2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第六章第二节　等差数列及其前n项和

第二节　等差数列及其前n项和

突破点一　等差数列的基本运算

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)

(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)

(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

二、填空题

1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．

答案：3

2．在等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________．

答案：14

3．已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________．

答案：4

4．在等差数列{an}中，已知d＝2，S100＝10 000，则Sn＝________.

答案：n2

1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A．－12　　　　　　　 B．－10

C．10  D．12

解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.

2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，

∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，

∴∴或

∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.

(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，

∴Sn＝＝.

解决等差数列基本量计算问题的思路

(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．

(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝＝na1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．

1．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝(　　)

A．10  B．30

C．40  D．20

解析：选B　法一：设数列是公差为d的等差数列，

∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.

法二：由于数列是等差数列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝30.

2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C　甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱，故选C.

3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，

S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，

所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.

(2)令cn＝13－an＝11－2n，

bn＝|cn|＝|11－2n|＝

设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.

当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.

当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.

突破点二　等差数列的性质及应用

等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.

(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．

(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.

(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.

(8)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则

①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

②S偶－S奇＝nd，＝.

(9)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则

①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.

1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.

解析：依题意，得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.

答案：74

2．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．

答案：2

3．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．

答案：26

考法一　等差数列的性质　

[例1]　(1)(2019·武汉模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝(　　)

A．25　　　　　　　 B．27

C．50  D．54

(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{an}中，若a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 010＋a2 018＝(　　)

A．10  B．15

C．20  D．40

[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝2a3－3＝2a1＋4d－3，

∴a5＝a1＋4d＝3，S9＝9a5＝27.

(2)因为a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 019＝10.

由等差数列的性质可知，a1 010＝＝5，a2＋a2 018＝a1＋a2 019＝10，

所以a2＋a1 010＋a2 018＝10＋5＝15.故选B.

[答案]　(1)B　(2)B

[方法技巧]

利用等差数列的性质求解问题的注意点

(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．

(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．

[提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　

考法二　等差数列前n项和最值问题　

等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题．

[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

[解]　(1)设{an}的公差为d，

由题意得3a1＋3d＝－15.

又a1＝－7，所以d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝2n－9.

(2)法一：(二次函数法)

由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，

所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

法二：(通项变号法)

由(1)知an＝2n－9，则Sn＝＝n2－8n.

由Sn最小⇔

即∴≤n≤，

又n∈N*，∴n＝4，

此时Sn的最小值为S4＝－16.

[方法技巧]

求等差数列前n项和Sn最值的2种方法

(1)二次函数法

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)通项变号法

①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　　

1.设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S9＝3a8，则等于(　　)

A．15  B．17

C．19  D．21

解析：选A　因为S9＝a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝3a8，即3a5＝a8.

又S15＝a1＋a2＋…＋a15＝15a8，所以＝＝15.

2.在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)

A．9  B．10

C．11  D．12

解析：选B　∵等差数列有2n＋1项，∴S奇＝，S偶＝.

又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝＝，∴n＝10.

3.等差数列{an}中，Sn为前n项和，且a1＝25，S17＝S9，请问：数列前多少项和最大？

解：法一：∵a1＝25，S17＝S9，

∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.

∵a1＝25>0，由得

∴当n＝13时，Sn有最大值．

法二：∵a1＝25，S17＝S9，

∴17a1＋d＝9a1＋d，

解得d＝－2.

从而Sn＝25n＋(－2)＝－n2＋26n

＝－(n－13)2＋169.

故前13项之和最大．

突破点三　等差数列的判定与证明

[典例]　(2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.

(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

[解]　(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，可得＋＝，故数列 是等差数列，设数列的公差为d.因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，所以－＝5＝5d，即d＝1，所以＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，故an＝.

(2)由(1)可知bn＝＝·＝－，故Sn＝－＋－＋…＋－＝.

[方法技巧]

等差数列的判定与证明方法

[提醒]　判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．

[针对训练]

(2019·沈阳模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.

(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；

(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

解：(1)设数列{an}的公差为d，则

∴∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，

Sn＝na1＋d＝7n－3n2.

(2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2

＝－6n2－4n－6，

2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4，

若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，

则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，

∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．