2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第1讲　平面向量的概念及其线性运算


第五章 平面向量
第1讲　平面向量的概念及其线性运算
基础知识整合

1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位
向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行
向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等
向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反
向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0

2．向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝
b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)


续表

向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝
λa＋μa；
λ(a＋b)＝
λa＋λb

3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a＋b＝0时，a＝－b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.
2．(2019·嘉兴学科基础测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b B.a＋b
C．a－b D．a＋b
答案　A
解析　因为＝－＝－＝a－b.故选A.
3．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
答案　D
解析　因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．
4．设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是(　　)
①＝＋； ②＝(＋)；
③＝－； ④＝.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　由向量加法的平行四边形法则，知①＝＋，②＝(＋)是正确的；由向量减法的三角形法则，知③＝－是正确的；因为，的大小相同，方向相反，所以④＝是错误的．故选C.
5．如图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C三点在一条直线上，且＝－3，则(　　)
A．c＝－a＋b
B．c＝a－b
C．c＝－a＋2b
D．c＝a＋2b
答案　A
解析　∵＝－3，∴＝，∴－
＝(－)，∴＝－，即c＝－a＋b.故选A.
6．(2019·安徽芜湖模拟)已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
答案　b－a　－a－b
解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.

核心考向突破
考向一　平面向量的概念
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，则＝，则四边形ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
答案　③
解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．
③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.


平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．



[即时训练]　1.设a0为单位向量，有下列命题：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.其中假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.
精准设计考向，多角度探究突破
考向二　平面向量的线性运算
角度1　　向量加减法的几何意义
例2　(1)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
答案　C
解析　由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.
(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|＞|b|
答案　A
解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
故选A.
解法二：利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
角度2　　平面向量线性运算
例3　(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
解析　
根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故选A.
(2)(2019·唐山统考)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
答案　B
解析　因为＝－2，所以＝2.又因为M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.故选B.
角度3　　利用线性运算求参数
例4　(1)在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且＝4＝r－s，则s＋r等于(　　)
A．0 B.
C. D．3
答案　C
解析　因为＝4，所以＝.又因为＝－，所以＝(－)＝－，所以r＝s＝，s＋r＝.

(2)(2019·河南中原联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)
A. B.
C．1 D.
答案　A
解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.故选A.


向量线性运算的解题策略

(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．



[即时训练]　2.已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则(　　)
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
答案　B
解析　如图所示，a－b＝，c－d＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB綊DC，且与反向，即＋＝0，也就是a－b＋c－d＝0.
3．(2020·湖南师范大学附中模拟)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
答案　D
解析　根据题意得＝(＋)，又因为＝＋，＝，所以＝＝＋.故选D.
4．(2019·辽宁丹东总复习质量测试二)在△ABC中，＋＝2，＋＝0，若＝x＋y，则(　　)
A．y＝3x B．x＝3y
C．y＝－3x D．x＝－3y
答案　D
解析　因为＋＝2，所以点D是BC的中点，又因为＋＝0，所以点E是AD的中点，所以有＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋，E＝－B＝A－A，因此x＝，y＝－⇒x＝－3y，故选D.
考向三　共线向量定理的应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5　(1)(2019·朔州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．不存在
答案　A
解析　由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.
又因为＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以解得k＝－.故选A.
(2)已知平面内的三点A，B，O不共线，且＝λ＋μ，则A，P，B三点共线的一个必要不充分条件是(　　)
A．λ＝μ B．|λ|＝|μ|
C．λ＝－μ D．λ＝1－μ
答案　B
解析　A，P，B三点共线，即存在一个实数m，使得＝m，∵＝λ＋μ，∴m＝λ＋μ，即m(－)＝λ＋μ，∴(m－μ)＝(m＋λ)，∵A，B，O三点不共线，∴m－μ＝0，m＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m，∴A，B，P三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A，B，P三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B.



(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为＝λ，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数．
(2)三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足＝λ＋μ(λ＋μ＝1)．



[即时训练]　5.(2019·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)
A．1 B．－
C. D．－2
答案　B
解析　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.故选B.

6．(2019·郴州市高三第一次质检)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且＝x，＝y，则3x＋y的最小值为________．
答案　
解析　∵G是△ABC的重心，∴＝＋，
又＝x，＝y，∴＝＋，
∵M，G，N三点共线，
∴＋＝1，∴3x＋y＝(3x＋y)＝1＋＋＋≥＋2＝.

(2019·铁岭模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　解法一：由＋＋＝0，知点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则由向量加法，可知＋＝2.由重心的性质，可知||＝||，而且与同向，故＝，所以＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，所以m＝3.故选B.
解法二：由已知得＋＋＋＝m，又＋＝－＝，所以3＝m，所以m＝3.故选B.
答题启示
进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
对点训练
在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝(　　)

A.a－b B.a＋b
C．－a＋b D．－a－b
答案　B
解析　如图，过点F作BC的平行线交DE于点G，则G是DE的中点，且＝＝，所以＝，易知△AHD∽△FHG，从而＝，所以＝，因为＝＋＝b＋a，所以＝＝a＋b.故选B.