2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第五章第二节平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底❶.
2．平面向量的坐标运算
运算
坐标表示
和(差)
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数
任一向量的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
3.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0❷.,
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
[熟记常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)
(4)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则m＝1是a∥b的充分不必要条件．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
二、选填题
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1)　　　　　 B.(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：选D　因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1,1)－(1，－1)＝－＝(－1,2)．
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B.(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：选A　根据题意得＝(3,1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.
3．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)
A.a＋b B.－a－b
C.a＋b D．a－b
解析：选A　设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，
所以解得则c＝a＋b.
4．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________.
解析：由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，
得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，
所以b＝(－6,8)＝(－3,4)．
答案：(－3,4)
5．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：因为＝3，所以＝＝(a＋b)，又因为＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案：－a＋b


考点一平面向量基本定理及其应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝

2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－　　　　 B.－
C．－＋ D．－＋
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
[解析]　(1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
(2)因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t.
故解得故t的值是.
[答案]　(1)C　(2)
[解题技法]
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[过关训练]
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B.
C. D．
解析：选D　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
2．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.

解：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，
即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，
所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
考点二平面向量的坐标运算[师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D．
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

[解析]　(1)因为＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
所以＝＝，所以＝.
(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
[答案]　(1)D　(2)4
[解题技法]
求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
[过关训练]
1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
解析：选B　设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以解得所以P.
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵a＝(5，－5)，mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
综上可知，M(0,20)，N(9,2)，＝(9，－18)．
考点三平面向量共线的坐标表示[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　利用两向量共线求参数
[例1]　(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
[解析]　因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，解得λ＝.
[答案]　
考法(二)　利用两向量共线求坐标
[例2]　已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
[解析]　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
[答案]　(2,4)
考法(三)　三点共线问题
[例3]　已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－　　 B.　　 　C.　　 D．
[解析]　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
[答案]　A
[规律探求]
看个性
考法(一)是利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
考法(二)是利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
考法(三)是三点共线问题，其本质与考法(一)是一致的，可转化为两向量共线求解.
找共性
两平面向量共线的充要条件有两种形式：
①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
②已知b ≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R).
[过关训练]
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件．
2．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ) ，则λ＝(　　)
A．－3 B.3
C．1 D．－1
解析：选D　设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ) ，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.
3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.

一、题点全面练
1．(2019·石家庄二中模拟)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝(　　)
A．6　　　　　　　　　 B.－6
C．－ D．
解析：选B　因为a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，所以解得t＝－6.
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)
A．(－2，－4) B.(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B　由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B.(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，
所以解得所以c＝(－23，－12)．
4．(2018·济南调研)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为(　　)
A．2　　　 B.－2　　　　C.　　　 D．－
解析：选D　由a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b与a－2b共线，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，得m＝－，故选D.
5.如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b　　　 B.a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：选D　∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，
∴＝.
∵O是边BE的中点，
∴＝(＋)＝＋＝a＋b.
6．已知||＝1，||＝，⊥， 点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n (m，n∈R)，则等于(　　)
A. B.3
C. D．
解析：选B　如图，由已知||＝1，||＝，⊥，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝，CD＝，所以＝，＝，即＝＋，所以＝3.
7．在 △ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：因为B，P，N三点共线，
所以＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，
又因为＝m＋，
所以
解得m＝t＝.
答案：
8．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

解析：法一：

以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ＝，
∴解得∴λ＋μ＝.
法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋＋μ，
又＝＋，∴解得
所以λ＋μ＝.
答案：
9．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
解析：＝－＝(－3,2)，因为Q是AC的中点，所以＝2＝(－6,4)，＝＋＝(－2,7)，因为＝2，所以＝3＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
10．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
解析：由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)，
由∠AOC＝30°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，即－＝－，所以λ＝1.
答案：1
11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试以a，b为基底表示向量，，.
解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋＝b－a，
＝＋＝－b－＝a－b.
12．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．
如图，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，所以λ＝，
所以＝，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y，得＝x＋，
＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线，
得解得
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a与b方向相反，则x的值是 (　　)
A．2 B.－2
C．±2 D．0
解析：选B　∵a与b方向相反，
∴b＝ma(m＜0)，则有(4，x)＝m(x,1)．
即解得x＝±2，又m＜0，∴x＝m＝－2.
2．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B.内心
C．重心 D．垂心
解析：选B　由＝＋λ，知－＝λ，即＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
(二)交汇专练——融会巧迁移
3．[与集合交汇]已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　)
A．{(1,1)} B.{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
解析：选A　设a＝(x，y)，则P＝，∴集合P是直线x＝1上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.
4．[与解三角形交汇]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行， 则A＝(　　)
A. B.
C. D．
解析：选B　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝.
5．[与轨迹方程交汇]已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ (λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A　由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，所以
消去λ得x＋y－2＝0，故选A.
6．[与线性规划交汇]在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内，设＝m－n(m，n∈R)，则2m＋n的最大值为(　　)
A．－1 B.1
C．2 D．3
解析：选B　由已知得＝(1，－1)，＝(1,2)，设＝(x，y)，∵＝m－n，∴
∴2m＋n＝x－y.
作出平面区域如图所示，令z＝x－y，则y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大．
∴z的最大值为3－2＝1，即2m＋n的最大值为1.故选B.
(三)素养专练——学会更学通
7.[数学运算]如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．
解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，
则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x∈[0,2]．
∴＝(2,2)，＝(2，－2)，＝(x,2)．
∵＝λ＋μ，∴∴
∴λ＋μ＝.令f(x)＝(0≤x≤2)，
∵f(x)在[0,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝3.
答案：3
8．[数学建模]如图，向量与的夹角为120°，||＝2，||＝1，P是以O为圆心，||为半径的上的动点，若＝λ＋μ，则λμ的最大值是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，
则＝(cos θ，sin θ)，＝(2,0)，＝.
∵＝λ＋μ，∴cos θ＝2λ－μ，sin θ＝μ.
∴
∴λμ＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin＋≤.
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，取等号．
答案：