等式两边同乘3，得2x＋1－3＝3x.]
3.下列各式分解因式正确的是( )
A. x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2
B.2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2
C.2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)
D.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y)
A [x2＋6xy＋9y2＝x2＋2·x·3y＋(3y)2＝(x＋3y)2.]
4.解方程－eq \f(1,4)x＝6，得x＝－24，给出下列说法：①方程两边同时乘－eq \f(1,4)；②方程两边同时乘－4；③方程两边同时除以－eq \f(1,4)；④方程两边同时除以－4.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B [将方程两边同时乘－4，得x＝6×(－4)＝－24；将方程两边同时除以－eq \f(1,4)，得x＝6÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－24，所以②③正确.]
5.因式分解：ax2－7ax＋6a＝_____________.
a(x－1)(x－6) [原式＝a(x2－7x＋6)＝a(x－1)(x－6).]
6.已知等式2a－3＝2b＋1，请你猜想a与b之间的大小关系.
解 a大于b，理由如下：
等式两边加3，得2a＝2b＋4，
等式两边减2b，得2a－2b＝4，
等式两边除以2，得a－b＝2，
因为a与b的差是正数，所以a大于b.
7.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，请将原多项式分解因式.
解 设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a、b、c均为常数，且abc≠0).[来源:Z|xx|k.Cm]
因为2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18，
所以a＝2，c＝18；
又因为2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16，
所以b＝－12.
所以原多项式为2x2－12x＋18，将它分解因式，
得2x2－12x＋18＝2(x2－6x＋9)＝2(x－3)2.
1.对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A.被8整除 B.被m整除
C.被(m－1)整除 D.被(2m－1)整除
A [(4m＋5)2－9＝(4m＋5)2－32＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1).因为m是整数，而(m＋2)和(2m＋1)都是随着m的变化而变化的数，所以该多项式肯定能被8整除.]
2.下面是一个被墨水污染过的方程：2x－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)x－■，答案显示此方程的解是x＝eq \f(5,3)，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是( )
A.2 B.－2
C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
B [将x＝eq \f(5,3)代入方程，得2×eq \f(5,3)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×eq \f(5,3)－■，解得■＝－2.]
3.小明学习了等式的性质后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程4x－2＝3x－2，等式的两边加上2，得4x＝3x，然后等式的两边再除以x，得4＝3.”
(1)请你想一想，小明的说法对吗？为什么？
(2)你能用等式的性质求出方程4x－2＝3x－2的解吗？
解 (1)不对.因为在等式4x＝3x的两边除以x时，没有注意到x刚好为0.
(2)方程两边加2，得4x＝3x，方程两边减3x，得x＝0.
4.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等.
如“2＋2”分法：ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：x2－y2－x－y；
(2)分解因式：9m2－4x2＋4xy－y2；[来源:]
(3)分解因式：4a2＋4a－4a2b2－b2－4ab2＋1.
解 (1)x2－y2－x－y＝(x2－y2)－(x＋y)
＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1).
(2)9m2－4x2＋4xy－y2
＝9m2－(4x2－4xy＋y2)＝(3m)2－(2x－y)2
＝(3m＋2x－y)(3m－2x＋y).
(3)4a2＋4a－4a2b2－b2－4ab2＋1
＝(2a＋1)2－b2(2a＋1)2＝(2a＋1)2(1＋b)(1－b).
5.(拓广探索)观察李强同学把多项式(x2＋6x＋10)(x2＋6x＋8)＋1分解因式的过程：
解 设x2＋6x＝y，则
原式＝(y＋10)(y＋8)＋1＝y2＋18y＋81
＝(y＋9)2＝(x2＋6x＋9)2.
(1)回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；
(2)仿照上题解法，分解因式：(x2＋4x＋1)(x2＋4x－3)＋4.
解 (1)这位同学的因式分解不彻底，
原式＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.
(2)设x2＋4x＝y，则原式＝(y＋1)(y－3)＋4
＝y2－2y＋1＝(y－1)2＝(x2＋4x－1)2.
课程标准
学科素养
1.通过对比，理解等式和不等式的共性与差异.
通过对等式性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
2.梳理等式的性质.
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
知识点1 等式的性质
1.等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
2.等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.
知识点2 恒等式
1.恒等式：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
2.“十字相乘法”
对于给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则
x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b).
注意：已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示：
其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C.
知识点3 方程的解集
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值. 一般地，把一个方程的所有解组成的集合称为这个方程的解集.
探究一 等式性质的应用
(1)“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，
前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
A [设“●”“■”“▲”的质量分别为由题图可知，2x＝y＋z①，x＋y＝z②，②两边都加上y，得x＋2y＝y＋z③，由①③，得2x＝x＋2y，所以x＝2y，代入②，得z＝3y，因为x＋z＝2y＋3y＝5y，所以“？”处应放“■”5个.]
(2)下列变形一定正确的是( )
A.若ax＝bx，则a＝b
B.若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1
C.若x＝y，则x－5＝5－y
D.若x＝y，则eq \f(x,a2＋1)＝eq \f(y,a2＋1)
D [等式的性质2中两边同除以一个不为0的数，等式成立，应找不为0的式子，而A、B中字母都可取0，而D中a2＋1>0，故D正确.]
[跟踪训练1] 将等式变形，过程如下：
因为3a－2b＝2a－2b[来源:Z&xx&k.Cm]
所以3a＝2a (第一步)
所以3＝2 (第二步)
上述过程中，第一步的依据是________；第二步得出错误的结论，其原因是__________.
性质1 a＝0 [第一步的依据是等式的性质1.第二步得出错误的结论，其原因是a＝0. ]
探究二 恒等式问题
分解因式：
(1)x2－3x＋2; (2)x2＋4x－12；
(3)x2－(a＋b)xy＋aby2; (4) xy－1＋x－y.
解 (1)如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).
图1 图2 图3 图4
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示(如图2所示).
(2)由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).
(3)由图4，得 x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by)
(4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y＋1) (如图5所示).
[来源:]
图5
[方法总结]
因式分解的常用方法
1.“十字相乘法”，此法适用于二次项系数和常数项分解交叉相乘结果为一次项系数的二次三项式因式分解问题.
2.提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.
3.公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.
[跟踪训练2] 给出三个多项式：a2＋3ab－2b2，b2－3ab，ab＋6b2，任请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式.
解 根据平方差公式，可得答案.
(a2＋3ab－2b2)＋(b2－3ab)
＝a2＋3ab－2b2＋b2－3ab
＝a2－b2＝(a＋b)(a－b).
探究三 方程的解集
已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，
(1)求代数式200(m＋x)(x－2m)＋9m的值；
(2)求关于y的方程m|y－1|＝x的解.
解 (1)依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝1,m＋1≠0，))所以m＝1
所以原方程为－2x＋8＝0，所以x＝4.
将m＝1，x＝4代入
200(m＋x)(x－2m)＋9m＝200(1＋4)(4－2)＋9＝2009.
(2)因为m＝1，x＝4，
所以m|y－1|＝x可化为|y－1|＝4，
所以y－1＝±4，所以y＝5或y＝－3.
[方法总结]
先找准突破口，求出m，再层层递进，从而求x及代数式与方程的解. ,
[跟踪训练3] 能不能从(a＋3)x＝b－1得到x＝eq \f(b－1,a＋3)，为什么？反之，能不能从x＝eq \f(b－1,a＋3)得到等式(a＋3)x＝b－1，为什么？
解 当a＝－3时，从(a＋3)x＝b－1不能得到x＝eq \f(b－1,a＋3)，因为0不能为除数，而从x＝eq \f(b－1,a＋3)可以得到等式(a＋3)x＝b－1，这是根据等式的性质2，且从x＝eq \f(b－1,a＋3)可知，a＋3≠0.
1.在利用等式的基本性质时，经常没注意性质中两边不能同除一个为0的数，而式子往往又可能为0，故导致错误的发生.
2.掌握“十字相乘法”对二次三项式因式分解的方法
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.
课时作业(九) 等式的性质与方程的解集
1.下列等式变形不正确的是( )
A.若6x＝5x－2，则x＝2
B.若6x＝5x－2，则x＝－2
C.若3x＝x＋4，则2x＝4
D.若3x＝x＋4，则x＝2
A [对B，等式两边同减去5x；对C，等式两边同减去x；对D，等式两边同减去x后再除以2.]
2.下列是等式eq \f(2x＋1,3)－1＝x的变形，其中是根据等式的性质2变形的是( )
A.eq \f(2x＋1,3)＝x＋1 B.eq \f(2x＋1,3)－x＝1
C.eq \f(2x,3)＋eq \f(1,3)－1＝x D.2x＋1－3＝3x
D [根据等式的性质2，等式两边同乘3，得2x＋1－3＝3x.]
3.下列各式分解因式正确的是( )
A. x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2
B.2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2
C.2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)
D.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y)
A [x2＋6xy＋9y2＝x2＋2·x·3y＋(3y)2＝(x＋3y)2.]
4.解方程－eq \f(1,4)x＝6，得x＝－24，给出下列说法：①方程两边同时乘－eq \f(1,4)；②方程两边同时乘－4；③方程两边同时除以－eq \f(1,4)；④方程两边同时除以－4.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B [将方程两边同时乘－4，得x＝6×(－4)＝－24；将方程两边同时除以－eq \f(1,4)，得x＝6÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－24，所以②③正确.]
5.因式分解：ax2－7ax＋6a＝_____________.
a(x－1)(x－6) [原式＝a(x2－7x＋6)＝a(x－1)(x－6).]
6.已知等式2a－3＝2b＋1，请你猜想a与b之间的大小关系.
解 a大于b，理由如下：
等式两边加3，得2a＝2b＋4，
等式两边减2b，得2a－2b＝4，
等式两边除以2，得a－b＝2，
因为a与b的差是正数，所以a大于b.
7.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，请将原多项式分解因式.
解 设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a、b、c均为常数，且abc≠0).[来源:Z|xx|k.Cm]
因为2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18，
所以a＝2，c＝18；
又因为2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16，
所以b＝－12.
所以原多项式为2x2－12x＋18，将它分解因式，
得2x2－12x＋18＝2(x2－6x＋9)＝2(x－3)2.
1.对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A.被8整除 B.被m整除
C.被(m－1)整除 D.被(2m－1)整除
A [(4m＋5)2－9＝(4m＋5)2－32＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1).因为m是整数，而(m＋2)和(2m＋1)都是随着m的变化而变化的数，所以该多项式肯定能被8整除.]
2.下面是一个被墨水污染过的方程：2x－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)x－■，答案显示此方程的解是x＝eq \f(5,3)，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是( )
A.2 B.－2
C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
B [将x＝eq \f(5,3)代入方程，得2×eq \f(5,3)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×eq \f(5,3)－■，解得■＝－2.]
3.小明学习了等式的性质后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程4x－2＝3x－2，等式的两边加上2，得4x＝3x，然后等式的两边再除以x，得4＝3.”
(1)请你想一想，小明的说法对吗？为什么？
(2)你能用等式的性质求出方程4x－2＝3x－2的解吗？
解 (1)不对.因为在等式4x＝3x的两边除以x时，没有注意到x刚好为0.
(2)方程两边加2，得4x＝3x，方程两边减3x，得x＝0.
4.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等.
如“2＋2”分法：ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：x2－y2－x－y；
(2)分解因式：9m2－4x2＋4xy－y2；[来源:]
(3)分解因式：4a2＋4a－4a2b2－b2－4ab2＋1.
解 (1)x2－y2－x－y＝(x2－y2)－(x＋y)
＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1).
(2)9m2－4x2＋4xy－y2
＝9m2－(4x2－4xy＋y2)＝(3m)2－(2x－y)2
＝(3m＋2x－y)(3m－2x＋y).
(3)4a2＋4a－4a2b2－b2－4ab2＋1
＝(2a＋1)2－b2(2a＋1)2＝(2a＋1)2(1＋b)(1－b).
5.(拓广探索)观察李强同学把多项式(x2＋6x＋10)(x2＋6x＋8)＋1分解因式的过程：
解 设x2＋6x＝y，则
原式＝(y＋10)(y＋8)＋1＝y2＋18y＋81
＝(y＋9)2＝(x2＋6x＋9)2.
(1)回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；
(2)仿照上题解法，分解因式：(x2＋4x＋1)(x2＋4x－3)＋4.
解 (1)这位同学的因式分解不彻底，
原式＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.
(2)设x2＋4x＝y，则原式＝(y＋1)(y－3)＋4
＝y2－2y＋1＝(y－1)2＝(x2＋4x－1)2.
课程标准
学科素养
1.通过对比，理解等式和不等式的共性与差异.
通过对等式性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
2.梳理等式的性质.
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