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    10.2.2复数的乘法与除法-人教B版(2019)高中数学必修(第四册)课件(共19张PPT)
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    数学10.2.2 复数的乘法与除法公开课课件ppt

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    这是一份数学10.2.2 复数的乘法与除法公开课课件ppt,共19页。PPT课件主要包含了复习回顾,复数的加减法,交换律和结合律,尝试与发现,复数的乘法,i2-1,计算下列各式的值,-5-5i,-3i,-20+15i等内容,欢迎下载使用。

    两个实数的乘法对加法来说满足分配律. 即a,b, cϵ R 时,有 (a+b)c=ac+bc ,而且,实数的正整数次幂满足 am·an =amn,, (am )n=amn, (ab)n =anbn ,其中m,n均为正整数.
    我们研究完了复数的加法和减法运算,那么复数的乘法,你想到怎么算了吗?你想到的算法符合实数乘法相关的运算法则吗?
    思考:复数的乘法应该如何规定, 才能使得类似的运算法则仍成立呢?
    设z1=3 ; z2 = 1—2i ; z3 =-5i ,你认为z1z2的值与z2z3的值分别等于多少? 由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则.
    猜想:z1z2=3(1-2i)=3-3×(-3i)=3-6i z2z3=(1-2i)(-5i)=1×(-5i)-2i×(-5i)=-5i+10i2=-5i-10
    设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,dϵR),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定
    z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
    按照多项式乘法进行计算,然后利用 i 2 =-1即可.
    按照这种定义,我们在上面尝试与发现中的猜想是正确的.
    乘法运算率在复数范围内仍然成立:
    例1 已知a,bϵR,求证:(a+bi)(a-bi)=a2+b2 .
    证明:根据复数乘法的定义有
    (a+bi)(a-bi)=a2-abi+bai-bi2 =a2+b2 .
    两个共轭复数的乘积等于其模的平方.即
    复数乘法运算按照多项式乘法方式进行运算.
    n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn,即zn=z×z×z×…×z×z.
    可以验证,当m,n均为正整数时, zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=zn1zn2.
    以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等,对于复数来说也是成立的,即(z1+z2)2=z21+2z1z2+z22, z21-z22=(z1+z2)(z1-z2).
    例如,例1也可按如下方式计算.(a +bi) (a —bi)=a2 -(bi)2 =a2 + b2.
    类似于实数的乘法运算,只不过当底为正实数时,指数为任意实数.
    【探究】 i 的指数 变化规律
    观察发现 i 的指数与运算结果之间有规律了吗?有怎样的规律?
    i3=i2 × i=-1×i=-i;i4=i2i2=1×1=1
    i 的幂次具有周期性,T=4
    利用 i 的周期性可以解决高次幂问题。.
    i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+)
    例2 计算(1+i)2与(1-i)2的值.
    解:(1+i)2 =12+2i+i2=2i ;
    (1-i)2 =12-2i+i2=-2i
    等式的性质在复数范围内仍然成立:
    当z1=z2时,必有 z1z=z2z.
    注意:不是所有的实数中的结论都可以推广到复数情况. 例如:当xϵR时,x2≥0; 当zϵC时,z2未必成立。
    1.b=0, z=a,z为实数
    a=0 ,z=bi ,z2=-b2 此时z为实数
    a≠0 ,z=a+bi ,z2=a2-b2+2abi 此时z为复数
    我们用类似的方法给出两个复数相除的定义.
    如果复数z2≠0 , 则满足zz2=z1 的复数z称为z1除以z2的商,并记作
    如无特别说明,总认为除数不能为0.
    利用复数除法的定义可以证明,当ω为非零复数时,有
    尝试与发现的式子可以改写为
    为了求出a,b的值,将等式右边看成一个分式,只要想办法把1+2i变成一个实数即可.
    (1+2i)(1-2i)=12-(2i)2 =5
    这种方法称为“分母实数化”
    例3 求(1 +2i)÷(3-4i)的值.
    复数除法的计算方法——分母实数化
    实系数一元二次方程在复数范围内的解集
    我们已经知道,虚数单位 i 是方程 x2=-1 的一个解,还有其他复数是这个方程的解吗?如果实数 a>0,那么方程 x2=-a 在复数范围内的解集是什么?
    因为 i2=(-i)2=-1 ,
    所以方程 x2=-1 在复数范围内的解集为 {-i , i }.
    所以方程 x2=-a 在复数范围内的解集为
    引入复数之后,任意实系数一元二次方程总有解,可以仿照在实数范围内解一元二次方程的方式,采配方法再开方的方法解。
    配方成 x2=-a (a>0)的形式再开方,回到了对复数开方问题.
    例4 在复数范围内求方程 x2+2x+3=0 的解集.
    因为 x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2 ,
    所以原方程可以化为 (x+1)2=-2 ,从而可知
    仍满足一元二次方程根与系数之间的关系!
    研究证明关于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况,并证明:如果x1,x2为实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解,那么
    证明:由ax2+bx+c=0 得
    采用先 配方 成 x2=-a 的形式,再 开方 运算
    (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
    在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
    当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且
    (3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.
    复数乘法 : (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
    对于任意复数z1,z2,z3∈C,复数的乘法满足:交换律:z1·z2=z2·z1.结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3).分配律:z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.
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