2021版浙江新高考选考物理一轮复习教师用书：3第三章　3题型探究课二　共点力平衡

题型探究课二　共点力平衡

　解决共点力静态平衡问题的常用方法

【题组过关】

1．(2019·4月浙江选考)如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态，现将两环距离变小后书本仍处于静止状态，则(　　)

A．杆对A环的支持力变大

B．B环对杆的摩擦力变小

C．杆对A环的力不变

D．与B环相连的细绳对书本的拉力变大

解析：选B.以环、绳和书本整体为研究对象，在竖直方向上始终受力平衡，故杆对其中一环的支持力FN恒等于书本重力的一半，故A错误；设绳与水平杆之间的夹角为θ，对B环受力分析，可得杆对B环摩擦力Ff＝，两环距离减小，夹角θ增大，摩擦力Ff减小，故B环对杆的摩擦力变小，B正确；杆对环的作用力包括支持力和摩擦力，根据环受力平衡可知，两者的合力大小与绳的拉力大小相等，而绳的拉力大小F＝，可知，夹角θ增大，拉力大小减小，故C、D均错误．

2.如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上且到b点的距离为l，到a点的距离为 l，则两重物的质量的比值  为(　　)

A.  B．2  C.  D.

解析：选C.法一：合成法

因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反，如图甲所示，根据平行四边形定则将力F与m1g合成，则sin θ＝，而sin θ＝＝，所以＝，选项C正确．

法二：分解法

因c点处于平衡状态，所以可在F、m1g方向上分解m2g，如图乙所示，则同样有sin θ＝，所以＝，选项C正确．

法三：正交分解法

将倾斜绳拉力m1g沿竖直方向和水平方向分解，如图丙所示，则m1g·sin θ＝m2g，同样可得＝，选项C正确．

1．解决共点力静态平衡问题的常用方法

2.

　解决共点力动态平衡问题的三种方法

【知识提炼】

1．动态平衡：物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡．

2．分析动态平衡问题的方法

【典题例析】

　在水平地面上放一重为30 N的物体，物体与地面间的动摩擦因数为.若要使物体在地面上做匀速直线运动，问F与地面的夹角为多大时最省力，此时的拉力多大？

[解析]　方法一　解析法：物体受力如图所示，因为物体做匀速直线运动，所以物体所受合外力为零．

水平方向：Fcos α－Ff＝0

竖直方向：FN＋Fsin α－G＝0

另Ff＝μFN

三式联立可解得F＝

要使力F有最小值，

则需cos α＋μsin α有最大值

cos α＋μsin α＝

令tan β＝μ，则

cos α＋μsin α＝cos(α－β)

当α＝β时，cos(α－β)有最大值且为1

cos α＋μsin α＝

Fmin＝＝ N＝15 N

此时力F与地面的夹角

α＝arctan μ＝arctan＝30°.

方法二　图解法：由于Ff＝μFN，所以不论FN如何改变，Ff与FN的合力F1的方向都不会发生变化，如图甲所示，合力F1与竖直方向的夹角一定为α＝arctan ＝arctan μ＝30°

由物体做匀速运动可知F、F1和G三力平衡，且构成一个封闭三角形，当改变F的方向时，F和F1的大小都会发生改变，由图乙知，当F和F1的方向垂直时F最小．故由图中几何关系得Fmin＝Gsin α＝15 N，θ＝α＝30°.

[答案]　30°　15 N

动态平衡问题的常见解题思路(适用三力平衡问题)

(1)若已知一个力不变，另一个力F1方向不变大小变，则用三角形法(或图解法)处理问题，另一个力F2的最小值条件为F1⊥F2.

(2)若已知一个力不变，另一个力大小不变方向变，则用画图法处理问题．

(3)若已知一个力不变，另一个力大小、方向都变，则采用相似三角形法处理问题．解决问题时，要寻找一个力的三角形和一个边的三角形，根据对应边比例相等求解．　

【题组过关】

考向1　解析法求解动态平衡问题

1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)

A．F逐渐变大，T逐渐变大　

B．F逐渐变大，T逐渐变小

C．F逐渐变小，T逐渐变大 

D．F逐渐变小，T逐渐变小

解析：选A.设绳OA段与竖直方向的夹角为θ，对O点进行受力分析，列平衡方程得F＝mgtan θ，T＝，则随θ的逐渐增大，F逐渐增大，T逐渐增大，A正确．

考向2　图解法求解动态平衡问题

2.(2020·湖州质检)如图所示，半圆形线框竖直放置在粗糙的水平地面上，质量为m的光滑小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢转过90°，框架与小球始终保持静止状态，在此过程中下列说法正确的是(　　)

A．拉力F一直增大

B．拉力F的最小值为mgsin θ

C．地面对框架的摩擦力先增大后减小

D．框架对地面的压力始终在减小

解析：选D.对球受力分析，如图所示，从图看出，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢转过90°，拉力先减小后增加，当拉力与支持力垂直时最小，为mgcos θ，故A、B错误；再分析球和框整体，受重力、拉力、支持力和摩擦力，如果将图中的拉力F沿着水平和竖直方向正交分解，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢转过90°过程中，其水平分力减小、而竖直分力增加，根据平衡条件可知，支持力减小、摩擦力也减小，根据牛顿第三定律，对地面的压力减小，故C错误，D正确．

考向3　相似三角形法求解动态平衡问题

3．(2020·金华月考)如图所示，光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况．

解析：如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力FN总与球面垂直，从图中可得到相似三角形．

设球体半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得

＝，＝

由以上两式得绳中的张力

F＝mg

球面的弹力FN＝mg

由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，FN不变．

答案：见解析

　平衡中的临界、极值问题

【题组过关】

1．(2020·温岭质检)如图所示，轻质弹簧一端系在质量为m＝1 kg的小物块上，另一端固定在墙上．物块在斜面上静止时，弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角θ＝37°，斜面与小物块间的动摩擦因数μ＝0.5，斜面固定不动．设物块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，下列说法正确的是(　　)

A．小物块可能只受三个力

B．弹簧弹力大小一定等于4 N

C．弹簧弹力大小不可能等于3 N

D．斜面对物块支持力可能为零

解析：选C.假如物块受3个作用力，重力、斜面的支持力以及摩擦力，则mgsin 37°＝6 N，而最大静摩擦力为μmgcos 37°＝4 N<6 N，则物块不能静止，选项A错误；要使物块静止，设弹簧弹力最小为F，则满足mgsin 37°＝μ(F＋mgcos 37°)，解得F＝4 N，故当弹力不小于4 N时，物块均能静止，选项B错误，C正确；若斜面对物块支持力为零，则物块与斜面之间的摩擦力为零，则物块不可能静止，选项D错误．

2.如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为(　　)

A.  B.m  C．m  　D．2m

解析：选C.由于轻环不计重力，故细线对轻环的拉力的合力与圆弧对轻环的支持力等大反向，即沿半径方向；又两侧细线对轻环拉力相等，故轻环所在位置对应的圆弧半径为两细线的角平分线，因为两轻环间的距离等于圆弧的半径，故两轻环与圆弧圆心构成等边三角形；又小球对细线的拉力方向竖直向下，由几何知识可知，两轻环间的细线夹角为120°，对小物块进行受力分析，由三力平衡知识可知，小物块质量与小球质量相等，均为m，C项正确．

掌握突破临界问题的三种方法

(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值．通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等．

(2)图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值．

(3)极限法：极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”“极右”“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解．　

1．(2020·温州四校联考)半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN.在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态．如图所示是这个装置的纵截面图．若用外力使MN保持竖直并且缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止．在此过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．MN对Q的弹力逐渐减小

B．地面对P的摩擦力逐渐增大

C．P、Q间的弹力先减小后增大

D．Q所受的合力逐渐增大

答案：B

2．(2020·舟山检测)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是(　　)

A．F＝   B．F＝mgtan θ

C．FN＝   D．FN＝mgtan θ

解析：选A.法一：合成法

滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ，

＝sin θ⇒F＝，FN＝.

法二：效果分解法

将重力按产生的效果分解，如图乙所示，

F＝G2＝，FN＝G1＝.

法三：正交分解法

将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，联立解得：

F＝，FN＝.

法四：封闭三角形法

如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝.

3．(2020·绍兴检测)如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千，某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后(　　)

A．F1不变，F2变大   B．F1不变，F2变小

C．F1变大，F2变大   D．F1变小，F2变小

解析：选A.木板静止时受力情况如图所示，设轻绳与竖直木桩的夹角为θ，由平衡条件知，合力F1＝0，故F1不变，F2＝，剪短轻绳后，θ增大，cos θ减小，F2增大，故A正确．

4．(多选)(2020·舟山质检)如图所示，A、B两球质量均为m，固定在轻弹簧的两端，分别用细绳悬于O点，其中球A处在光滑竖直墙面和光滑水平墙面的交界处，已知两球均处于平衡状态，OAB恰好构成一个正三角形，则下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)

A．球A可能受到四个力的作用

B．弹簧对球A的弹力大于对球B的弹力

C．绳OB对球B的拉力大小一定等于mg

D．绳OA对球A的拉力大小等于或小于1.5mg

解析：选ACD.对球B受力分析，据共点力平衡可知弹簧和绳对球B的作用力大小均为mg，选项C正确．对同一弹簧而言，产生的弹力处处相等，故弹簧对球A的弹力等于对球B的弹力，选项B错误．对球A分析可知，一定受重力、弹簧的弹力、墙面的支持力作用，可能受地面的支持力和绳的拉力，地面的支持力和绳的拉力也可能有一个为0，当地面对球A的支持力为0时，绳上的拉力最大，等于重力和弹簧竖直方向的分力之和，即1.5mg，选项A、D正确．