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高中北师大版 (2019)4 事件的独立性教学设计
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这是一份高中北师大版 (2019)4 事件的独立性教学设计，共9页。教案主要包含了整体概览，探索新知，形成定义，初步应用，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
7.4事件的独立性
教学目标
1、结合实例，理解两个随机事件独立的意义，并会判断两个事件的独立性，培养学生数学抽象的数学素养；
2、理解概率的乘法公式，提升学生数学逻辑推理的数学素养；
3、掌握并综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式解题，提升学生数学运算的数学素养.
教学重难点
教学重点：独立事件的定义、概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式
教学难点：判断两个随机事件的独立性，互斥和独立的区别与联系
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：本节课是概率的最后一节内容，安排在学习了古典概型，频率与概率的关系之后.随机事件的独立性是概率论非常重要的概念之一，它的引进极大地推动了概率论的发展，概率论中很多重要的结论大都是在独立论地假定下获得的.对于高中阶段的概率知识来说，独立性的概念的引入，一方面很大程度上简化了多个事件同时发生的概率的求法，另一方面也为后续二项分布等的介绍做铺垫.不过，需要注意的是，随机事件的独立性是一个比较抽象的概念，要对独立性产生准确理解，并不是一件容易的事.本节课的教学重点是通过实例，让学生理解两个随机事件的独立性的意义，培养学生数学抽象的核心素养，并掌握相互独立事件的概率乘法公式，运用公式求事件的概率，提升数学运算，逻辑推理的核心素养.
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知
1.新课导入
五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天.
记事件：甲选的是第一天，：乙选的是第一天.
（1）直觉上，你觉得事件是否发生会影响事件发生的概率吗？
（2）求出，，的值，观察这三个值之间的关系.
追问：
（1）如果用表示甲选的是第天，乙选的是第天，请写出样本空间；
（2）请分别写出事件、事件以及事件包含的样本点；
（3）请分别算出，，的值.
师生活动：学生自主解答，尝试给出答案.
预设的答案：
如果用表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，则样本空间可以记为：
共包含6个样本点.
又因为：
因此，可以算出：
设计意图：给出了学生直观上来理解独立性的情景，因为甲、乙都是随机选择，因此他们事先是没有商量的，从而可以知道事件是否发生是不会影响事件是否发生的概率.
三、形成定义
一般地，事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即
.
事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
（1）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立.
（2）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．则
独立事件的概率乘法公式
若A与B相互独立，则，同时，，
;
(2)若两两独立，则.
是判断A与B相互独立的依据，
必然事件与任意事件A独立，因为且因为
不可能事件与任意事件A独立，因为且因此.
四、初步应用
例1. 甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求：
（1）两人都译出密码的概率；
（2）两人都译不出密码的概率；
（3）恰有一人译出密码的概率；
（4）至多有一人译出密码的概率；
（5）至少有一人译出密码的概率.
师生活动：学生自主解答，尝试给出答案，教师指导
预设的答案：
解：记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P（A）= ，P（B）=
（1）设事件C表示“两人都译出密码”，则C=AB.因为A与B相互独立，所以
即两人都译出密码的概率为
（2）设事件D表示“两人都译不出密码”，则.因为A与B相互独立，所以与也相互独立.因此，
即两人都译不出密码的概率为
（3）设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以，且两个事件与彼此互斥，因此
即恰有一人译出密码的概率为
（4）设事件F表示“至多有一人译出密码”.设事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以F= ，
即至多有一人译出密码的概率为
（5）设事件G表示“至少有一人译出密码”，事件G的对立事件为“两人都译不出密码”，所以G=，因此
即至少有一人译出密码的概率为
设计意图：让学生体会相互独立的概念.要让学生体会到利用独立性解题带来的便利：有了独立性之后，可以不写出二维的样本空间，只要考查两个一维样本空间就可以了.
例2.已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8
（1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
（2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案.
预设的答案：（1）记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以
即都命中的概率为0.56
（2）记事件：甲第i次投中，其中，则
恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即
注意到与相互独立，且互斥，因此：
设计意图：通过例题的设置，让学生明确两个事件相互独立的概念可以推广到有限个事件.
例3.某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选择了一个答案，且每道题他猜对的概率均为
（1）求该同学三道题都猜对的概率；
（2）求该同学至少猜对一道题的概率.
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案.
预设的答案：
记事件 ：该同学第i题猜对了，其中，则
（1）三道题都猜对可以表示为，又因为相互独立，因此：
（2）“至少猜对一道题“的对立事件时“三道都猜错”，后者可以表示为，所以：
该同学至少猜对一道题的概率是：
设计意图：多个事件相互独立的概念是比较抽象的，主要利用独立性去求解相关的概率.问题（2）既可以利用对立事件求解，也可以分成猜对一道题、猜对两道题、猜对三道题三种情况求解，培养学生从正难则反思想和分类讨论能力.
五、课堂小结
问题5：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
随机事件的独立性定义是什么？
独立事件的概率乘法公式是什么？
练习与作业：教科书练习；
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）有两种方法判断两事件是否具有独立性
①定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
②公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
（2）①若A与B相互独立，则，同时，，
;
②若两两独立，则.
③求P(A＋B)时同样应注意事件A、B是否互斥，对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用P(eq \x\t(A))＝1－P(A)来运算．
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确随机事件的独立性的有关知识．
布置作业：教科书练习
【目标检测】
1坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的理解.
2. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1) C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的计算.
3、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为eq \f(1,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，则此密码能译出的概率是( )
A.eq \f(1,60) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(59,60)
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的计算.
4、有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是eq \f(1,2)，乙能解决的概率是eq \f(1,3)，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的计算问题.
参考答案：
1、解析：∵P(A1)＝eq \f(3,5).若A1发生了，P(A2)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)；若A1不发生，P(A2)＝eq \f(3,4)，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件．
答案：D
2、
解析：恰好有1人解决可分为：甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为：p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
答案：B
3、解析：用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，
则P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,4)，
且P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))
＝eq \f(4,5)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,5).
∴此密码被译出的概率为1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
答案：C
4、
解析：都未解决的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(1,3) eq \f(2,3)
7.4事件的独立性
教学目标
1、结合实例，理解两个随机事件独立的意义，并会判断两个事件的独立性，培养学生数学抽象的数学素养；
2、理解概率的乘法公式，提升学生数学逻辑推理的数学素养；
3、掌握并综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式解题，提升学生数学运算的数学素养.
教学重难点
教学重点：独立事件的定义、概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式
教学难点：判断两个随机事件的独立性，互斥和独立的区别与联系
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：本节课是概率的最后一节内容，安排在学习了古典概型，频率与概率的关系之后.随机事件的独立性是概率论非常重要的概念之一，它的引进极大地推动了概率论的发展，概率论中很多重要的结论大都是在独立论地假定下获得的.对于高中阶段的概率知识来说，独立性的概念的引入，一方面很大程度上简化了多个事件同时发生的概率的求法，另一方面也为后续二项分布等的介绍做铺垫.不过，需要注意的是，随机事件的独立性是一个比较抽象的概念，要对独立性产生准确理解，并不是一件容易的事.本节课的教学重点是通过实例，让学生理解两个随机事件的独立性的意义，培养学生数学抽象的核心素养，并掌握相互独立事件的概率乘法公式，运用公式求事件的概率，提升数学运算，逻辑推理的核心素养.
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知
1.新课导入
五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天.
记事件：甲选的是第一天，：乙选的是第一天.
（1）直觉上，你觉得事件是否发生会影响事件发生的概率吗？
（2）求出，，的值，观察这三个值之间的关系.
追问：
（1）如果用表示甲选的是第天，乙选的是第天，请写出样本空间；
（2）请分别写出事件、事件以及事件包含的样本点；
（3）请分别算出，，的值.
师生活动：学生自主解答，尝试给出答案.
预设的答案：
如果用表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，则样本空间可以记为：
共包含6个样本点.
又因为：
因此，可以算出：
设计意图：给出了学生直观上来理解独立性的情景，因为甲、乙都是随机选择，因此他们事先是没有商量的，从而可以知道事件是否发生是不会影响事件是否发生的概率.
三、形成定义
一般地，事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即
.
事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
（1）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立.
（2）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．则
独立事件的概率乘法公式
若A与B相互独立，则，同时，，
;
(2)若两两独立，则.
是判断A与B相互独立的依据，
必然事件与任意事件A独立，因为且因为
不可能事件与任意事件A独立，因为且因此.
四、初步应用
例1. 甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求：
（1）两人都译出密码的概率；
（2）两人都译不出密码的概率；
（3）恰有一人译出密码的概率；
（4）至多有一人译出密码的概率；
（5）至少有一人译出密码的概率.
师生活动：学生自主解答，尝试给出答案，教师指导
预设的答案：
解：记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P（A）= ，P（B）=
（1）设事件C表示“两人都译出密码”，则C=AB.因为A与B相互独立，所以
即两人都译出密码的概率为
（2）设事件D表示“两人都译不出密码”，则.因为A与B相互独立，所以与也相互独立.因此，
即两人都译不出密码的概率为
（3）设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以，且两个事件与彼此互斥，因此
即恰有一人译出密码的概率为
（4）设事件F表示“至多有一人译出密码”.设事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以F= ，
即至多有一人译出密码的概率为
（5）设事件G表示“至少有一人译出密码”，事件G的对立事件为“两人都译不出密码”，所以G=，因此
即至少有一人译出密码的概率为
设计意图：让学生体会相互独立的概念.要让学生体会到利用独立性解题带来的便利：有了独立性之后，可以不写出二维的样本空间，只要考查两个一维样本空间就可以了.
例2.已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8
（1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
（2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案.
预设的答案：（1）记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以
即都命中的概率为0.56
（2）记事件：甲第i次投中，其中，则
恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即
注意到与相互独立，且互斥，因此：
设计意图：通过例题的设置，让学生明确两个事件相互独立的概念可以推广到有限个事件.
例3.某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选择了一个答案，且每道题他猜对的概率均为
（1）求该同学三道题都猜对的概率；
（2）求该同学至少猜对一道题的概率.
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案.
预设的答案：
记事件 ：该同学第i题猜对了，其中，则
（1）三道题都猜对可以表示为，又因为相互独立，因此：
（2）“至少猜对一道题“的对立事件时“三道都猜错”，后者可以表示为，所以：
该同学至少猜对一道题的概率是：
设计意图：多个事件相互独立的概念是比较抽象的，主要利用独立性去求解相关的概率.问题（2）既可以利用对立事件求解，也可以分成猜对一道题、猜对两道题、猜对三道题三种情况求解，培养学生从正难则反思想和分类讨论能力.
五、课堂小结
问题5：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
随机事件的独立性定义是什么？
独立事件的概率乘法公式是什么？
练习与作业：教科书练习；
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）有两种方法判断两事件是否具有独立性
①定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
②公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
（2）①若A与B相互独立，则，同时，，
;
②若两两独立，则.
③求P(A＋B)时同样应注意事件A、B是否互斥，对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用P(eq \x\t(A))＝1－P(A)来运算．
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确随机事件的独立性的有关知识．
布置作业：教科书练习
【目标检测】
1坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的理解.
2. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1) C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的计算.
3、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为eq \f(1,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，则此密码能译出的概率是( )
A.eq \f(1,60) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(59,60)
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的计算.
4、有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是eq \f(1,2)，乙能解决的概率是eq \f(1,3)，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
设计意图：考查学生对随机事件的独立性的计算问题.
参考答案：
1、解析：∵P(A1)＝eq \f(3,5).若A1发生了，P(A2)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)；若A1不发生，P(A2)＝eq \f(3,4)，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件．
答案：D
2、
解析：恰好有1人解决可分为：甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为：p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
答案：B
3、解析：用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，
则P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,4)，
且P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))
＝eq \f(4,5)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,5).
∴此密码被译出的概率为1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
答案：C
4、
解析：都未解决的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(1,3) eq \f(2,3)
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