初中北师大版2 反比例函数的图象与性质教学设计

这是一份初中北师大版2 反比例函数的图象与性质教学设计，共50页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思， 等内容，欢迎下载使用。

第16讲


讲























反比例函数的图像与性质















































概 述














【教学建议】


反比例函数的应用广泛且十分重要，在教学过程中要提醒学生做好笔记.


【知识导图】























教学过程








一、导入








【教学建议】


本讲的反比例函数是一个全新的函数，图像和性质十分重要，在学习图像和性质的知识时，要提醒学生对比一次函数性质，对反比例函数有一个更深刻的理解.


反比例函数是每年中考中的热门考点，其形式较为简单，但经常结合一次函数出题，在学习本讲可以对比一次函数的图像与性质，从而对函数有一个新的认识.





二、知识讲解











考点1 反比例函数的图像与性质








图像是曲线的形式，且关于原点中心对称.


当k＞0时，图像位于一三象限，y值随着x值得增大而减小；


当k＜0时，图像位于二四象限，y值随着x值得增大而增大.


随着x的变化，y值无限接近于0，但不等于0，即y值可取不等于0的任意值.





三 、例题精析








类型一 反比例函数图像的分布





例题1





已知反比例函数的图像经过P（－1，2），则这个函数的图像位于（ ）


A.第二，三象限 B.第一，三象限


C.第三，四象限 D.第二，四象限


【解析】D


先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可：


∵知反比例函数的图像经过P（－1，2），


∴k=-1×2=-2＜0.


∴函数的图象位于第二，四象限．


故选D．


【总结与反思】本题较为简单，使用反比例函数的图像分布规律即可得出答案.





类型二 反比例函数的增减性





例题1








已知反比例函数的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A(，y1)、B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为（ ）.


A、y1＞y2 B、y1＝y2 C、y1＜y2 D、无法确定


【解析】A


本题考查的是反比例函数图象的性质


根据反比例函数图象的增减性即可判断.


图象在第二、第四象限说明，在每一象限内，随的增大而增大，


，，故选A.


【总结与反思】 解答本题的关键是掌握反比例的函数的图像与性质中的增减性．





类型三 反比例函数与一次函数交点问题





例题1








在同一坐标系中，函数和的图像大致是（ ）


x


x


x


x


y


y


y


y


O


O


O


O





A． B． C． D．


【解析】B


当k＞0时，反比例图象在一、三象限而一次函数也必过一、三象限且与y轴交于正半轴.故选择B.


【总结与反思】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质.分情况讨论.


类型四 反比例函数图像中的面积问题





例题1








如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（ ）





A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4





【解析】D


因为图象在第二象限，


所以k＜0，


根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2×2=4，


所以k=﹣4．


故选D


【总结与反思】 解答本题的关键是掌握反比例的函数的图像与性质.





类型五 反比例函数找规律





例题1








两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005= ．








【解析】由题意可知：P2005的坐标是（x2005，4009），


又∵P2005在y=上，


∴x2005=，


∵Q2005在y=上，且横坐标为x2005，


∴y2005==2004．5．


【总结与反思】 解答本题的关键是掌握反比例的函数的图像与性质．





类型六 反比例函数综合题





例题1








如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）





A.（，0） B.（1，0） C.（，0） D.（，0）


【解析】D


在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当点P与点P′重合时，PA﹣PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大；把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，即可得A（，2），B（2，）；设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式为y=﹣x+，所以当y=0时，x=，即P（，0），故答案选D.





【总结与反思】 解答本题的关键是掌握反比例的函数的图像与性质．








四 、课堂运用








基础








y





x





y


x


x





y


y


x





1.反比例函数（k＜0）的大致图像是（ ）

















A B C D


2.已知点(1，a)在反比例函数y= (k≠0)的图象上，其中a=m2+2m+5(m为实数)，则这个函数的图象在第_________象限.（ ）


A.一B.二C.一、三D.二、四


3.若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在（ ）


A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限


4.如图所示，过双曲线上两点A、B分别作x轴、y轴的垂线，若矩形ADOC与矩形BFOE的面积分别为S1、S2，则S1与S2的关系是（ ）





A. S1＜S2 B. S1=S2


C. S1＞S2 D. 不能确定


5.正比例函数y=－x与反比例函数的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D(如图)，则四边形ABCD的面积为（ ）





A.1 B. C.2 D.


6.已知反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的值可以是 (写出满足条件的一个k的值即可).


7.已知反比例函数的图像的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是 ．


8.已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m，－2），则m的值是＿＿．





答案与解析


1.【答案】B


【解析】根据反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．


当k＜0时，反比例函数y=的图象在二、四象限．


故选B．


2.【答案】C


【解析】本题考查的是反比例函数的图象


先配方即可得到的范围，从而可以判断函数的图象所在的象限.


，


点（1，）在第一象限，


这个函数的图象在一、三象限，


故选C.


3.【答案】B


【解析】本题考查的是反比例函数的性质


由反比例函数的图象经过点（m，3m），其中，将，代入反比例解析式中表示出k，根据m不为0，得到k恒大于0，即可得到此反比例函数图象在第一、三象限．


由题意得，


，，


此反比例函数的图象在第一、三象限，


故选B.


4.【答案】B


【解析】


试题分析：因为A，B都是双曲线y= eq \f(k,x)（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上的两点，根据过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所围成的矩形面积S是个定值，即，可知．


依题意可知， ，


故选B．


5.【答案】C


【解析】


试题分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，得出，从而得出结果．


根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，AB=CD，


∵四边形ABCD的面积等于，


∵A（1，1），B（1，0），C（-1，-1），D（-1，0）


∴，


，


∴四边形ABCD的面积=2．


故选C．


6.【答案】＜-2的任意数


【解析】


试题分析：解：


该反比例函数图像位于第二，四象限，所以


k+2＜0，


∴k＜-2


故，满足＜-2的任意数


考点：反比例函数的图像


7.【答案】m＞1．


【解析】


试题分析：根据反比例函数的图象关于原点对称可得到图象的另一分支所在的象限及m的取值范围．


试题解析：∵反比例函数的图象关于原点对称，图象一支位于第一象限，


∴图象的另一分支位于第三象限；


∴m-1＞0，


∴m＞1．


8.【答案】－3


【解析】本题考查的是反比例函数的解析式


先把（3，2）用待定系数法求出反比例函数解析式，再将（m，－2）代入求得


设反比例函数解析式为，


图象过点（3，2）


，


反比例函数解析式为，


当时，，解得





巩固








1、如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】





A．0＜x＜2 B．x＞2 C．x＞2或-2＜x＜0 D．x＜－2或0＜x＜2


2.在同一直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（ ）





3.如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，-2），则点F的坐标是（ ）





A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）





4.如图，四边形ABCD是平行四边形，顶点A、B的坐标分别是A（1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线上，边AD与轴相交于点E，=10，则k的值是（ ）





（A）16 （B）9 （C）8 （D）12


5.双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是





如图，双曲线y=交矩形OABC的边分别于点D、E，若BD=2AD，且四边形ODBE的面积为8，则k=








答案与解析


1.【答案】D.


【解析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论：


∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称.


∵A（2，1），∴B（－2，－1）.


∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜－2时函数y1的图象在y2的上方，


∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜－2或0＜x＜2.故选D.


2.【答案】D．


【解析】


试题分析： A、由函数y=kx-k的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＞0，相矛盾，故A错误；


B、由函数y=kx-k的图象可知k＞0，由函数y=的图象可知k＜0，相矛盾，故B错误；


C、由函数y=kx-k的图象可知k＞0，与-k＞0矛盾，故C错误；


D、由函数y=kx-k的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＜0，故D正确；


故选D．


3.【答案】C．


【解析】


试题分析：∵正方形的顶点A（m，2），


∴正方形的边长为2，


∴BC=2，


而点E（n，），


∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，），


∴k=2•m=（2+m），解得m=1，


∴E点坐标为（3，），


设直线GF的解析式为y=ax+b，


把E（3，），G（0，-2）代入得，解得，


∴直线GF的解析式为y=x-2，


当y=0时，x-2=0，解得x=，


∴点F的坐标为（，0）．


故选C．


考点：反比例函数与一次函数的交点问题．


4.【答案】D


【解析】


试题分析：过点D作DM⊥x轴，垂足为F，交BC与点F，过点C分别作CN⊥x轴、CH⊥DM，垂足分别为N、H，


∵S四边形BEDC=S△ABE=10，∴S△ABE=2，即BE·AO=2，∵A（1，0），∴OA=1，∴BE=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，∠ABC=∠CDA，∵DM//BE，∴∠EBC=∠EDM，∴∠CDH=∠ABO，∵∠AOB=∠CDH，∴△CDH≌△ABO，∴CH=AO=1，DH=BO=2，又∵BC//AD，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DF=BE=4，∴S△CDF=×4×1=2，∴S四边形BEDF=10-2=8，即BE·OM=8，∴OM=2，∴M（-2，0），∴设D（-2，m），C（-3，m-2），∴-2m=-3（m-2）=k，∴m=6，∴k=-12；


故选D．





考点：反比例函数综合题．


5.【答案】y2=6x．


【解析】根据y1=4x，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．


解：∵y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，S△AOB=1，


∴△CBO面积为3，


∴xy=6，


∴y2的解析式是：y2=6x．


6.【答案】4


【解析】设D点的横坐标为x，则其纵坐标为，根据BD=2AD，得到点B点的坐标为（3x，），点C的坐标为（3x，0）利用S四边形ODBE=8，即S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD=8，得到有关k的方程求解即可．


解：设D点的横坐标为x，则其纵坐标为，


∵BD=2AD，


∴点B点的坐标为（3x，），点C的坐标为（3x，0）


∵S四边形ODBE=8，


∴S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD=8，


即：3x•﹣﹣=8


解得：k=4．


故答案为4．








拔高








1.如图，直y=mx与双曲线y=交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（ ）





A．1B．m﹣1C．2D．m


2.如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC＝（m－1）:1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为（ ）





A． B． C． D．


3.如图，直线l与反比例函数在第一象限内的图像交于A、B，且两点与x轴的正半轴交于C点.若AB=2BC，△OAB的面积为8，则k的值为（ ）





A、6 B、9 C、12 D、18


4.如图，在反比例函数y=（x>0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…n．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…Sn，则S1+S2+S3+…+Sn= ．（用n的代数式表示）


5.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：


①△OCN≌△OAM；


②ON=MN；


③四边形DAMN与△MON面积相等；


④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为.


其中正确的个数是（）





A．1 B．2 C．3 D．4





答案与解析


1.【答案】A


【解析】


试题分析：利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知．


解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称，


∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，


∴△AMO和△BMO的面积相等，且为，


∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1，


又因为点A在第一象限内，


所以可知反比例函数的系数k为1．


故选A．


2.【答案】B


【解析】


试题分析：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，根据相似三角形的判定得到△CAD∽△CBE，则CB：CA=BE：AD，而AB：BC=（m-1）：1（m＞1），则有AC：BC=m：1，AD：BE=m：1，





设A点坐标为（，m），则B点的坐标为（2,1），由反比例函数的性质知,


因此


=


=（2-）（m+1）


=．


故选B


3.【答案】A．


【解析】 作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，先证明△CBE∽△CAD，利用相似比得到AD=3BE，设B（t，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到A点坐标为（，），根据反比例函数的比例系数的几何意义得S△AOD=S△BOE，由于S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，所以S△AOB=S梯形ABED，然后利用梯形的面积公式计算即可求得．


试题解析：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，





∵BE∥AD，


∴△CBE∽△CAD，


∴，


∵AB=2BC，


∴CB：CA=1：3，


∴，


∴AD=3BE，


设B（t，），则A点坐标为（，），


∵S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，


而S△AOD=S△BOE=k，


∴S△AOB=S梯形ABED=（+）•（t-t）=8，


解得:k=6．


故选A．


考点：反比例函数与一次函数的交点问题．


4.【答案】


【解析】求出P1､P2､P3､P4…的纵坐标，从而可计算出S1､S2､S3､S4…的高，进而求出S1､S2､S3､S4…，从而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．


解答：当x=1时，P1的纵坐标为2，


当x=2时，P2的纵坐标1，


当x=3时，P3的纵坐标，


当x=4时，P4的纵坐标，


当x=5时，P5的纵坐标，


…．


则S1=1×（2-1）=2-1；


S2=1×（1-）=1-；


S3=1×（-）=-；


S4=1×（-）=-；


…


Sn=；


S1+S2+S3+…+Sn=2-1+1-+-+-+…+=2-=


故答案为：


5.【答案】C．


【解析】设正方形OABC的边长为a，


则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．


∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．


根据勾股定理，，，∴ON和MN不一定相等．结论②错误．


∵，∴．结论③正确．


如图，过点O作OH⊥MN于点H，则





∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．


∵∠MON=450，MN=2，∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．


∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．∴，即．


由，得：，∴，∴．


解得：（舍去负值）．


∴点C的坐标为．结论④正确．∴结论正确的为①③④3个．故选C．


考点：反比例函数综合题．








五 、课堂小结








本节的重要内容：反比例函数的图像与性质


（1）图像是曲线的形式，且关于原点中心对称.


（2）当k＞0时，图像位于一三象限，y值随着x值得增大而减小；


当k＜0时，图像位于二四象限，y值随着x值得增大而增大.


（3）随着x的变化，y值无限接近于0，但不等于0，即y值可取不等于0的任意值.























六 、课后作业











基础








1.反比例函数与正比例函数图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）





2.反比例函数在第一象限内的图像如图，点M是图像上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是（ ）


y


x


O


P


M





A．1 B．2 C．4 D．


3.如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（-6，4），则△AOC的面积为（ ）





A.12 B．9 C．6 D．4


4.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为（）





A．-2B．4 C．-4 D．2


5.练习：如图，已知矩形OABC的面积是，它的对角线OB与双曲线交于点D，且OB:OD＝5:3，则 ．





6.如图，直线y=6x，y=2 3 x分别与双曲线y=k x 在第一象限内交于点A，B，若S△OAB=8，则k= ．





7.写出一个图象在第一、三象限的反比例函数的解析式 ．


8.若函数的图象是在二、四象限的双曲线，则m= _________ ．


9.如果反比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数的值是 .


10.反比例函数y=的图象既是_________图形又是_________图形，它有_________条对称轴，且对称轴互相_________，对称中心是_________.








答案与解析


1.【答案】B


【解析】本题考查的是反比例函数的图像


此题应先根据正比例函数求出交点坐标为（1，2），再代入反比例函数解析式即得结果.


把代入求出交点的纵坐标为2，即交点的坐标为（1，2），再代入求得，图象位于一、三象限，故选B.


2.【答案】B


【解析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即．


由题意得：，解得，


又因为函数图象在一象限，所以，


故选B.


3.【答案】B．


【解析】∵OA的中点是D，点A的坐标为（-6，4），∴D（-3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=-3×2=-6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积-△BOC的面积=12-3=9．


故选B．


考点：反比例函数系数k的几何意义．


4.【答案】C．


【解析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．





则∠BDO=∠ACO=90°，则∠BOD+∠OBD=90°，


∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠BOD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴=（tanA）2=2，


又∵S△AOC=×2=1，∴S△OBD=2，∴k=-4．


故选C．


5.【答案】12


【解析】设点D的坐标为（x，y），由题意可得点B的坐标为（，），再根据矩形OABC的面积即可得到，从而求得结果.


设点D的坐标为（x，y），由题意可得点B的坐标为（，）


∵矩形OABC的面积


∴


∵图象在第一象限，


∴


6.【答案】6


【解析】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，





设点A（x1，），B（x2，），


联立，解得，


联立，解得，


S△OAB=S△OAC＋S梯形ACDB－S△OBD，


x2 ，


，


，


，


，


∵S△OAB=8，


∴，


解得k=6．


过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据双曲线设出点A、B的坐标，并用直线与双曲线解析式联立求出点A、B的横坐标，再根据S△OAB=S△OAC＋S梯形ACDB－S△OBD，然后列式整理即可得到关于k的方程，求解即可．


7.【答案】答案不唯一，如：y＝，


【解析】本题考查的是反比例函数的解析式


根据图象在第一、三象限的反比例函数的反比例系数即可得到结果.


由题意得，只要的任意数即可，如y＝，.


8.【答案】﹣2﹣


【解析】


试题分析：根据反比例函数的定义及性质可得出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．


解：∵函数的图象是在二、四象限的双曲线，


∴，


解得m=﹣2﹣或m=﹣2+（不合题意舍去）．


故答案为：﹣2﹣．


9.【答案】1，2


【解析】本题考查的是反比例函数的图象的性质


由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，在这个范围写出k的整数解则可．


由题意得，则满足该条件的正整数的值是1，2.


10.【答案】轴对称，中心对称，2，垂直，原点


【解析】


试题分析：根据反比例函数的图象的性质即可得到结果.


反比例函数y=的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，它有2条对称轴，且对称轴互相垂直，对称中心是原点.





巩固











1.若ab>0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（ ）





2.已知一次函数y1＝kx＋b（k＜0）与反比例函数（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是（ ）


A．x＜－1或0＜x＜3


B．－1＜x＜0或0＜x＜3


C．－1＜x＜0或x＞3


D．0＜x＜3


3.练习：若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是（ ）


A. －2 B. －1 C. 1 D. 2


4.下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）


A．B．


C．D．


5.如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）





A．12B．10C．8 D．6


6.如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为（ ）





A．1B．3C．6D．12


7.如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）





A.1＜k＜2 B.1≤k≤3 C.1≤k≤4 D.1≤k＜4


8.如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中点C，D在x轴上，则▱ABCD的面积为（ ）





A.3 B.5 C.7 D.9


9.如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）





A.1 B.2 C.3 D.4





答案与解析


1.【答案】B


【解析】A、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；B、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确；


根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故不符合题意，本选项错误；


根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；


故选A．


2.【答案】A


【解析】简要画出一次函数与反比例函数的图象如下，由图可知当y1＞y2时，x＜－1或0＜x＜3，故选A．





3.【答案】A.


【解析】先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可．


∵反比例函数y＝与一次函数y=x+2的图象没有交点，


∴无解，即=x+2无解，整理得x2+2x-k=0，


∴△=4+4k＜0，解得k＜-1，四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件．


故选A．


4.【答案】C


【解析】根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可．


解：A、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；


B、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；


C、如图所示，分别过点MN作MA⊥x轴，NB⊥x轴，则S阴影=S△OAM+S阴影梯形ABNM﹣S△OBN=×2+（2+1）×1﹣×2=；





D、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴×1×4=2．


∵＜2，


∴C中阴影部分的面积最小．


故选C．


5.【答案】A


【解析】先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线y=上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE﹣S矩形AEOD即可得出k的值．


解：∵双曲线y=（k≠0）在第一象限，


∴k＞0，


延长线段BA，交y轴于点E，


∵AB∥x轴，


∴AE⊥y轴，


∴四边形AEOD是矩形，


∵点A在双曲线y=上，


∴S矩形AEOD=4，


同理S矩形OCBE=k，


∵S矩形ABCD=S矩形OCBE﹣S矩形AEOD=k﹣4=8，


∴k=12．


故选A．





6.【答案】C


【解析】过点A作AE⊥OB于点E，则可得▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，继而结合反比例函数的k的几何意义即可得出答案．


解：过点A作AE⊥OB于点E，





因为矩形ADOE的面积等于AD×AE，平行四边形ABCD的面积等于：AD×AE，


所以▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，


根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOC的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．


故选C．


7.【答案】C．


【解析】点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），


∵AB=AC=2，


∴B点的坐标是（3，1），


∴BC的中点坐标为（2，2）


当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；


当双曲线y=经过点（2，2）时，k=4，


因而1≤k≤4．


故选C．


考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.等腰直角三角形．


8.【答案】B


【解析】连结OA、OB，如图，AB交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S△OAE=1，S△OBE=，则S△OAB=，然后根据平行四边形的面积公式求解．


连结OA、OB，如图，AB交y轴于E，∵AB∥x轴，∴S△OAE=×|2|=1，S△OBE=×|﹣3|=，∴S△OAB=，


∵四边形ABCD为平行四边形， ∴▱ABCD的面积=2S△OAB=5．





考点：反比例函数系数k的几何意义


9.【答案】B.


【解析】如图，延长BA交y轴于点E，由已知易得AE⊥y，已知点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，根据反比例函数系数k的几何意义可得四边形AEOD的面积为1，四边形BEOC的面积为3，所以四边形ABCD的面积为3﹣1=2．故答案选B．





考点：反比例函数系数k的几何意义．








拔高








1.一次函数y=-kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（-，y1）、（-1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）


A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3


C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1


2.如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（ ）





A．等于2B．等于C．等于D．无法确定


3.如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k值为 （ ）





A．1B．2C．3D．4


4.如图，直线y1=x+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2=-（x＜0）交于C，D两点，点C的横坐标为-1，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F．下列说法：①b=6；②BC=AD；③五边形CDFOE的面积为35；④当x＜-2时，y1＞y2，其中正确的有（ ）





A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


5.如图，两双曲线y=与y=-分别位于第一、四象限，A是y轴上任意一点，B是y=-上的点，C是y=上的点，线段BC⊥x轴于点 D，且4BD=3CD，则下列说法：①双曲线y=在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为3，则点C的坐标为（3，-）；③k=4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（ ）





A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


6.已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则= ．








答案与解析


1.【答案】D．


【解析】一次函数y=-kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，即：-kx+4=有解，


∴-kx2+4x-k=0，△=16-4k2＞0，k2＜4，


∴2k2-9＜-1＜0，


∴函数图象在二、四象限，


如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，


∵-1＜-，


0＜y2＜y1，


∵当x=时，y3＜0，


∴y3＜y2＜y1，


故选D．


2.【答案】B


【解析】先设出B点坐标，即可表示出C点坐标，根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义即可解答．


解：方法1：设B点坐标为（a，b），


∵OD：DB=1：2，


∴D点坐标为（a，b），


根据反比例函数的几何意义，


∴a•b=k，


∴ab=9k①，


∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数y=的图象上，


∴设C点横坐标为m，


则C点坐标为（m，b）


将（m，b）代入y=得，


m=，


BC=a﹣，


又因为△OBC的高为AB，


所以S△OBC=（a﹣）•b=3，


所以（a﹣）•b=3，


（a﹣）b=6，


ab﹣k=6②，


把①代入②得，


9k﹣k=6，


解得k=．


方法2：延长BC交y轴于E，过D作x轴的垂线，垂足为F．


由△OAB的面积=△OBE的面积，△ODF的面积=△OCE的面积，


可知，△ODF的面积=梯形DFAB=△BOC的面积=，


即k=，


k=．


故选B．





3.【答案】C


【解析】根据S1+S2=4，S1=S2，得出S1，再根据S3=1，得出S1+S3得值，即可求出k=3．


解：∵S1+S2=4，


∴S1=S2═2，


∵S3=1，


∴S1+S3=1+2=3，


∴k=3


故选C．


4．【答案】B．


【解析】①由反比例函数y2=-（x＜0）经过C，点C的横坐标为-1，得


y=-=5，即C（-1，5）．


反比例函数与一次函数交于C、D点，


5=-1+b，解得b=6，故①正确；


②CE⊥y轴于E点，E（0，-5），BE=6-5=1．


反比例函数与一次函数交于C、D点，联立


，


x2+6x+5=0


解得x1=-5，x2=-1，当x=-5时，y=-5+6=1，即D（-5，1），即DF=1，


在△ADF和△CBE中，


，


△ADF≌△CBE（AAS），AD=BC，故②正确；


③作CG⊥x轴．


，


S△CDFOE=S梯形DFGC+S矩形CGOE=


==17，故③错误；


④由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，得-5＜x＜-1，


即当-5＜x＜-1时，y1＞y2，故④错误；


故选B．


考点：反比例函数综合题．


5.【答案】B．


【解析】①∵双曲线y=在第一象限，


∴k＞0，


∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故①正确；


②∵点B的横坐标为3，


∴y=-=-1，


∴BD=1，


∵4BD=3CD，


∴CD=，


∴点C的坐标为（3，），故②错误；


③∵点C的坐标为（3，），


∴k=3×=4，故③正确；


④设B点横坐标为：x，则其纵坐标为：-，故C点纵坐标为：，


则BC=+=，


则△ABC的面积为：，故此选项错误．


故选B．


考点：1.反比例函数的性质；2.反比例函数系数k的几何意义；3.反比例函数图象上点的坐标特征．


6.【答案】


【解析】延长MnPn﹣1交M1P1于N，先根据反比例函数上点的坐标特点易求得M1的坐标为（1，1）；Mn的坐标为（n，）；然后根据三角形的面积公式得=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn，而P1M2=P2M3=…=Pn﹣1Mn=1，则=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1），经过平移得到面积的和为M1N，于是面积和等于（1﹣），然后通分即可．


解：延长MnPn﹣1交M1P1于N，如图，





∵当x=1时，y=1，


∴M1的坐标为（1，1）；


∵当x=n时，y=，


∴Mn的坐标为（n，）；


∴=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1）


=M1N


=（1﹣）


=．


故答案为．




















七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
反比例函数图像的分布


反比例函数的增减性


反比例函数与一次函数交点问题


反比例函数图像中的面积问题


反比例函数找规律


反比例函数综合题
教学目标
1、掌握反比例函数的图像与性质.


2、掌握反比例函数K值的几何意义.
教学重点
能熟练掌握反比例函数的图像与性质.
教学难点
反比例函数K值的几何意义.