高中数学北师大版 (2019)必修第一册4 事件的独立性精品教案

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第一册4 事件的独立性精品教案，共7页。

§4 事件的独立性

相互独立事件的概念和性质

思考：1.事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？

提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．

2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？

提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).

1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( )

A．A与B，A与C均相互独立

B．A 与B相互独立，A与C互斥

C．A与B，A与C均互斥

D．A与B互斥，A与C相互独立

A [由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.]

2．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是( )

A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96

C [∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴ 目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.]

3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )

A． eq \f(5,24) B． eq \f(5,12) C． eq \f(1,24) D． eq \f(3,8)

C [两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(9,36)× eq \f(6,36)＝ eq \f(1,24).]

相互独立事件的判断

【例1】判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．

(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”；

(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．

[解] (1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．

(2)样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，

∴P(A)＝ eq \f(3,6)＝ eq \f(1,2)，P(B)＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3)，P(AB)＝ eq \f(1,6)＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B).

故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．

判断事件是否相互独立的方法

(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B).

(2)利用性质：A与B相互独立，则A与 eq \x\t(B)， eq \x\t(A)与B， eq \x\t(A)与 eq \x\t(B)也都相互独立．

(3)有时通过计算P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件相互独立．

eq \a\vs4\al([跟进训练])

1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )

A．相互独立但不互斥

B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥

D．既不相互独立也不互斥

A [对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．]

求相互独立事件的概率

【例2】在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 eq \f(1,3)，甲胜丙的概率为 eq \f(1,4)，乙胜丙的概率为 eq \f(1,3).

(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．

[解] (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝ eq \f(1,18).

(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B＋C，

则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋ eq \f(1,3)× eq \f(1,4)＝ eq \f(5,12)＋ eq \f(1,12)＝ eq \f(1,2).

用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：

(1)用恰当的字母表示题中有关事件；

(2)根据题设条件，分析事件间的关系；

(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；

(4)利用乘法公式计算概率．

eq \a\vs4\al([跟进训练])

2．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：

(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；

(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．

[解] 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；

记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；

记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；

记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．

(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.

(2)易知D＝(A eq \x\t(B))∪( eq \x\t(A)B)，则P(D)＝P(A eq \x\t(B))＋P( eq \x\t(A)B)

＝P(A)·P( eq \x\t(B))＋P( eq \x\t(A))P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.

相互独立事件的概率的综合应用

[探究问题]

1．若事件A与B相互独立，则A与 eq \x\t(B)， eq \x\t(A)与B， eq \x\t(A)与 eq \x\t(B)是什么关系？

提示：若事件A与B相互独立，则A与 eq \x\t(B)， eq \x\t(A)与B， eq \x\t(A)与 eq \x\t(B)也相互独立．

2．“事件A与B同时发生”的对立事件是什么？

提示：事件A或B不发生．

【例3】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 eq \f(1,3)和 eq \f(1,4)，求：

(1)两个人都译出密码的概率；

(2)两个人都译不出密码的概率；

(3)恰有1个人译出密码的概率．

[解] (1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝ eq \f(1,3)，P(B)＝ eq \f(1,4).

(1)2个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,4)＝ eq \f(1,12).

(2)两个人都译不出密码的概率为

P( eq \a\vs4\al(\x\t(A)) eq \a\vs4\al(\x\t(B)))＝P( eq \x\t(A))·P( eq \x\t(B))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝ eq \f(1,2).

(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为

P(A eq \x\t(B)＋ eq \x\t(A)B)＝P(A eq \x\t(B))＋P( eq \x\t(A)B)

＝P(A)P( eq \x\t(B))＋P( eq \x\t(A))P(B)＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))× eq \f(1,4)＝ eq \f(5,12).

1．本例条件不变，求至多1个人译出密码的概率．

[解] “至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P（AB）＝1－P（A）P（B）＝1－eq \f(1,3)×\f(1,4)＝\f(11,12)．

2.本例条件不变，求至少1个人译出密码的概率．

[解] “至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1－Peq （\a\vs4\al(\x\t(A))\a\vs4\al(\x\t(B))）＝1－Peq （\x\t(A)）P（\x\t(B)）＝1－\f(2,3)×\f(3,4)＝\f(1,2)．

事件间的独立性关系,已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P（A），P（B），则有

1．相互独立事件与互斥事件的区别

2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )

(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )

(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．( )

[提示] (1)正确．不可能事件的发生与任何一个事件的发生都没有影响．

(2)正确．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．

(3)错误．因为两个事件互斥，所以二者不能同时发生，所以这两个事件不相互独立．

[答案] (1)√ (2)√ (3)×

2．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是( )

A．互斥事件 B．相互独立事件

C．对立事件 D．不相互独立事件

D [由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件．]

3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．

eq \f(1,2) [由题意知P＝ eq \f(8,8＋4)× eq \f(6,6＋6)＋ eq \f(4,8＋4)× eq \f(6,6＋6)＝ eq \f(1,2).]

4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为 eq \f(4,5)和 eq \f(3,4).在同一时间内，求：

(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；

(2)至少有一个气象台预报准确的概率．

[解] 记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.

(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(4,5)× eq \f(3,4)＝ eq \f(3,5).

(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P( eq \a\vs4\al(\x\t(A)) eq \a\vs4\al(\x\t(B)))＝1－P( eq \x\t(A))P( eq \x\t(B))＝1－ eq \f(1,5)× eq \f(1,4)＝ eq \f(19,20).

学习目标
核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(难点，易混点)

2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(重点)
1．通过对事件独立性概念的学习，培养数学抽象素养．

2．通过计算相互独立事件的概率，培养数学运算素养．
定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件
计算

公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)
性质
如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立．即当事件A，B相互独立时，则事件A与事件 eq \x\t(B)相互独立，事件 eq \x\t(A)与事件B相互独立，事件 eq \x\t(A)与事件 eq \x\t(B)相互独立
事件
表示
概率
A，B同时发生
AB
P（A）P（B）
A，B都不发生
eq \x\t(A)\a\vs4\al(\x\t(B))
P（eq \x\t(A)）P（eq \x\t(B)）
A，B恰有一个发生
（Aeq \x\t(B)）∪（eq \x\t(A)B）
P（A）P（eq \x\t(B)）＋P（eq \x\t(A)）P（B）
A，B中至少有一个发生
（Aeq \x\t(B)）∪（eq \x\t(A)B）∪（AB）
P（A）P（eq \x\t(B)）＋P（eq \x\t(A)）·P（B）＋P（A）P（B）
A，B中至多有一个发生
（Aeq \x\t(B)）∪（\x\t(A)B）∪（eq \a\vs4\al(\x\t(A))\a\vs4\al(\x\t(B))）
P（A）P（eq \x\t(B)）＋P（eq \x\t(A)）·P（B）＋P（eq \x\t(A)）P（eq \x\t(B)）
相互独立事件
互斥事件
判断

方法
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，即A∩B＝∅
概率

公式
A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)P(B)
若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立