2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第六章第二节等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n项和

1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d❶(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d❷.
(2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(3)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝❸.
,d＞0⇔{an}为递增数列，
d＝0⇔{an}为常数列，
d＜0⇔{an}为递减数列．
当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．
当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数．
[熟记常用结论]
1．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
2．若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
3．若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
4．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
5．若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.
6．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．
(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、选填题
1．在等差数列中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．6
解析：选B　∵为等差数列，
∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.
2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　设公差为d.∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
又∵a4＝7，∴d＝2.故选B.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于(　　)
A．1 B.
C．－2 D．3
解析：选C　∵S3＝6＝(a1＋a3)，且a3＝a1＋2d，a1＝4，∴d＝－2，故选C.
4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．
解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
答案：487
5．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________．
解析：∵am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，
∴m＝37.
答案：37


考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　　 B．－10
C．10 D．12
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，
则由得
即解得d＝4.
3．(2019·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝(　　)
A．420 B．340
C．－420 D．－340
解析：选D　设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12，得d＝±2，由a1＞0，a2＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340.
4．(2019·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
解析：选B　设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1，故选B.
[名师微点]
等差数列基本运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．
(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．
(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
[提醒]　在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关]
[典例精析]
若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
因为Sn≠0，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式．
故an＝
　
1．(变设问)本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．
解：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，
所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
所以－＝2(n≥2)．
又＝＝2，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以an＋1＝.又an＋1－an＝－＝·＝，
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列．
2．(变条件)将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”变为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．
解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0，
所以Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，
即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0，
因为Sn≠0，所以－＝.
又＝＝，故数列是以首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知＝，所以Sn＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－.
当n＝1时，a1＝2不适合上式，故an＝
[解题技法]
等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列

[提醒]　如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
[过关训练]
1．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
证明：因为bn＋1－bn＝－
＝－＝1，
所以{bn}为等差数列，
又b1＝＝0，所以bn＝n－1，
所以an＝(n－1)·3n＋2n.
2．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为－＝＝，
所以bn＋1－bn＝，
所以数列{bn}是等差数列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1，
知bn＝n＋，
所以an－1＝，所以an＝.

考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2018·咸阳二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝(　　)
A．58 B．54
C．56 D．52
(2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　)
A．100 B．120
C．390 D．540
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 019＝________.
[解析]　(1)∵a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，
∴a4＋a10＝8，∴a1＋a13＝8，
∴S13＝＝＝52.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，
则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，
∴2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
(3)由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，
∴S2 019＝4×2 019＝8 076.
[答案]　(1)D　(2)A　(3)8 076
[解题技法]
一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．
[过关训练]
1．(2019·聊城模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝104，a6＝5，则数列{an}的公差为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d.
因为S13＝104，
所以＝104，所以13a7＝104，解得a7＝8.
因为a6＝5，所以d＝a7－a6＝8－5＝3.
2．(2018·宁德二检)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝(　　)
A．33 B．16
C．13 D．12
解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＋a5＝14，所以a2＋a6＝14，
又a2a6＝33，所以或
当时，d＝＝2，
所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13；
当时，d＝＝－2，
所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13.
综上，a1a7＝13，故选C.
3．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________.
解析：由等差数列前n项和的性质，
得＝＝＝.
答案：
考点四等差数列前n项和的最值问题[师生共研过关]
[典例精析]
在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．
[解析]　法一　通项法
设等差数列{an}的公差为d.
由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.
由得解得≤n≤.
因为n∈N*，
所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝＝49.
法二　二次函数法
设等差数列{an}的公差为d.
由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.
所以Sn＝＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝49.
[答案]　49
[解题技法]
求数列前n项和的最值的方法
(1)通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组来确定；②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组来确定．
(2)二次函数法：等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值．
(3)不等式组法：借助Sn最大时，有(n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)．
[过关训练]
1．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则Sn的最大值是(　　)
A．S1 B．S7
C．S8 D．S15
解析：选C　由等差数列的前n项和公式可得S15＝15a8＞0，S16＝8(a8＋a9)＜0，所以a8＞0，a9＜0，则d＝a9－a8＜0，
所以在数列{an}中，当n＜9时，an＞0，当n≥9时，an＜0，
所以当n＝8时，Sn最大，故选C.
2．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解：(1)设{an}的公差为d，
由题意得3a1＋3d＝－15.
又a1＝－7，所以d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

一、题点全面练
1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．2 D．－
解析：选A　由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝.
2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是(　　)
A．55 B．11
C．50 D．60
解析：选A　设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故选A.
3．(2018·泉州期末)等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项和S9等于(　　)
A．99 B．66
C．144 D．297
解析：选A　由等差数列的性质可得a1＋a7＝2a4，a3＋a9＝2a6，又∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39，3a6＝27，解得a4＝13，a6＝9，∴a4＋a6＝22，∴数列{an}的前9项和S9＝＝＝＝99.
4．(2019·广州五校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2 019的值为(　　)
A．2 020 B．4 032
C．5 041 D．3 019
解析：选B　由题意得

解得∴an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
∴a2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.
5．(2019·长春质检)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C　由d＞0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝______.
解析：＝＝＝.
答案：
7．等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝________.
解析：设公差为d，∵－＝2，∴d－d＝2，
∴d＝2，∵a1＝－9，∴S10＝10×(－9)＋×2＝0.
答案：0
8．(2018·广元统考)若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________.
解析：当n＝1时，＝2⇒a1＝4，
又＋＋…＋＝n2＋n，①
所以当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n，②
①－②得＝2n，即an＝4n2，所以＝＝4n，
则构成以4为首项，4为公差的等差数列．
所以a1＋＋…＋＝＝2n2＋2n.
答案：2n2＋2n
9．(2018·大连模拟)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，
所以a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
所以两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，
即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，数列{an}的公差d＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.
10．已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn;
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5.
因为d＞0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，
故解得
即所求m的值为5，k的值为4.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　)
A．2 018 B．2 019
C．4 036 D．4 037
解析：选C　因为a1＞0，a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，所以d＜0，a2 018＞0，a2 019＜0，所以S4 036＝＝＞0，S4 037＝＝4 037·a2 019＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 036.
2．(2019·武汉模拟)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为(　　)
A．－10 B．－12
C．－9 D．－13
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an＜0，当n≥3时，an＞0，∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an＞0，当n≥8时，an＜0，∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．综上，anan＋1的最小值为－12.
3．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案：130
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与方程交汇]若等差数列{an}中的a3，a2 019是3x2－12x＋4＝0的两根，则loga1 011＝________.
解析：因为a3和a2 019是3x2－12x＋4＝0的两根，所以a3＋a2 019＝4.又a3，a1 011，a2 019成等差数列，所以2a1 011＝a3＋a2 019，即a1 011＝2，所以loga1 011＝－.
答案：－
5．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若不等式2Sn＋8n＋27＞(－1)nk(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．
解：(1)设公差为d，
则5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，
∴a1＝－1，d＝3.
∴{an}的通项公式an＝3n－4.
(2)由题意知Sn＝－n＋，2Sn＋8n＋27＝3n2＋3n＋27，an＋4＝3n，则原不等式等价于(－1)nk＜n＋1＋对所有的正整数n都成立．
∴当n为奇数时，k＞－恒成立；
当n为偶数时，k＜n＋1＋恒成立．
又∵n＋1＋≥7，当且仅当n＝3时取等号，
∴当n为奇数时，n＋1＋在n＝3上取最小值7，
当n为偶数时，n＋1＋在n＝4上取最小值，
∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范围是.