北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率2 古典概型2.2 古典概型的应用公开课教案

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2.2 古典概型的应用(一)














互斥事件的概率加法公式


(1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．特别地，P(A)＝1－P( eq \x\t(A))．


(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．


思考：(1)设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A＋B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？


[提示] 不一定．当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A＋B)≠P(A)＋P(B).


(2)从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记 “其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件 eq \x\t(A)是什么？


[提示] 事件A的对立事件 eq \x\t(A)是“其中至多有2名女同学”．





1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )


A．0.42 B．0.28


C．0.3 D．0.7


C [∵“摸出黑球”是“摸出红球或摸出白球”的对立事件，∴“摸出黑球”的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.]


2．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是 eq \f(1,4)，乙队胜的概率是 eq \f(1,3)，则甲队胜的概率是________．


eq \f(5,12) [记甲队胜为事件A，


则P(A)＝1－ eq \f(1,4)－ eq \f(1,3)＝ eq \f(5,12).]


3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 eq \f(3,7)，乙夺得冠军的概率为 eq \f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．


eq \f(19,28) [由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 eq \f(3,7)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(19,28).]








互斥事件的概率加法公式及应用


【例1】 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：


(1)取出1球是红球或黑球的概率；


(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．


[解] 法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．


∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝ eq \f(9,12)＝ eq \f(3,4).


(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为 eq \f(5＋4＋2,12)＝ eq \f(11,12).


法二：(利用互斥事件求概率)


记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，


A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝ eq \f(5,12)，P(A2)＝ eq \f(4,12)，P(A3)＝ eq \f(2,12)，P(A4)＝ eq \f(1,12).


根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得


(1)取出1球为红球或黑球的概率为


P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝ eq \f(5,12)＋ eq \f(4,12)＝ eq \f(3,4).


(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为


P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝ eq \f(5,12)＋ eq \f(4,12)＋ eq \f(2,12)＝ eq \f(11,12).


法三：(利用对立事件求概率)


(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为


P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－ eq \f(2,12)－ eq \f(1,12)＝ eq \f(9,12)＝ eq \f(3,4).


(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－ eq \f(1,12)＝ eq \f(11,12).





概率公式的应用


(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．


(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：


(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；


(2)小王数学考试及格的概率．


[解] 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．


(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，


所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.


(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，


所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.





有序和无序型问题


【例2】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．


(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；


(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．


[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．


用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，


所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．


因为事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝ eq \f(4,6)＝ eq \f(2,3).


(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)＝ eq \f(4,9).





解决有序和无序问题应注意两点


(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．


(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.


(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；


(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．


[解] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3).


(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．


又满足条件n≥m＋2的有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个．


所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝ eq \f(3,16)，


故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－ eq \f(3,16)＝ eq \f(13,16).





较复杂的古典概型问题


[探究问题]


1．计算样本点的个数的方法包含哪些？


提示：列举法，列表法和树状图法等．


2．列表法和树状图法分别适用于什么情形？


提示：列表法适合于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法；树状图法适合于较复杂的试验的题目．


【例3】 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．


(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；


(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．


[思路点拨] eq \x(利用树状图法列举事件)→ eq \x(计算样本点个数)→ eq \x(利用古典概型概率公式计算概率)


[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：





如上图所示，本题中的样本点的总数为24.


(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝ eq \f(1,24).


(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝ eq \f(9,24)＝ eq \f(3,8).





1．求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．


[解] 设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝ eq \f(8,24)＝ eq \f(1,3).


2．求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．


[解] 法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件E包含6个样本点，则D＝A＋E, 且事件A与E为互斥事件，所以P(D)＝P(A＋E)＝P(A)＋P(E)＝ eq \f(1,24)＋ eq \f(6,24)＝ eq \f(7,24).


法二：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则 eq \x\t(D)＝B＋C，所以P(D)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－ eq \f(3,8)－ eq \f(1,3)＝ eq \f(7,24).





1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．


2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．











1．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).


2．求复杂事件的概率通常有两种方法：


(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；


(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( )


(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件．( )


(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．( )


[提示] (1)错误．只有当A与B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.


(2)错误．


(3)错误．事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩在60分以下”．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )


A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.1


B [乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.]


3．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是________．





0.10 [令“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.]


4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，求lg2xy＝1的概率．


[解] 由lg2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝6))共3种情况，所以P＝ eq \f(3,36)＝ eq \f(1,12).学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解互斥事件概率加法公式、对立事件的概率公式，并能应用公式解决应用问题．(重点、易混点)


2．掌握较复杂的古典概型的概率计算问题的解法．(重点、难点)
1．通过对互斥事件概率加法公式、对立事件的概率公式的推导和应用，培养数学抽象素养．


2．通过解决较复杂的古典概型的概率问题，培养数学建模素养．