2020年内蒙古通辽市中考数学试卷
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2020年内蒙古通辽市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 年我市初三毕业生超过人，将用科学记数法表示正确的是．
A． B． C． D．万
2. 下列说法不正确的是．
A．是个数的和
B．是和数的积
C．是单项式
D．是偶数
3. 下列事件中是不可能事件的是．
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨
4. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是．
A．
B．
C．
D．
5. 关于的方程有实数根，的取值范围是．
A．且 B．
C．且 D．
6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是．
A．
B．
C．
D．
7. 如图，，分别与相切于，两点，，则．
A． B． C． D．
8. 如图，是的中线，四边形是平行四边形，增加下列条件，能判断平行四边形是菱形的是．
A． B． C． D．
9. 如图，交双曲线于点，且，若矩形的面积是，且轴，则的值是．
A． B． C． D．
10. 从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是．
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解；
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；
（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共7题） |
11. 计算：
（1）________；
（2）________；
（3）________.
12. 若数据，，，，的平均数是，则这组数据中
（1）众数是________；
（2）的值是________；
（3）方差是________.
13. 如图，点在直线上，．则的度数是________.
14. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多________个小正方形．
15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．
16. 如图，在中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则，，三者之间的数量关系是________．
17. 如图① ，在中，，，点是边的中点，点是边上一动点，设，．图② 是关于的函数图象，其中是图象上的最低点．那么的值为________．
| 三、 解答题（共9题） |
18. 解方程：．
19. 从处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，处与楼的水平距离为．若，，求这栋楼高．
20. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：※．
（1）求※；
（2）若※，求的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
21. 甲口袋中装有个相同小球，它们分别写有数字，；乙口袋中装有个相同小球，它们分别写有数字，，；丙口袋中装有个相同小球，它们分别写有数字，．从三个口袋各随机取出个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的个小球上全是奇数的概率．
22. 如图，的直径交弦（不是直径）于点，且，求证：．
23. 某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校爱好运动的学生共有名，则该校学生总数大约有多少名．
24. 某服装专卖店计划购进，两种型号的精品服装．已知件型服装和件型服装共需元；件型服装和件型服装共需元．
（1）求，型服装的单价；
（2）专卖店要购进，两种型号服装件，其中型件数不少于型件数的倍，如果型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
25. 中心为的正六边形的半径为，点，同时分别从，两点出发，以的速度沿，向终点，运动，连接，，，，设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求矩形的面积与正六边形的面积之比．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】用科学记数法表示为：．
故选：
【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．[科学记数法形式：，其中，为正整数．]
2. 【答案】D
【解析】．，即是个数的和，说法正确；
．是和数的积，说法正确；
．是单项式，说法正确；
．不一定是偶数，故原说法错误．
故选：
【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．
3. 【答案】C
【解析】．守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；
．瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；
．水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；
．百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意．
故选：
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 【答案】A
【解析】．与互余，故本选项正确；
．，故本选项错误；
．，故本选项错误；
．与互补，故本选项错误．
故选：
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
5. 【答案】D
【解析】时，是一元一次方程，有实数根；
不等于时，是一元二次方程，根据题意，，
，
解得．
故选：
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
6. 【答案】B
【解析】三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项中作了两个交的平分线．
故选：
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
7. 【答案】C
【解析】连接、，
，分别为的切线，
，，
，，
，
由圆周角定理得，．
故选：
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8. 【答案】A
【解析】添加时，
是的中线，
，
四边形是菱形，选项正确；
添加，
四边形是平行四边形
四边形是矩形，选项错误；
添加，可得到，
，
四边形是平行四边形是矩形，选项错误；
添加，
四边形是平行四边形，
，
是的中线，
，
，故不能选项不能判定四边形是菱形．
故选：
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．
9. 【答案】A
【解析】延长、交轴于，
四边形矩形，且轴，
，
轴，轴，
，
，
矩形的面积是，，
的面积为，，
，
，
双曲线经过点，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
10. 【答案】C
【解析】（1）无理数都是无限小数是真命题，
（2）因式分解是真命题；
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是是真命题；
（4）弧长是，面积是的扇形的半径是，圆心角为：，故弧长是，面积是的扇形的圆心角是是假命题；
故随机抽取一个是真命题的概率是．
故选：
【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．
二、 填空题
11. 【答案】（1）（2）（3）；
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
故答案为：（1）；（2）；（3）
【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．
12. 【答案】（1）（2）（3）；
【解析】（1）不论取何值，出现次数最多的是，出现次，因此众数是；
（2），
解得，
（3）．
故答案为：；；
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意义是正确计算的关键．
13. 【答案】；
【解析】点在直线上，且，
．
故答案为：
【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为．
14. 【答案】；
【解析】第个正方形需要个小正方形，，
第个正方形需要个小正方形，，
第个正方形需要个小正方形，，
，
第个正方形有个小正方形，
第个正方形有个小正方形，
故拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形．
故答案为：
【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．
15. 【答案】；
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，得
，（舍去）．
答 每轮传染中平均一个人传染了个人．
故答案为：
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率增长数量原数量．如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即 原数（增长百分率）后来数．
16. 【答案】；
【解析】如图，连接，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键．
17. 【答案】；
【解析】如图，将沿折叠得到，则四边形为菱形，菱形的对角线交于点，
由图② 知，当点与点重合时，
，解得：，即：菱形的边长为，
则该菱形的高为，
点关于的对称点为点，连接交于点，此时最小，
，，
则，故为等边三角形，
是的中点，故，
而，故为直角，，
则，
此时，（菱形的高），
则．
故答案为：
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
三、 解答题
18. 【答案】
【解析】方程两边都乘以得，
，
解得，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．
因此，原分式方程的解是．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19. 【答案】
【解析】在中，（米），
在中，（米），
（米）．
答 ：这栋楼高约为米．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
20. 【答案】（1）
（2）；
【解析】（1）※；
（2）※，
则，
解得：，
将解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．
21. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）画树状图为：
共有种等可能的结果，其中取出的个小球上恰好有一个偶数的结果数为，
所以取出的个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的个小球上全是奇数的结果数为，
所以取出的个小球上全是奇数的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
22. 【答案】答案见解析
【解析】证明：连接、，如图，
，，
，
，
，
，
，
为直径，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．
23. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）（名），
即在这次调查中，共调查了名学生；
（2）爱好上网的学生有：（名），
爱好阅读的学生有：（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）（名），
答 该校学生总数大约有名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24. 【答案】（1）型服装的单价为元，型服装的单价为元
（2）
【解析】（1）设型服装的单价为元，型服装的单价为元，
依题意得
解得．
答 型服装的单价为元，型服装的单价为元．
（2）设购进型服装件，则购进型服装件，
依题意得，
解得．
设该专卖店需要准备元的货款，
则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
答 该专卖店至少需要准备元货款．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：正六边形内接于，
，，
点，同时分别从，两点出发，以速度沿，向终点，运动，
，，
在和中
，
，
同理可证，
四边形为平行四边形．
（2）解：连接、，则，
，
是等边三角形，
，，
当时，点与重合，与重合，四边形即为四边形，
如图所示：
则，
，
此时四边形是矩形，即四边形是矩形．
当时，点与重合，与重合，四边形即为四边形，
如图2所示：
同法可知，此时四边形是矩形．
综上所述，或时，四边形是矩形，
，
矩形的面积矩形的面积；
正六边形的面积的面积矩形的面积，
矩形的面积与正六边形的面积之比．
【点评】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】（1）令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，
得，
解得
抛物线的解析式为：；
（2）设，则，，
则，
的面积，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为；
（3）由（2）知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，
或．
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
