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数学九年级上册7 相似三角形的性质教案设计
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这是一份数学九年级上册7 相似三角形的性质教案设计，共26页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。
第13讲
讲
相似三角形的性质及位似
概 述
【教学建议】
在这一讲中着重讲的是相似三角形的性质，在讲解本讲前.先复习一下学习过的有关相似的知识，会使学生更好的理解本讲中的性质.
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
本讲是相似三角形的性质为主要知识点，在学习的时候要让注意复习回顾学过的有关相似的知识点.
三角形相似我们已经学习过很多知识点，本讲针对三角形和多边形的性质来把学习过的知识点综合讲述，相信本讲会使同学们对于三角形的相似有一个更深入的认识.
二、知识讲解
考点1 相似三角形的性质
1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比.
2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
考点2 相似多边形的性质
1、相似多边形对应角相等，对应线段之比等于相似比，对应周长比等于相似比，对应面积比等于相似比的平方，而相似三角形是相似多边形的特例，因此，相似三角形具有相似多边形的一切性质.
2、四条边以上的多边形可分割成若干个三角形，相似多边形还具有“对应三角形相似的性质”.
3、相似多边形面积比等于相似比的平方，反之，相似多边形的相似比等于面积比的算术平方根.
说明：相似多边形的定义、性质与相似三角形基本一致，而相似多边形的判别与相似三角形是有区别的，对应角相等或对应边成比例的三角形相似，而只有对应角相等且对应边成比例的多边形才相似，所以不能把判别三角形相似的方法套用在多边形相似上，如两个矩形各角都相等，但对应边不一定成比例，所以矩形不一定相似，又如，两个菱形对应边成比例，但对应角不相等，所以菱形不一定相似，另外，研究多边形相似通常利用添加辅助线划为三角形.
考点3 相似多边形的性质的应用
1、用来证明角相等，线段成比例.
2、证明线段的平方比.
3、证明三角形相似.
考点4 位似的定义和性质
4、用于有关计算.
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比.
说明：（1）位似图形上任意两组对应点连线的交点或其延长线的交点就是位似中心，位似中心和两对对应点构成“A型”或“X型”的基本图形.
（2）利用位似图形的定义可将一个图形放大或缩小.
（3）位似图形是相似图形的特例，不仅要求形状相同，而且还要求对应点的连线相交于同一点，因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
三 、例题精析
类型一 相似三角形中对应线段的比
例题1
两个相似三角形的相似比为1：2，则对应高的比为 （ ）
1：1 B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4
【解析】B
三角形的相似比是1：2，
那么这两个三角形对应边上的高的比是1：2．
故选B.
【总结与反思】三角形相似的性质即可解答此题.
类型二 相似三角形面积的比
例题1
如果两个相似三角形的相似比为2：3, 那么这两个相似三角形的面积比为__
【解析】4：9
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的面积比为4：9．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【总结与反思】 此题利用相似三角形的性质来解答.
类型三：相似三角形性质的综合
例题1
已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
【解析】设EF=，则GF=2．
∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC．
∴
∵AH=6，BC=12，∴．
解得=3
∴矩形DEFG的周长为18．
【总结与反思】 此题利用相似三角形的综合性质来解答.
类型四：位似图形的定义与性质
例题1
下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①②
C．③④ D．②③④
【解析】相似图形不一定是位似图形，故①错；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错；
其他都正确．故选A．
【总结与反思】 此题利用位似的定义即可解答.
例题2
如图，△ABC与是位似图形，点是位似中心，若OA=2AA′,S△ABC=8，则=（ ）
A．18 B．12 C．32 D．16
C
O
A
B
【解析】：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′．
可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又S△ABC=8，
∴S△A'B'C'= =18．故选A
【总结与反思】 此题利用位似的定义即可解答.
类型五：位似图形的画法
例题1
在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点和．
（1）请以点为位似中心，把缩小为原来的一半（不改变方向），得到．
（2）请用适当的方式描述的顶点，，的位置．
【解析】本题主要考查了相似图形里的位似作图
运用相似的原理，进行图形的扩大或者缩小变换，要求熟练掌握相似作图．
解：（1）利用三角形相似作图，连接OA，OB，OC，分别找出这三条线段的中点A′、B′、C′，顺次连接A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；如图所示．
（2）描述△A′B′C′的顶点A′、B′、C′的位置可建立坐标系用坐标来描述；也可说成点A′、B′、C′的位置分别为OA、OB、OC的中点等．
【总结与反思】 此题利用位似的定义和性质即可解答.
四 、课堂运用
基础
1.两相似三角形对应高的比为3︰4，则对应中线的比为（ ）
A．3︰4 B．9︰16 C． D．4︰3
2.如果两个相似三角形对应高之比是9︰16，那么它们的对应周长之比是（ ）
A．︰4 B．4︰3 C．9︰16 D．16︰9
3.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
4.两个相似三角形的相似比为2︰5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．
5.如果两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，小三角形的面积是24cm2，那么大三角形的面积是_________cm2．
6.如图，DC∥AB，OA=2OC，，则与的位似比是________．
答案与解析
1.【答案】A
【解】相似三角形对应线段的比等于相似比．
2.【答案】C
【解析】相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比也等于相似比．
3.【答案】D
【解析】根据位似图形的性质依次分析各项即可判断.
A.位似图形是相似图形，不可以通过平移而相互得到，故本选项错误；
B.位似图形的对应边平行或共线且对应成比例，故本选项错误；
C.位似图形的位似中心只有一个，故本选项错误；
D.位似中心到对应点的距离之比都相等，本选项正确；
故选D.
4.【答案】15
【解析】设较大三角形的周长为x，则较小三角形的周长为x－9，根据周长的比等于相似比可得（x－9）︰x＝2︰5，解得x＝15，即较大三角形的周长为15
5.【答案】36.
【解析】由两个相似三角形周长比为2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，又由相似三角形周长的比等于相似比，所以大三角形的面积=小三角形的面积=36 cm2.
6.【答案】1︰2
【解析】本题考查了位似变换.
先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OCD与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
解：∵DC∥AB
∴△OAB∽△OCD
∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O
∴△OCD与△OAB的位似
∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
巩固
1.如果两个相似三角形的对应边上的高之比是2:3，则它们的周长比是
2.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小的“E”中是位似图形的是 ( )
A．左上 B．左下 C．右上 D．右下
3.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是
4.如图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC和△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为_______；
（3）以O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.
答案与解析
1.【答案】2:3
【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应周长的比为2：3．
故答案为：2：3．
2.【答案】B
【解析】解：根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下较小的“E“是位似图形．
故选B
3.【答案】-2.5
【解析】根据位似的性质和坐标系的知识即可解答此题
4.【答案】（2）1：2
（1）（3）如图所示
【解析】位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O．△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即3：6=1：2．要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1．
拔高
1.例八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：
（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；
（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．
答案与解析
1.【答案】见解析
【解析】相似多边形的面积的比等于相似比的平方，因而已知面积的比，就可以求出边长的比，求出A′C的长就可以解决．
解：（1）有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）；（3分）
（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′
再利用（1）的结论，得到证明；（6分）
（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，
∴菱形ABCD与菱形A′FCE的面积比为2：1，
∴对应边之比为：1，即AC：A′C=：1，（7分）
∵AC=，
∴A′C=1，（9分）
∴AA′=﹣1．（10分）
五 、课堂小结
本节的重要内容：三角形、多边形相似的性质及位似的定义和性质
1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比.
2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
六 、课后作业
基础
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 .
2.两个相似三角形的相似比为2:3，它们的面积和为65，那么较大三角形的面积是______.
3.两个相似三角形面积之比是9:25,较大的三角形的周长是20cm,则较小的三角形的周长是______cm.
4.两个相似三角形的相似比为2 ：3，面积差为30cm2，则较小三角形的面积为 cm2．
5.如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0）.把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点，下列说法正确的是( )
A.和△ABC是位似图形，位似中心是（1，0）.
B.和△ABC是位似图形，位似中心是（0，0）.
C.和△ABC是相似图形，但不是位似图形.
D.和△ABC不是相似图形．
答案与解析
1.【答案】1、2∶3，2∶3，2∶3，2∶3，4∶9
【解析】根据相似三角形的性质依次填空即可.
若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是2∶3，对应中线的比是2∶3，对应角平分线的比是2∶3，周长比是2∶3，面积比是4∶9.
2.【答案】45
【解析】∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为4：9，
∵它们的面积之和为65，
∴较大的三角形的面积是：65×=45（cm2）
3.【答案】12
【解析】
试题分析：两个相似三角形的面积比是9：25，
面积比是周长比的平方，
∴小三角形与打三角形的相似比是3：5．
相似三角形周长的比等于相似比，
因而设小三角形的周长为xcm，
则有x：20=3：5，
解得x=12
4.【答案】24
【解析】解：相似比为2 ：3，面积比为4 ：9，设这两个三角形的面积分别为，
由题意得，，解得，所以较小三角形的面积为
5.【答案】B
【解析】根据位似图形的性质可知，△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，可求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=-x，y=0，所以可知△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．解答：解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点A′，B′，C′的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=- x，y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
巩固
1.已知，如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.
2.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为 .
3.如图，已知图中每个小方格都是边长为1的正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则△ABC与△A1B1C1的位似中心的坐标是 ．
4.如下图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0），以点C为位似中心，在轴的下方作△ABC的位似图形△A，B，C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B’的横坐标是，则点B的横坐标是（）
A. B. C. D.
5.画出⊿ABC以点P为位似中心的位似图形且⊿ABC与 ⊿A＇B＇C＇的位似比是2∶1.
答案与解析
1.【答案】△A′B′C′，7∶4，△OA′B′，7∶4
【解析】根据位似图形的定义得到△ABC与△A′B′C′；△OAB与△OA′B′是位似图形，再根据位似图形的性质即可得到结果．由题意得△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为7：4；△OAB与△OA′B′是位似图形，位似比为7：4．
2.【答案】50cm
【解析】本题考查了位似变换.
两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，则相似比是3：5，而周长的比等于相似比，较小图形周长为30cm，则较大图形周长为50cm．
解：∵相似比是3：5，小图形周长为30cm
∴较大图形周长为50cm．
3.【答案】(9,0)
【解析】相似三角形的位似中心在对应点连线的交点,所以A1A、C1C的交点（9,0）就是位似中心.
4.【答案】见解析
【解析】点B、B‘向x引垂线、垂足分别为M、N
NC=NO+1
BMCB'NO（理由你懂得）
BO=(1+a）+1
因为在第二象限
所以为负数
-（1+a）+1= -（a+3）
5.【答案】
【解析】延长AP，BP，CP，根据相似比，在延长线上分别截取AO，BO，CO的2倍，确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似图形△A'B'C'
拔高
1.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．
2.在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交、或其延长线于、两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点旋转，是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出是等腰直角三角形时的长），若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点旋转，线段和之间有什么数量关系？用图①或②加以证明；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点处（如图③），当时，和有怎样的数量关系？证明你发现的结论．
答案与解析
1.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5
【解析】（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴
∵BD=CD，
∴．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=6．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，
∴AD=8
∴S△ABC=BC•AD=×12×8=48．
S△DEF=S△ABC=×48=12．
又∵AD•BD=AB．DH，
∴DH=，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=．
∵S△DEF=×EF×DG=12，
∴EF==5．
2.【答案】（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF．（3）PE：PF=1：3．
【解析】（1）由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，③当OC=FC时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度；
（2）连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
（3）过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=1：4得出PE：PF=1：3．
试题解析：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，
①当F为BC的中点时，
∵O点为AC的中点，
∴OF∥AB，
∴CF=OF=AB=，
∵AB=BC=5，
∴BF=，
②当B与F重合时，
∵OF=OC=，
∴BF=0；
（2）如图1，连接OB，
∵由（1）的结论可知，BO=OC=，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C，
∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴OE=OF．
（3）如图3，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠AMP=∠FNP=90°，
∴△PNF∽△PME，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC为等腰直角三角形
∴△APM∽△PNC，
∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，
∴PE：PF=1：3．
七 、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、相似三角形中对应线段的比
2、相似三角形周长的比
3、相似三角形周长的比
4、相似三角形性质的综合
5、位似图形的定义
6、位似图形的性质
7、位似图形的画法
教学目标
1、掌握三角形相似的性质.
2、掌握图形的位似的性质及画法.
教学重点
能熟练掌握相似三角形的性质.
教学难点
能熟练掌握相似三角形的性质.
第13讲
讲
相似三角形的性质及位似
概 述
【教学建议】
在这一讲中着重讲的是相似三角形的性质，在讲解本讲前.先复习一下学习过的有关相似的知识，会使学生更好的理解本讲中的性质.
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
本讲是相似三角形的性质为主要知识点，在学习的时候要让注意复习回顾学过的有关相似的知识点.
三角形相似我们已经学习过很多知识点，本讲针对三角形和多边形的性质来把学习过的知识点综合讲述，相信本讲会使同学们对于三角形的相似有一个更深入的认识.
二、知识讲解
考点1 相似三角形的性质
1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比.
2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
考点2 相似多边形的性质
1、相似多边形对应角相等，对应线段之比等于相似比，对应周长比等于相似比，对应面积比等于相似比的平方，而相似三角形是相似多边形的特例，因此，相似三角形具有相似多边形的一切性质.
2、四条边以上的多边形可分割成若干个三角形，相似多边形还具有“对应三角形相似的性质”.
3、相似多边形面积比等于相似比的平方，反之，相似多边形的相似比等于面积比的算术平方根.
说明：相似多边形的定义、性质与相似三角形基本一致，而相似多边形的判别与相似三角形是有区别的，对应角相等或对应边成比例的三角形相似，而只有对应角相等且对应边成比例的多边形才相似，所以不能把判别三角形相似的方法套用在多边形相似上，如两个矩形各角都相等，但对应边不一定成比例，所以矩形不一定相似，又如，两个菱形对应边成比例，但对应角不相等，所以菱形不一定相似，另外，研究多边形相似通常利用添加辅助线划为三角形.
考点3 相似多边形的性质的应用
1、用来证明角相等，线段成比例.
2、证明线段的平方比.
3、证明三角形相似.
考点4 位似的定义和性质
4、用于有关计算.
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比.
说明：（1）位似图形上任意两组对应点连线的交点或其延长线的交点就是位似中心，位似中心和两对对应点构成“A型”或“X型”的基本图形.
（2）利用位似图形的定义可将一个图形放大或缩小.
（3）位似图形是相似图形的特例，不仅要求形状相同，而且还要求对应点的连线相交于同一点，因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
三 、例题精析
类型一 相似三角形中对应线段的比
例题1
两个相似三角形的相似比为1：2，则对应高的比为 （ ）
1：1 B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4
【解析】B
三角形的相似比是1：2，
那么这两个三角形对应边上的高的比是1：2．
故选B.
【总结与反思】三角形相似的性质即可解答此题.
类型二 相似三角形面积的比
例题1
如果两个相似三角形的相似比为2：3, 那么这两个相似三角形的面积比为__
【解析】4：9
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的面积比为4：9．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【总结与反思】 此题利用相似三角形的性质来解答.
类型三：相似三角形性质的综合
例题1
已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
【解析】设EF=，则GF=2．
∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC．
∴
∵AH=6，BC=12，∴．
解得=3
∴矩形DEFG的周长为18．
【总结与反思】 此题利用相似三角形的综合性质来解答.
类型四：位似图形的定义与性质
例题1
下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①②
C．③④ D．②③④
【解析】相似图形不一定是位似图形，故①错；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错；
其他都正确．故选A．
【总结与反思】 此题利用位似的定义即可解答.
例题2
如图，△ABC与是位似图形，点是位似中心，若OA=2AA′,S△ABC=8，则=（ ）
A．18 B．12 C．32 D．16
C
O
A
B
【解析】：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′．
可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又S△ABC=8，
∴S△A'B'C'= =18．故选A
【总结与反思】 此题利用位似的定义即可解答.
类型五：位似图形的画法
例题1
在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点和．
（1）请以点为位似中心，把缩小为原来的一半（不改变方向），得到．
（2）请用适当的方式描述的顶点，，的位置．
【解析】本题主要考查了相似图形里的位似作图
运用相似的原理，进行图形的扩大或者缩小变换，要求熟练掌握相似作图．
解：（1）利用三角形相似作图，连接OA，OB，OC，分别找出这三条线段的中点A′、B′、C′，顺次连接A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；如图所示．
（2）描述△A′B′C′的顶点A′、B′、C′的位置可建立坐标系用坐标来描述；也可说成点A′、B′、C′的位置分别为OA、OB、OC的中点等．
【总结与反思】 此题利用位似的定义和性质即可解答.
四 、课堂运用
基础
1.两相似三角形对应高的比为3︰4，则对应中线的比为（ ）
A．3︰4 B．9︰16 C． D．4︰3
2.如果两个相似三角形对应高之比是9︰16，那么它们的对应周长之比是（ ）
A．︰4 B．4︰3 C．9︰16 D．16︰9
3.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
4.两个相似三角形的相似比为2︰5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．
5.如果两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，小三角形的面积是24cm2，那么大三角形的面积是_________cm2．
6.如图，DC∥AB，OA=2OC，，则与的位似比是________．
答案与解析
1.【答案】A
【解】相似三角形对应线段的比等于相似比．
2.【答案】C
【解析】相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比也等于相似比．
3.【答案】D
【解析】根据位似图形的性质依次分析各项即可判断.
A.位似图形是相似图形，不可以通过平移而相互得到，故本选项错误；
B.位似图形的对应边平行或共线且对应成比例，故本选项错误；
C.位似图形的位似中心只有一个，故本选项错误；
D.位似中心到对应点的距离之比都相等，本选项正确；
故选D.
4.【答案】15
【解析】设较大三角形的周长为x，则较小三角形的周长为x－9，根据周长的比等于相似比可得（x－9）︰x＝2︰5，解得x＝15，即较大三角形的周长为15
5.【答案】36.
【解析】由两个相似三角形周长比为2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，又由相似三角形周长的比等于相似比，所以大三角形的面积=小三角形的面积=36 cm2.
6.【答案】1︰2
【解析】本题考查了位似变换.
先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OCD与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
解：∵DC∥AB
∴△OAB∽△OCD
∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O
∴△OCD与△OAB的位似
∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
巩固
1.如果两个相似三角形的对应边上的高之比是2:3，则它们的周长比是
2.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小的“E”中是位似图形的是 ( )
A．左上 B．左下 C．右上 D．右下
3.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是
4.如图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC和△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为_______；
（3）以O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.
答案与解析
1.【答案】2:3
【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应周长的比为2：3．
故答案为：2：3．
2.【答案】B
【解析】解：根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下较小的“E“是位似图形．
故选B
3.【答案】-2.5
【解析】根据位似的性质和坐标系的知识即可解答此题
4.【答案】（2）1：2
（1）（3）如图所示
【解析】位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O．△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即3：6=1：2．要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1．
拔高
1.例八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：
（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；
（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．
答案与解析
1.【答案】见解析
【解析】相似多边形的面积的比等于相似比的平方，因而已知面积的比，就可以求出边长的比，求出A′C的长就可以解决．
解：（1）有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）；（3分）
（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′
再利用（1）的结论，得到证明；（6分）
（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，
∴菱形ABCD与菱形A′FCE的面积比为2：1，
∴对应边之比为：1，即AC：A′C=：1，（7分）
∵AC=，
∴A′C=1，（9分）
∴AA′=﹣1．（10分）
五 、课堂小结
本节的重要内容：三角形、多边形相似的性质及位似的定义和性质
1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比.
2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
六 、课后作业
基础
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 .
2.两个相似三角形的相似比为2:3，它们的面积和为65，那么较大三角形的面积是______.
3.两个相似三角形面积之比是9:25,较大的三角形的周长是20cm,则较小的三角形的周长是______cm.
4.两个相似三角形的相似比为2 ：3，面积差为30cm2，则较小三角形的面积为 cm2．
5.如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0）.把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点，下列说法正确的是( )
A.和△ABC是位似图形，位似中心是（1，0）.
B.和△ABC是位似图形，位似中心是（0，0）.
C.和△ABC是相似图形，但不是位似图形.
D.和△ABC不是相似图形．
答案与解析
1.【答案】1、2∶3，2∶3，2∶3，2∶3，4∶9
【解析】根据相似三角形的性质依次填空即可.
若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是2∶3，对应中线的比是2∶3，对应角平分线的比是2∶3，周长比是2∶3，面积比是4∶9.
2.【答案】45
【解析】∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为4：9，
∵它们的面积之和为65，
∴较大的三角形的面积是：65×=45（cm2）
3.【答案】12
【解析】
试题分析：两个相似三角形的面积比是9：25，
面积比是周长比的平方，
∴小三角形与打三角形的相似比是3：5．
相似三角形周长的比等于相似比，
因而设小三角形的周长为xcm，
则有x：20=3：5，
解得x=12
4.【答案】24
【解析】解：相似比为2 ：3，面积比为4 ：9，设这两个三角形的面积分别为，
由题意得，，解得，所以较小三角形的面积为
5.【答案】B
【解析】根据位似图形的性质可知，△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，可求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=-x，y=0，所以可知△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．解答：解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点A′，B′，C′的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=- x，y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
巩固
1.已知，如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.
2.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为 .
3.如图，已知图中每个小方格都是边长为1的正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则△ABC与△A1B1C1的位似中心的坐标是 ．
4.如下图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0），以点C为位似中心，在轴的下方作△ABC的位似图形△A，B，C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B’的横坐标是，则点B的横坐标是（）
A. B. C. D.
5.画出⊿ABC以点P为位似中心的位似图形且⊿ABC与 ⊿A＇B＇C＇的位似比是2∶1.
答案与解析
1.【答案】△A′B′C′，7∶4，△OA′B′，7∶4
【解析】根据位似图形的定义得到△ABC与△A′B′C′；△OAB与△OA′B′是位似图形，再根据位似图形的性质即可得到结果．由题意得△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为7：4；△OAB与△OA′B′是位似图形，位似比为7：4．
2.【答案】50cm
【解析】本题考查了位似变换.
两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，则相似比是3：5，而周长的比等于相似比，较小图形周长为30cm，则较大图形周长为50cm．
解：∵相似比是3：5，小图形周长为30cm
∴较大图形周长为50cm．
3.【答案】(9,0)
【解析】相似三角形的位似中心在对应点连线的交点,所以A1A、C1C的交点（9,0）就是位似中心.
4.【答案】见解析
【解析】点B、B‘向x引垂线、垂足分别为M、N
NC=NO+1
BMCB'NO（理由你懂得）
BO=(1+a）+1
因为在第二象限
所以为负数
-（1+a）+1= -（a+3）
5.【答案】
【解析】延长AP，BP，CP，根据相似比，在延长线上分别截取AO，BO，CO的2倍，确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似图形△A'B'C'
拔高
1.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．
2.在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交、或其延长线于、两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点旋转，是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出是等腰直角三角形时的长），若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点旋转，线段和之间有什么数量关系？用图①或②加以证明；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点处（如图③），当时，和有怎样的数量关系？证明你发现的结论．
答案与解析
1.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5
【解析】（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴
∵BD=CD，
∴．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=6．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，
∴AD=8
∴S△ABC=BC•AD=×12×8=48．
S△DEF=S△ABC=×48=12．
又∵AD•BD=AB．DH，
∴DH=，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=．
∵S△DEF=×EF×DG=12，
∴EF==5．
2.【答案】（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF．（3）PE：PF=1：3．
【解析】（1）由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，③当OC=FC时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度；
（2）连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
（3）过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=1：4得出PE：PF=1：3．
试题解析：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，
①当F为BC的中点时，
∵O点为AC的中点，
∴OF∥AB，
∴CF=OF=AB=，
∵AB=BC=5，
∴BF=，
②当B与F重合时，
∵OF=OC=，
∴BF=0；
（2）如图1，连接OB，
∵由（1）的结论可知，BO=OC=，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C，
∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴OE=OF．
（3）如图3，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠AMP=∠FNP=90°，
∴△PNF∽△PME，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC为等腰直角三角形
∴△APM∽△PNC，
∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，
∴PE：PF=1：3．
七 、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、相似三角形中对应线段的比
2、相似三角形周长的比
3、相似三角形周长的比
4、相似三角形性质的综合
5、位似图形的定义
6、位似图形的性质
7、位似图形的画法
教学目标
1、掌握三角形相似的性质.
2、掌握图形的位似的性质及画法.
教学重点
能熟练掌握相似三角形的性质.
教学难点
能熟练掌握相似三角形的性质.
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