高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试练习题

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一．单项选择题


1．（2020•浙江学业考试）椭圆+＝1的焦点坐标是（ ）


A．（﹣5，0），（5，0）B．（0，﹣5），（0，5）


C．（﹣4，0），（4，0）D．（0，﹣4），（0，4）


【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，及焦点在x轴上，再由a，b，c的关系求出c的值，进而求出椭圆的焦点坐标．


【解答】解：由椭圆的方程可得：a2＝25，b2＝9，且焦点在x轴上，c2＝a2﹣b2＝16，解得：c＝4，


故选：C．


2．（2020•新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（ ）


A．2B．3C．6D．9


【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．


【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，


因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，


故有：9+＝12⇒p＝6；


故选：C．


3．（2020•天津）设双曲线C的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）


A．﹣＝1B．x2＝1


C．﹣y2＝1D．x2﹣y2＝1


【分析】先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．


【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），


则直线l的方程为y＝﹣b（x﹣1），


∵双曲线C的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，


∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，


∴﹣＝﹣b，•（﹣b）＝﹣1，


∴a＝1，b＝1，


∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1，


故选：D．


4．（2020•北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）


A．经过点OB．经过点P


C．平行于直线OPD．垂直于直线OP


【分析】本题属于选择题，不妨设抛物线的方程为y2＝4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．


【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1，


不妨设P（1，2），


∴Q（﹣1，2），


设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0），


可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，


故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，


故选：B．


5．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（ ）


A．B．3C．D．2


【分析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．


【解答】解：由题意可得a＝1，b＝，c＝2，


∴|F1F2|＝2c＝4，


∵|OP|＝2，


∴|OP|＝|F1F2|，


∴△PF1F2为直角三角形，


∴PF1⊥PF2，


∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，


∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，


∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝4，


∴|PF1|•|PF2|＝6，


∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|•|PF2|＝3，


故选：B．


6．（2020•浙江模拟）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（ ）


A．B．C．D．


【分析】画出图形，利用椭圆的性质，结合已知条件，通过余弦定理求解三角形求解即可．


【解答】解：椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，


可得|AF1|＝|AF2|＝a，|PF1|+|PF2|＝2a，若|PF1|＝|PA|，所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，cs∠APF1＝＝，可得：a2＝3c2，


所以椭圆的离心率为：．


故选：A．





7．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（ ）


A．1B．2C．4D．8


【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．


【解答】解：由题意，设PF2＝m，PF1＝n，可得m﹣n＝2a，，m2+n2＝4c2，e＝，


可得4c2＝16+4a2，可得5a2＝4+a2，


解得a＝1．


故选：A．


8．（2020•马鞍山三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，若点B在椭圆上，则b2等于（ ）


A．B．2C．3D．4


【分析】分别设出A，B的坐标，由题意可得y1＝y2，x2＝﹣x1，再由A，B在椭圆上，把A，B的坐标代入椭圆方程，联立可得关于a，b的方程，结合隐含条件即可求得a，b的值．


【解答】解：依题意，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），


∵四边形OFAB为平行四边形，∴y1＝y2，


又，，∴x2＝﹣x1，


又FA∥OB，且直线FA的倾斜角为，∴．


∵y1＝y2，x2＝﹣x1，∴x1＝﹣1，x2＝1，．


得A（﹣1，），将A的坐标代入椭圆方程，可得，①


又a2﹣b2＝4，②


联立①②解得：，．


故选：B．





二．多项选择题


9．（2020•滨州三模）已知曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|，则曲线C（ ）


A．关于x轴对称


B．关于y轴对称


C．关于原点对称


D．所围成图形的面积为8+4π


【分析】通过﹣x代替x，判断曲线是否关于y轴对称；﹣y代替y，判断曲线是否关于x轴对称；﹣x代替x，﹣y代替y，判断曲线是否关于原点对称；求出所围成图形的面积判断D的正误即可．


【解答】解：曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|，﹣x代替x，可得x2+y2＝2|x|+2|y|，曲线关于y轴对称；


﹣y代替y，可得x2+y2＝2|x|+2|y|，曲线关于x轴对称；


﹣x代替x，﹣y代替y，可得x2+y2＝2|x|+2|y|，曲线关于原点对称；


x≥0，y≥0时，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|＝2x+2y，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0与x轴，y轴所围成图形是一个半圆与一个等腰直角三角形，它的面积＝2+π，


所以所围成图形的面积为8+4π．正确


故选：ABCD．


10．（2020•海南）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（ ）


A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上


B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为


C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x


D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线


【分析】根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．


【解答】解：A．若m＞n＞0，则，则根据椭圆定义，知＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；


B．若m＝n＞0，则方程为x2+y2＝，表示半径为的圆，故B错误；


C．若m＜0，n＞0，则方程为＝1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，


若m＞0，n＜0，则方程为＝1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，


故C正确；


D．当m＝0，n＞0时，则方程为y＝±表示两条直线，故D正确；


故选：ACD．


11．（2020•德州一模）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（ ）





A．卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]


B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间


C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁


D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小


【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假．


【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A正确；


根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；


卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e越大，椭圆越扁，故C不正确．


因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；


故选：ABD．


12．（2020•聊城三模）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则（ ）


A．∠AF1B＝∠F1AB


B．双曲线的离心率


C．双曲线的渐近线方程为


D．原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上


【分析】设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，从而得m＝2a，|BF1|＝3m＝|AB|，可判断选项A；


在△ABF1和△AF1F2中，分别由余弦定理知，cs∠AF1B＝，cs∠F1AB＝，结合选项A的结论和e＝可判断选项B；


由和双曲线的渐近线方程为y＝x，可判断选项C；


若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，则c＝m＝2a，与＝不符，可判断选项D．


【解答】解：根据题意，作图如下，





设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，则|AB|＝|AF2|+|BF2|＝3m，


由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2m﹣m＝2a，即m＝2a；|BF1|﹣|BF2|＝2a，即|BF1|﹣2m＝2a，


∴|BF1|＝3m＝|AB|，∴∠AF1B＝∠F1AB，即选项A正确；


由余弦定理知，在△ABF1中，cs∠AF1B＝＝，


在△AF1F2中，cs∠F1AB＝＝＝cs∠AF1B＝，


化简整理得，12c2＝11m2＝44a2，


∴离心率e＝＝，即选项B正确；


双曲线的渐近线方程为y＝x＝x＝x＝x，即选项C正确；


若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，则c＝m＝2a，与＝不符，故选项D错误．


故选：ABC．


三．填空题（共4小题）


13．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为 ．


【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．


【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，


由题意可得＝，所以离心率e＝＝＝，


故答案为：．


14．（2020•北京）已知双曲线C：﹣＝1，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ．


【分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得．


【解答】解：双曲线C：﹣＝1，则c2＝a2+b2＝6+3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为（3，0），


其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，


则点（3，0）到渐近线的距离d＝＝，


故答案为：（3，0），．


15．（2020•海南）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝ ．


【分析】由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．


【解答】解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y＝（x﹣1），


代入y2＝4x并化简得3x2﹣10x+3＝0，


设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝；


x1x2＝1，


∴由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．


故答案为：．


16．（2020•浙江模拟）如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是 ．





【分析】设A，Q的坐标，由题意可得B，P的坐标，由AB⊥AQ及B，M，N三点共线可得，将A，Q的坐标代入椭圆的方程可得+＝0，进而可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的离心率．


【解答】解：设A（x1，y1），Q（x2，y2）），


则B（﹣x1，﹣y1），P（x1，﹣y1），


由AB⊥AQ，则，


再由B，M，Q三点共线，则，


故，即，


又因为，，


即+＝0，


所以，故椭圆C的离心率是．


故答案为：．





四．解答题


17．（2019秋•茂名期末）求符合下列要求的曲线的标准方程：


（1）已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为；


（2）已知双曲线经过点，．


【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程，由长轴长可得a的值，再由离心率求出c的值，进而求出b的值，写出椭圆的方程；


（2）设过两点的双曲线的方程，将两点的坐标代入求出双曲线的方程．


【解答】解：（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中a＞b＞0），


则2a＝12，∴a＝6，


且离心率为，∴c＝3，


∴b2＝a2﹣c2＝62﹣32＝27，


故所求的椭圆的标准方程为；


（2）设所求的双曲线方程为mx2+ny2＝1，


由题意可得方程组，解之得，


故所求的双曲线标准方程为．


18．（2020春•山东月考）已知双曲线C的离心率为，且过（，0）点，过双曲线C的右焦点F2，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．


（1）求双曲线的标准方程；


（2）求△AOB的面积．


【分析】（1）有题意离心率和过的点的坐标，可得双曲线的焦点在x轴上，可得a的值和c的值，再由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；


（2）由（1）可得左右焦点的坐标，有题意可得直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之积，两根之和进而求出面积．


【解答】解：（1）有题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝6，


所以双曲线的方程：﹣＝1；


（2）由（1）可得F2（3，0），F1（﹣3，0），


由题意设y＝（x﹣3），设交点A（x1，y1），B（x2，y2），


联立直线与双曲线的方程：，整理可得：x2﹣18x+33＝0，x1+x2＝18，x1x2＝33，


可得y1﹣y2＝[（x1﹣﹣3）﹣（x2﹣3）]＝（x1﹣x2），


所以SAOB＝|y1﹣y2|＝＝•＝36，


即△AOB的面积为36．


19．（2019秋•西安期末）已知过抛物线y2＝8x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．


（1）证明：y1y2为定值．


（2）若|AF|＝10，O为坐标原点，求△AOF的面积与△BOF的面积的比值．


【分析】（1）由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之积，可得纵坐标之积为定值；


（2）由AF的长，根据抛物线的性质可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，再由（1）可得B的纵坐标，进而求出面积的比值．


【解答】解：（1）由题意可得抛物线的焦点F（2，0），且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+2，


联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣8my﹣16＝0，y1y2＝﹣16．


所以可证得y1y2＝﹣16为定值；


（2）设A点在x轴上方，由题意若|AF|＝10，准线方程x＝﹣2，则可得x1+2＝10，所以x1＝8，


代入抛物线方程可得y1＝8，由（1）得 y2＝﹣2，


所以＝＝＝4，


所以△AOF的面积与△BOF的面积的比值为4．





20．（2020春•山西期中）设点M和N分别是椭圆C：＝1（a＞0）上不同的两点，线段MN最长为4．


（1）求椭圆C的标准方程；


（2）若直线MN过点Q（0，2），且＞0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．


【分析】（1）当线段MN为长轴时，其长度最长，所以4＝2a，a＝2，于是可得椭圆C的标准方程；


（2）直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+2，将其与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0解得，写出韦达定理，并求得y1y2＝，因为，所以x1x2+y1y2＞0，又解得k2＜4，故①．然后设直线OP的斜率为k'，利用点差法可得②，由①②即可求出直线OP斜率的取值范围．


【解答】解：（1）因为线段MN最长为4，所以4＝2a，即a＝2，


所以椭圆C的标准方程为．


（2）由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+2，


联立，整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，


由△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12＝16（4k2﹣3）＞0，可得．


设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，


所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝．


因为，所以，即k2＜4，故．


设直线OP的斜率为k'，


因为，两式相减得，所以，则，


故直线OP的斜率的取值范围是．


21．（2020春•武昌区校级期中）已知点A（0，1），B（1，2），C是抛物线x2＝4y上的动点．


（1）求△ABC周长的最小值；


（2）若C位于直线AB右下方，求△ABC面积的最大值．


【分析】（1）由抛物线的方程可得A为抛物线的焦点，由抛物线的性质可得C到A的距离等于到准线的距离，过C作准线的垂线，要使三角形ABC的周长最小，则过B作准线的垂线，则最小周长为AB与B到准线之和；


（2）要使三角形ABC的面积最大，则C在平行与直线AB且与抛物线相切的直线上，设切线方程，与抛物线联立由判别式为0，求出过C的切线方程，两条平行线的距离为C到直线AB 的距离，再由面积公式可得面积的最大值．


【解答】解：（1）由抛物线的方程x2＝4y可得焦点F坐标（0，1），与A重合，准线方程为：y＝﹣1


所以△ABC的周长为：AB+BC+AC，过C作CM垂直于准线于D，则AC＝CD，


所以周长为：AB+BC+CD≥AB+BD，当B，C，D在一条直线上时，周长最小，过B作准线的垂线交抛物线于M，交准线于D，这时M与C重合，


而AB＝＝，BD＝2+1＝3


所以周长的最小值为AB+BD＝3+，


（2）直线AB所在的直线方程为：y＝x+1，即y＝x+1，


设过C与直线AB平行，且与抛物线相切时C到直线AB 的距离最大，


设过C的切线方程为：y＝x+b，由题意b＜1，


联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4x﹣4b＝0，


则△＝16+16b＝0，解得b＝﹣1，


所以过C的切线方程为：y＝x﹣1，


所以两条平行线间的距离d＝＝，即C到直线AB的距离为，


所以S△ABC＝|AB|•d＝＝1，


所以三角形ABC的最大面积为1．





22．（2020•凉山州模拟）已知椭圆C：，右顶点A（2，0），上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2＝60°，过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．


（1）求椭圆C的方程；


（2）设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）由右顶点的坐标可得a的值，再由上顶点与左右焦点所成的角可得b，c的关系，又由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；


（2）法一）设直线AD的方程，由题意可得E的坐标，将直线AD的方程代入椭圆的方程可得D的坐标，进而求出AD的中点P的坐标，求出向量，假设存在Q的坐标，求出向量，由＝0，可得对任意的k≠0都成立，所以x0＝，y0＝0；


法二）设A，B，P的坐标，将A，B的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得OP的斜率，假设存在Q的坐标使OP⊥EQ，可得斜率之积为﹣1恒成立，求出Q的坐标．


【解答】解：（1）由题意得：a＝2，


∵在Rt△OBF2中，∠F1BF2＝60°，


∴∠OBF2＝30°，|OB|＝b，|OF2|＝c，


∴|BF2|＝a，∴，∴，，


∴椭圆方程为．


（2）解法一：设直线AD：y＝k（x﹣2）（k≠0），*


令x＝0，则y＝﹣2k，∴E（0，﹣2k），


将*代入，，


整理得（3+4k2）x2﹣16k2﹣12＝0，


设D（x0，y0），则，∴，


设P（xp，yp），∵P为AD的中点，


∴，，


∴，


设存在Q（x0，y0）使得OP⊥EQ，则，，


∴，即对任意的k≠0都成立，


∴，∴，


∴存在使得OP⊥EQ．


解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），


∴，，


由（1）﹣（2），得+＝0，


∵P为AB中点，∴+＝0


∵，∴+•k＝0，


∵，∴，


设存在Q（x3，y3）使得OP⊥EQ，


则，即2k（2x3﹣3）﹣3y3＝0，


对任意k≠0都成立，即，y3＝0，


∴存在使得OP⊥EQ．