2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第五章　平面向量与复数5.3

§5.3　平面向量的数量积
最新考纲
考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.



1.两个向量的夹角

(1)定义
已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围
向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直
如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.

＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
3.向量的数量积
(1)向量的数量积(内积)的定义
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)向量数量积的性质
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③a·a＝|a|2，|a|＝；
④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)；
⑤|a·b|≤|a||b|.
(3)向量数量积的运算律
①交换律：a·b＝b·a.
②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(4)向量数量积的坐标运算与度量公式
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
①a·b＝a1b1＋a2b2；
②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；
③|a|＝；
④cos〈a，b〉＝.
概念方法微思考
1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？
提示　不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cos θ，而b在a方向上的正投影为|b|cos θ，其中θ为a与b的夹角.
2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？
提示　不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量.(　√　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　√　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(4)(a·b)c＝a(b·c).(　×　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　×　)
题组二　教材改编
2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
答案　12
解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________.
答案　－2
解析　由数量积的定义知，b在a方向上的正投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
题组三　易错自纠
4.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
解析　方法一　|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
方法二　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

5.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的正投影为________.
答案　
解析　＝(2,1)，＝(5,5)，
由定义知，在方向上的正投影为
＝＝.
6.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.
答案　－
解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－.

题型一　平面向量数量积的基本运算
1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)
A.8 B.10 C.11 D.12
答案　D
解析　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，
∴a＋b＝(x－2,5)，
又(a＋b)⊥b，
∴(x－2)×(－2)＋20＝0，
∴x＝12.
2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
答案　B
解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，
∴原式＝2×12＋1＝3.
3.(2019·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，

||＝||＝2，〈，〉＝60°，
∵D，E是边BC的两个三等分点，
∴·＝·＝·
＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　求向量的模
例1　(1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　如图所示，

设＝k，所以＝－＝k－，
所以·＝·(k－)
＝k2－·＝25k－5×6×
＝25k－15＝－5，
解得k＝，所以||＝||＝3.
(2)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为(　　)
A.4 B.2 C. D.1
答案　A
解析　因为|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，
所以cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.
如图所示，设＝a，＝b，＝c，

则＝a－c，＝b－c，∠AOB＝120°.
所以∠ACB＝60°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，
所以A，O，B，C四点共圆.
不妨设为圆M，因为＝b－a，
所以2＝a2－2a·b＋b2＝12.
所以||＝2，
由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径为2R＝＝4.
所以当||为圆M的直径时，|c|取得最大值4.
命题点2　求向量的夹角
例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意得a·(a－b)＝a2－a·b
＝4－2×1×cos α＝4－2cos α＝3，
∴cos α＝，∵0≤α≤π，∴α＝.
(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.
答案　
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝
＝＝，
解得λ＝.
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①利用公式|a|＝.
②利用|a|＝.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.
答案　
解析　∵|2a－b|＝1，
∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，
∴4－4|b|cos 30°＋b2＝1，
整理得|b|2－2|b|＋3＝(|b|－)2＝0，
解得|b|＝.
(2)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.
题型三　平面向量与三角函数
例3 已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.
解　(1)a·b＝cos cos －sin ·sin ＝cos 2x.
∵a＋b＝，
∴|a＋b|＝
＝＝2|cos x|.
∵x∈，
∴cos x>0，∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝22－.
∵x∈，∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，
所以m·n＝cos ＝，
即sin x－cos x＝，
所以sin＝，
因为0 所以x－＝，即x＝.


1.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　根据向量数量积的定义式可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为(　　)
A.1 B.－1 C.2 D.－2
答案　B
解析　向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，
则ka－2b＝.
若ka－2b与a垂直，
则k－4＋k＋6＝0，
解得k＝－1.故选B.
3.(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)
A.2 B. C. D.2
答案　A
解析　根据题意，|a－b|＝＝，
则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b ＝5－2a·b＝5，
可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，
可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，
则＝2，故选A.
4.(2018·辽阳模拟)非零向量a，b 满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b 与b 夹角θ的大小为(　　)
A.135° B.120° C.60° D.45°
答案　A
解析　∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，
∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a| 可得，
a2－2a·b＋b2＝a2，
解得|b|＝|a|，
∴cos θ＝＝
＝＝－，
∴θ＝135°，故选A.
5.(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为(　　)
A.－1 B.1 C.－ D.
答案　D
解析　由题意可得 |a|＝|b|＝1，
且 a·b＝|a|×|b|×cos 60°＝，
a·(a－b)＝a2－a·b＝1－＝，
则向量a－b在向量a方向上的正投影为
＝＝.故选D.
6.(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)
A.[－1,0] B.[－1,2]
C.[－1,3] D.[－1,4]
答案　C
解析　如图所示，

由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x－1)2＋(y－1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).
可设点M(x，y)，
A(0,0)，B(2,0).
∴·＝(－x，－y)·(2－x，－y)
＝－x(2－x)＋y2＝(x－1)2＋y2－1，
由∈[0,2]，
∴·∈[－1,3]，故选C.
7.(2018·营口模拟)若平面向量a，b满足·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________.
答案　
解析　∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝7，
∴a·b＝7－b2＝3.
设向量a与b的夹角为α，
则cos α＝＝＝.
又0≤α≤π，
∴α＝，
即向量a与b的夹角为.
8.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的正投影为________.
答案　－
解析　向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，
∴|a＋b|＝
＝＝＝，
解得a·b＝－1.
a在b方向上的正投影为＝＝－.
9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为________.

答案　－17
解析　如图，建立平面直角坐标系，

则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).
则＝(3，－4)，＝(－3,2).
∴·＝3×(－3)－4×2＝－17.
10.已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2且a·b＝1，若e为平面单位向量，则(a－b)·e的最大值为________.
答案　
解析　由|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，
得cos〈a，b〉＝＝，
∴〈a，b〉＝60°，
设a＝(1,0)，b＝(1，)，e＝(cos θ，sin θ)，
∴(a－b)·e＝－sin θ，
∴(a－b)·e的最大值为.
11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·(＋)的最小值.
解　方法一　设BC的中点为D，AD的中点为E，

则有＋＝2，
则·(＋)＝2·
＝2(＋)·(－)
＝2(2－2).
而2＝2＝，
当P与E重合时，2有最小值0，
故此时·(＋)取最小值，
最小值为－22＝－2×＝－.
方法二　以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，

则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，
设P(x，y)，取BC的中点D，
则D.
·(＋)＝2·
＝2(－1－x，－y)·
＝2
＝2.
因此，当x＝－，y＝时，
·(＋)取最小值，为2×＝－.

13.已知O是△ABC内部一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵＋＋＝0，
∴＋＝－，
∴O为三角形的重心，
∴△OBC的面积为△ABC面积的，
∵·＝2，
∴||||cos∠BAC＝2，
∵∠BAC＝60°，∴||||＝4，
△ABC的面积为||||sin∠BAC＝，
∴△OBC的面积为，故选A.
14.(2019·阜新模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设BC的中点为D，
因为点G是△ABC的重心，
所以＝＝×(＋)＝(＋)，
再令||＝c，||＝b，
则·＝bccos 120°＝－3，所以bc＝6，
所以||2＝(||2＋2·＋||2)
＝(c2＋b2－6)≥(2bc－6)＝，
所以||≥，
当且仅当b＝c＝时取等号，故选B.

15.已知，是非零不共线的向量，设＝＋，定义点集A＝，当F1，F2∈A时，若对于任意的m≥3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式≤k恒成立，则实数k的最小值为________.
答案　
解析　由＝＋(m≥3)，
可得P，Q，M三点共线且＝m，
由A＝，
可得cos∠PFM＝cos∠QFM，
即∠PFM＝∠QFM，则FM为∠PFQ的角平分线，
由角平分线的性质定理可得＝＝m，
以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则P，Q，F(x，y)，
于是＝m，
化简得2＋y2＝2，
故点F(x，y)是以为圆心，为半径的圆.要使得不等式对m≥3恒成立，
只需2≤k，即k≥2＝2
对m≥3恒成立，∴k≥2×＝.
16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求·的最大值.

解　设∠OBC＝θ，
则B，C，
A，
M，
·＝×
＋2sin×sin
＝4cos2θ＋2cos2－6cos θcos＋2sin2
＝2＋4cos2θ－6cos θcos
＝2＋4cos2θ－6cos θ
＝2＋cos2θ＋3sin θcos θ
＝＋cos 2θ＋sin 2θ
＝＋sin.
∴·的最大值为＋.