四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义:10.舒尔不等式
展开A10.舒尔不等式
一、基础知识
舒尔不等式:设是实数,则,当且仅当或两个相等第三个为0取等.
舒尔不等式变形1设则
舒尔不等式变形2设则
舒尔不等式变形3设则
舒尔不等式变形4设则
舒尔不等式变形5设则
舒尔不等式变形6设则
舒尔不等式变形7设则
二、典型例题与基本方法
1.已知证明:
2.已知且证明:
3.已知证明:
4.设是非负实数,求证:
5.已知且证明:
6.设都是正数,证明:
7.设证明:
B10.练习 姓名:
1.已知且证明:
2.设是正实数,且求证:
3.设证明:
A10.舒尔不等式
一、基础知识
舒尔不等式:设是实数,则,当且仅当或两个相等第三个为0取等.
证明:由对称性,不妨设
①当时,
用到了排序不等式.
②当时,
③当时,
舒尔不等式变形1设则
证明:于是
舒尔不等式变形2设则
证明:于是
舒尔不等式变形3设则
证明:
于是
舒尔不等式变形4设则
证明:
舒尔不等式变形5设则
证明:
舒尔不等式变形6设则
证明:
于是
所以
舒尔不等式变形7设则
证明:于是
二、典型例题与基本方法
1.已知证明:
证明:原不等式等价于LHS
RHS
于是等价于证明
这就是舒尔不等式的变形.
法2
这是舒尔不等式.
2.已知且证明:
证明:因为于是可设.
于是
这就是舒尔不等式的变形.
3.已知证明:
证明:由舒尔不等式得于是
所以只需证明即证明
即证明即证明
排序不等式得平均值不等式得
两式相加得所以得证.
4.设是非负实数,求证:
证明:由舒尔不等式得
所以
使用平均值不等式得所以得证.
5.已知且证明:
证明:由舒尔不等式得
因为所以于是
所以得证.
6.设都是正数,证明:
证明:令则
于是
注意到
由舒尔不等式得
于是
从而只需证明即证
因为
于是所以得证.
7.设证明:
证明:由舒尔不等式得
又
于是只需证明又因为
从而只需证明即证明即证明
而这是平均值不等式.所以得证.
B10.练习 姓名:
1.已知且证明:
证明:由舒尔不等式的变形和条件可得
于是
2.设是正实数,且求证:
证明:由舒尔不等式得因为于是
从而得证.
3.设证明:
证明:
于是
由舒尔不等式得
于是只需证明即证明
使用平均值不等式得证.