知识点一　　定积分的概念与性质

1．定积分的概念

在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，_f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，

_f(x)dx叫做被积式．

2．定积分的性质

(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；

(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．

1．判断正误

(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝

f(t)dt.(　√　)

(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　×　)

(3)微积分基本定理中F(x)是唯一的．(　×　)

解析：(1)正确．

(2)错误．当f(x)≥0时，S＝f(x)dx.

(3)错误．有无穷多个．

知识点二　　微积分基本定理

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且f′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x) ，即f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．

2．定积分 (2x＋ex)dx的值为(　C　)

A．e＋2   B．e＋1

C．e   D．e－1

解析：因为(x2＋ex)′＝2x＋ex，所以 (2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.

3．(选修2－2P50习题1.5A组第5题改编)定积分|x|dx＝(　A　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：|x|dx＝－xdx＋xdx＝20xdx＝x2＝1.故选A.

知识点三　　定积分的几何意义

1．定积分与曲边梯形的面积

定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：

设阴影部分面积为S.

①S＝f(x)dx；

②S＝－f(x)dx；

③S＝f(x)dx－f(x)dx；

④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.

2．匀变速运动的路程公式

作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.

4．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为(　B　)

A． (x2－1)dx

B．|x2－1|dx

C．| (x2－1)dx|

D． (x2－1)dx＋(x2－1)dx

解析：曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积可表示为|x2－1|dx.

5．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为.

解析：曲线y＝x2与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，则两图形围成的封闭图形的面积为

 (x－x2)dx＝＝.

6．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 m.

解析：s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)．

1．定积分应用的常用结论

当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．

2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝20f(x)dx.

(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.

考向一　　　定积分的计算

【例1】　(1)(2019·四川凉山州诊断)dx＝(　　)

A．e2   B.

C.   D.

(2)(2019·河南新乡一中月考) |sinx－cosx|dx＝(　　)

A．2＋2   B．2－

C．2   D．2

【解析】　(1)dx＝x2＋lnx

＝e2＋lne－×12－ln1＝.故选B.

(2) |sinx－cosx|dx＝ (cosx－sinx)dx＋ (sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx) ＋(－cosx－sinx) ＝2.故选D.

【答案】　(1)B　(2)D

　　利用微积分基本定理求定积分的步骤

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．

(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．

(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．

(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．

(5)计算原始定积分的值．

(1) e|x|dx的值为(　C　)

A．2   B．2e

C．2e－2   D．2e＋2

(2)已知a＝2sincosdx，则a＝2.

(3)dx＝ln2＋.

解析：(1) e|x|dx＝e－xdx＋exdx

＝－e－x＋ex＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)

＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C.

(2)a＝2sincosdx＝sinxdx

＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝2.

(3)dx＝

＝ln2＋－＝ln2＋.

考向二　　　定积分的几何意义

【例2】　利用定积分的几何意义计算下列定积分：

(1) dx；

(2)  (3x3＋4sinx)dx.

【解】　(1)根据定积分的几何意义，可知

dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的(如图所示的阴影部分)．故dx＝.

(2)  (3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．

设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，

则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)

＝－f(x)，又f(0)＝0，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，

所以 (3x3＋4sinx)dx＝－ (3x3＋4sinx)dx，

所以 (3x3＋4sinx)dx＝ (3x3＋4sinx)dx＋ (3x3＋4sinx)dx＝0.

根据定积分的几何意义可利用面积求解定积分.画出被积函数的图形，结合上、下限求出面积，即可得到定积分的值.

(1)计算：dx＝π.

(2)若dx＝，则m＝－1.

解析：(1)由定积分的几何意义知，

dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，

∴dx＝×π×4＝π.

(2)根据定积分的几何意义dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又dx＝为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.

考向三　　定积分的应用

方向1　定积分在平面几何中的应用

【例3】　由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为(　　)

A.   B.

C.   D．1

【解析】　由题意可知所求面积(如图阴影部分的面积)为 (－x2)dx＝＝.

【答案】　B

1．若本例中“y＝x2”改为“y＝－x＋2”，求曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积．

解：如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.

由定积分的几何意义可知，

由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为

dx＋ (－x＋2)dx

＝x＋＝.

2．若本例变为：求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

解：如图所示，由得交点A(1,1)．

由得交点B(3，－1)．

故所求面积S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.

方向2　定积分在物理中的应用

【例4】　汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.

【解析】　先求从刹车到停车所用的时间t，

当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，

刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.

令v(t)＝0，可得t＝5 s.

所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：

 (20－4t)dt＝(20t－2t2) ＝50(m)．

即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m.

【答案】　50

1.求曲边图形的面积的4步骤

1根据题意画出图形；

2借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

3把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

4计算定积分，写出答案.,求解时，注意要把定积分与利用定积分计算图形面积区别开：定积分是一个数值极限值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.

1．(方向1)(2019·新疆适应性检测)由曲线y＝x2＋1，直线y＝－x＋3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为(　B　)

A．3   B.

C.   D.

解析：由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，

由解得(舍去)或即A(1,2)，结合图形可知，所求的面积为 (x2＋1)dx＋×22＝＋2＝.

2．(方向2)一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方(比例系数为k，k>0)，则物体由x＝0运动到x＝a，阻力所做的功为k.

解析：物体的速度v＝＝(bt3)′＝3bt2.

媒质的阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4.

当x＝0时，t＝0；

当x＝a时，t＝t1＝，

又dx＝vdt，故阻力所做的功为

W阻＝F阻dx＝kv2·vdt＝kv3dt

＝k (3bt2)3dt＝kb3t＝k.