2020届高考数学二轮教师用书：第四章第2节　平面向量的基本定理及坐标表示

第2节　平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个　不共线　向量，那么对于这一平面内的任意向量a，　有且只有　一对实数λ1，λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组　基底　.

2．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个　互相垂直　的向量，叫做把向量正交分解．

3．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　，a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　，λa＝　(λx1，λy1)　，|a|＝　　.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝　(x2－x1，y2－y1)　，

||＝　　.

4．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔　x1y2－x2y1＝0　.

1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝1常被当作隐含条件运用．

3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　 )

(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　 )

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　 )

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　 )

(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

[小题查验]

1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b等于(　　 )

A．(5,7)　　　　　　　 B．(5,9)

C．(3,7)  D．(3,9)

解析：D　[2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)．故选D.]

2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：A　[＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝.]

3．(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　 )

A.－  B.－AC

C.＋  D.＋

解析：A　[如图，由题意可得

＝＋＝＋＝＋＋＝＋，

所以＝－，故选A.]

4．(教材改编)设M是▱ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝　____　.

答案：4

5．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基底，则a＝　________　.

解析：设a＝λ1b＋λ2c，

则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，

即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，

∴解得

∴a＝－b＋c.

答案：－b＋c

考点一　平面向量基本定理的应用(师生共研)

逻辑推理——平面向量基本定理的理解与应用中的核心素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般或特殊到特殊的推理，推理形式主要有归纳与类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．平面向量基本定理的理解与应用充分体现了逻辑推理的核心素养．

[典例]　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)

A．e1与e1＋e2　　　 B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2  D．e1＋3e2与6e2＋2e1

[解析]　D　[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；

选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；

选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；

选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．]

(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为　______　.

[解析]　设||＝y，||＝x，

则＝＋＝－，①

＝＋＝＋，②

①×y＋②×x得＝＋，

令＝，得y＝x，代入得m＝.

[答案]　

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

[跟踪训练]

1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则2x－y＝(　　)

A．9  B．7

C．8  D．6

答案：A

2．(2019·盐城市模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝　________　.

解析：由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.

答案：

考点二　平面向量的坐标运算(自主练透)

[题组集训]

1．(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　 )

A．(－7，－4)　　　　　　　　 B．(7,4)

C．(－1,4)  D．(1,4)

解析：A　[＝(3,1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]

2．(2019·北京西城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　 )

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：D　[以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，

∵c＝λa＋μb，∴解之得λ＝－2且μ＝－，因此，＝＝4，故选D.]

3．已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点D的坐标是　________　.

解析：设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD，则由＝(1,5)，

＝(－3－x,4－y)，得所以

若平行四边形为ACBD，则由＝(－7,2)，

＝(5－x,7－y)，得所以

若平行四边形为ABDC，则由＝(1,5)，

＝(x＋3，y－4)，得所以

综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)．

答案：(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

考点三　平面向量共线的坐标表示(子母变式)

[母题]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，

所以得

(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.

∴k＝－.

[子题1]　在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且

|d－c|＝，求d.

解：设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得

得或

∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．

[子题2]　在本例条件下，若ma＋nb与a－2b共线，

求的值．

解：ma＋nb＝(3m－n,2m＋2n)，a－2b＝(5，－2)，

由题意得－2(3m－n)－5(2m＋2n)＝0.

∴＝－.

[子题3]　若本例条件变为：已知A(3,2)，B(－1,2)，C(4,1)，判断A，B，C三点能否共线．

解：＝(－4,0)，＝(1，－1)，

∵－4×(－1)－0×1≠0，∴，不共线．

∴A，B，C三点不共线．

1．向量共线的两种表示形式

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.

2．两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．

1．(2020·内江市一模)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　 )

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

解析：B　[对于A，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不可作为基底．

对于B，e1，e2是两个不共线向量，故可作为基底．

对于C，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不可作为基底．

对于D，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不可作为基底．故选B.]

2．(2020·包头市一模)已知向量a＝(－1,2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝(　　 )

A．－5　　　　　　　　　 B.

C．7  D．－

解析：D　[∵向量a＝(－1,2)，b＝(λ，1)，∴a＋b＝(－1＋λ，3)，

∵a＋b与a平行，∴＝，解得λ＝－.]

3．(2020·孝义市模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(－3，－2m)，b＝(1，m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　 )

A．(－∞，2)

B.

C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)

D.∪

解析：D　[由题意可知a，b为一组基向量，故a，b不共线，

∴－2m≠3(m－2)，即m≠.故选D.]

4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　)

A．(2,6)  B．(－2,6)

C．(2，－6)  D．(－2，－6)

解析：D　[设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．]

5．已知非零不共线向量、，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)

A．x＋y－2＝0  B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0  D．2x＋y－2＝0

解析：A　[由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.]

6．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝　________　.

解析：因为2a＋b＝(4,2)，且c∥(2a＋b)，所以1×2－λ×4＝0，解得λ＝.

答案：

7．(2020·柳州市模拟)设A(1,1)、B，点C满足＝2，则点C到原点O的距离为　________　.

解析：∵＝2，

∴－＝2(－)，

∴＝(＋2)＝

＝(3,4)．

∴||＝5，即点C到原点O的距离为5.

答案：5

8．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝　________　.

解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，

所以a2＋b2－c2＝ab，＝，

结合余弦定理知，cos C＝，又0°<C<180°，∴C＝60°.

答案：60°

9．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝.

(1)试用向量，表示向量，；

(2)求||，||；

(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若＝x＋y，求x，y的值．

解： (1)如图所示， ＝＋＝－；

＝＋＝＋＝－.

(2)由(1)知＝－，

＝－，

所以||＝＝，||＝＝.

(3)由重心性质知：＋＋＝0，所以有：

0＝x＋y＋＝x(－)＋y(－)－＝(x＋y－1)＋(－x)＋(－y).

所以(x＋y－1)∶(－x)∶(－y)＝1∶1∶1⇒x＝y＝.

10．已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及＝＋t，试问：

(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

解：(1)∵＝(3,3)，

∴＝(1,2)＋(3t,3t)＝(3t＋1,3t＋2)，

若点P在x轴上，则3t＋2＝0，解得t＝－；

若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；

若点P在第三象限，则解得t<－.

(2)不能，若四边形OABP成为平行四边形，

则＝，∴

∵该方程组无解，

∴四边形OABP不能成为平行四边形.