2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题七第2讲　曲线与方程、抛物线

第2讲　曲线与方程、抛物线

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1．求曲线的方程是解析几何的两大基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转变为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程时的作用，只要动点满足已知曲线的定义时，就可以直接得出其方程；轨迹方程问题也是高考的一个重点．

2．曲线的方程的应用，如参数的选取，相关点的变化规律及限制条件等；求轨迹方程的基本步骤，注意纯粹性及完备性．

3．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线．定点F不在定直线l上．

4．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．因为抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”．

5．抛物线的简单几何性质

曲线与方程

[典型例题]

设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．

【解】　如图所示．

法一：直接法．

设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ．

因为OC的中点为M，

故|MP|＝|OC|＝，

得方程＋y2＝，

由圆的范围知0<x≤1．

法二：定义法．

因为∠OPC＝90°，

所以动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得＋y2＝(0<x≤1)．

法三：代入法．

设Q(x1，y1)，则⇒

又因为(x1－1)2＋y＝1，

所以(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)．

即＋y2＝(0<x≤1)．

法四：参数法．

设动弦OQ的方程为y＝kx，代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1．

即(1＋k2)x2－2x＝0，

所以x＝＝，y＝kx＝，消去k即可得到(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)，即＋y2＝(0<x≤1)．

按动点的特点求轨迹方程一般有下列几种方法：

(1)条件直译法(直接法)

基本思想：根据形成轨迹的几何条件和图形性质，直接写出所求动点坐标满足的关系，即题设中有明显的等量关系的，或可用平面几何知识推出等量关系的，可用直译法．

(2)定义法

定义法求轨迹有两种类型，一是若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)，则可根据曲线的定义直接写出轨迹方程；二是动点的轨迹与圆锥曲线有关，则可运用圆锥曲线的定义求出动点的轨迹方程．

(3)相关点代入法(代入法)

基本思想：如果所求轨迹中的动点，随着另一动点的运动而运动，而另一动点又在某一条已知曲线：C：f(x，y)＝0上运动．此类问题常设法利用轨迹中的动点坐标(x，y)，表示已知曲线上的动点坐标(x1，y1)，再将它代入已知曲线C的方程f(x，y)＝0即可．

(4)参数法

基本思想：有时很难直接找出动点的坐标满足的关系，可借助中间变量——参数，建立动点坐标x、y之间的联系，然后消去参数得到曲线方程．使用参数法求轨迹方程的关键是选择恰当的参数和如何消去参数．解题的一般步骤为：引入参数——建立参数方程——消去参数，得到一个等价的普通方程．

[对点训练]

1．(2019·镇江期末检测)已知A为曲线C：4x2－y＋1＝0上的动点，定点M(－2，0)，若＝2，求动点T的轨迹方程．

[解] 设T(x，y)，A(x0，y0)，

则4x－y0＋1＝0，①

又M(－2，0)，

由＝2得(x－x0，y－y0)＝2(－2－x，0－y)，

所以x0＝3x＋4，y0＝3y，

代入①式得4(3x＋4)2－3y＋1＝0，

即为所求轨迹方程．

抛物线的综合问题

[典型例题]

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．

①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；

②求p的取值范围．

【解】　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，

由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，

即p＝4．

所以抛物线C的方程为y2＝8x．

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b．

①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0．(*)

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，

从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0．

方程(*)的两根为y1，2＝－p ± ，从而y0＝＝－p．

因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p．

因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．

②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，

所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p．

由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，

所以p<．

因此，p的取值范围是．

对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”的灵活应用．在解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．

[对点训练]

2．(2019·苏北四市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，过点M(0，－2)作抛物线的切线MA，切点为A(异于点O)．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．

(1)求抛物线的方程；

(2)试问：＋的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

[解] (1)由题设知，－＝－，即p＝，

所以抛物线的方程为y2＝x．

(2)因为函数y＝－的导函数为y′＝－，

设A(x0，y0)，

则直线MA的方程为y－y0＝－(x－x0)，

因为点M(0，－2)在直线MA上，所以－2－y0＝－×(－x0)，即y0＝－2－．

联立解得A(16，－4)．

所以直线OA的方程为y＝－x．

设直线BC方程为y＝kx－2，

由得k2x2－(4k＋1)x＋4＝0，

所以xB＋xC＝，xBxC＝．

由

得xN＝．

所以＋＝＋＝xN·＝·＝·＝2，

故＋为定值2．

1．如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4．过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．

[解] 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

则O1(－2，0)，O2(2，0)．

由已知PM＝PN，

所以PM2＝2PN2．

又因为两圆的半径均为1，

所以PO－1＝2(PO－1)．

设P(x，y)，

则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，

即(x－6)2＋y2＝33．

所以所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．

2．(2019·江苏名校联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，如图，过点(0，3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若AF＋BF＝6，求点D的横坐标．

[解] 由题意知，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，设AB的中点为H，A，B，H在准线上的射影分别为A′，B′，H′，连结AA′，BB′，HH′，则HH′＝(AA′＋BB′)．

由抛物线的定义可得，AF＝AA′，BF＝BB′，又AF＋BF＝6，所以AA′＋BB′＝6，HH′＝×6＝3，故点H的横坐标为2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋3(k≠0)，代入抛物线的方程，可得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，Δ＝(6k－4)2－36k2>0，解得k<且k≠0，又x1＋x2＝＝4，所以k＝－2或k＝(舍去)，则直线AB的方程为y＝－2x＋3，AB的中点为H(2，－1)，AB的垂直平分线的方程为y＋1＝(x－2)，令y＝0，得x＝4，故点D的横坐标为4．

3．(2019·南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F．

(1)求抛物线的方程；

(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．

[解] (1)由题意知点P到原点的距离为PO，

由抛物线的定义知，点P到准线的距离等于PF，

所以PO＝PF，即点P在线段OF的中垂线上，

所以＝，p＝3，

所以抛物线的方程为y2＝6x．

(2)如图，由抛物线的对称性，不妨设点A在x轴的上方，

所以点A处切线的斜率为，

所以点A处切线的方程为y－y0＝，

令上式中y＝0，得x＝－y，

所以点B的坐标为，

又E，F，

所以＝，＝，

所以＝，所以FA∥BE，又AE∥FB，故四边形AEBF为平行四边形．

再由抛物线的定义，得AF＝AE，所以平行四边形AEBF为菱形．

4．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．

(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．

[解] (1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．

又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，

即x－y－a＝0．

y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，

即x＋y＋a＝0．

故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0．

(2)存在符合题意的点．证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．

将y＝kx＋a代入C的方程，

得x2－4kx－4a＝0．

故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a．

从而k1＋k2＝＋

＝＝．

当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM＝∠OPN，

所以点P(0，－a)符合题意．