2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第4章第4节　数系的扩充与复数的引入

第四节　数系的扩充与复数的引入

[考纲传真]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[常用结论]

1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)

(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)

(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.(　　)

(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(教材改编)设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)

A．1　　B.　　C.　　 D．2

A　[＝i，则z＝＝i，

∴|z|＝1.]

3．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

B　[∵＝＝＝i－1，

∴该复数对应的点(－1,1)位于第二象限．]

4．(教材改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)

A．1－2i   B．－1＋2i

C．3＋4i   D．－3－4i

D　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]

5．(教材改编)已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.

2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.

∴z＝2＋i.]

复数的有关概念

1．(2019·福州四校联考)如果复数z＝，则(　　)

A．z的共轭复数为1＋i　　 B．z的实部为1

C．|z|＝2   D．z的实部为－1

D　[∵z＝＝＝＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D.]

2．(2019·江西九校联考)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则＝(　　)

A．1　　B.  C.　　D.

D　[由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，则y＝2x，＝|2＋i|＝，故选D.]

3．如果复数是纯虚数，那么实数m等于(　　)

A．－1   B．0

C．0或1   D．0或－1

D　[＝＝，因为此复数为纯虚数，所以解得m＝－1或0，故选D.]

复数的代数运算

【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)

A．－－i

B．－＋i

C．－－i

D．－＋i

(2)(2019·山西八校联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝，则a＋b等于(　　)

A．－9　　B．5  C．13　　 D．9

(3)已知复数z满足：(z－i)(1＋2i)＝i3(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部等于(　　)

A．－　　　B．－  C.　　　D.

(1)D　(2)A　(3)C　[(1)＝＝－＋i，故选D.

(2)由3－4i3＝得，3＋4i＝，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则解得故a＋b＝－9，故选A.

(3)z＝＋i＝＋i＝＋i＝－＋i，故选C.]

[规律方法]　复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

(1)(2019·湖北重点中学联考)已知复数z满足(z－i)·(1＋i)＝2－i，则·z＝(　　)

A．1  B.

C.  D.

(2)(2019·皖南八校联考)设i是虚数单位，且i2 019＝，则实数k＝(　　)

A．2   B．1

C．0   D．－1

(1)B　(2)C　[(1)由已知，得z＝＋i＝＋i＝－i＋i＝－i，

则·z＝|z|2＝2＋2＝，故选B.

(2)因为i2 019＝i504×4＋3＝i3＝－i，所以－i＝，

可得k＋i＝i－k，

∴k＝0，故选C.]

复数的几何意义

【例2】　(1)(2018·北京高考)在复平面内复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)

A．1＋i   B．1－i

C．－1－i   D．－1＋i

(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)   B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)   D．(－1，＋∞)

(1)D　(2)B　(3)B　[(1)＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限，故选D.

(2)因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，

所以点A的坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.

(3)因为复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，所以解得a＜－1.]

(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(2)若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．

(1)D　(2)2π　[(1)由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，

它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．

(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以≤，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]

1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0　　B.　　C．1　　D.

C　[因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.]

2．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i   B．－3＋i

C．3－i   D．3＋i

D　[(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.]

3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．

故选C.]

4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．1　　  B.　　  C.　　   D．2

B　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.

又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.

∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]

5．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝(　　)

A．1　　  B．－1　　  C．i　　   D．－i

C　[因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.]

6．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3,1)   B．(－1,3)

C．(1，＋∞)   D．(－∞，－3)

A　[由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．]