高中数学人教版新课标A必修31.1.1算法的概念教学设计及反思

第一章  算法初步

本章教材分析

    算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.

    本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.

    在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.

    本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：

（1）知识间的联系；

（2）数学思想方法；

（3）认知规律.

    本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：

§1.1  算法与程序框图

§1.1.1  算法的概念

一、教材分析

    算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.

二、教学目标

1、 知识与技能：

（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。

（4）会写出解线性方程（组）的算法。

（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

（6）会应用Scilab求解方程组。

2、 过程与方法：

通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、 情感态度与价值观：

通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

三、重点难点

教学重点：算法的含义及应用.

教学难点：写出解决一类问题的算法.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

    思路1（情境导入）

    一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.

    思路2（情境导入）

    大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？

答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上.

上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.

    思路3（直接导入）

    算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

（1）解二元一次方程组有几种方法？

（2）结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.

（3）结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.

（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.

（6）请同学们总结算法的特征.

（7）请思考我们学习算法的意义.

讨论结果：

（1）代入消元法和加减消元法.

（2）回顾二元一次方程组

的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：

第一步，①+②×2，得5x=1.③

第二步，解③，得x=.

第三步，②-①×2，得5y=3.④

第四步，解④，得y=.

第五步，得到方程组的解为

(3)用代入消元法解二元一次方程组

我们可以归纳出以下步骤：

第一步，由①得x=2y－1.③

第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④

第三步，解④得y=.⑤

第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=.

第五步，得到方程组的解为

(4)对于一般的二元一次方程组

    其中a1b2－a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：

    第一步，①×b2-②×b1，得

    （a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③

    第二步，解③，得x=.

    第三步，②×a1-①×a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④

    第四步，解④，得y=.

    第五步，得到方程组的解为

(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.

    在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.

    现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.

(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.

（三）应用示例

思路1

例1  （1）设计一个算法，判断7是否为质数.

（2）设计一个算法，判断35是否为质数.

算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.

算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.

（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.

第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.

第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.

第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.

点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.

变式训练

    请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.

分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.

    这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.

    算法如下：第一步，给定大于2的整数n.

    第二步，令i=2.

    第三步，用i除n,得到余数r.

    第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.

    第五步，判断 “i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.

例2  写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.

分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.

    “二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.

解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.

第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.

第三步，取区间中点m=.

第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.

第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.

当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.

    于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求的近似值的一个算法.

点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……

思路2

例1  一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.

分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.

解：具体算法如下：

算法步骤：

第一步：人带两只狼过河，并自己返回.

第二步：人带一只狼过河，自己返回.

第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.

第四步：人带一只羊过河，自己返回.

第五步：人带两只狼过河.

点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.

例2  喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：如何安排这几个步骤？并给出两种算法，再加以比较．

分析：本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．

解：算法一：

第一步，洗刷水壶.

第二步，烧水.

第三步，洗刷茶具.

第四步，沏茶.

算法二：

第一步，洗刷水壶.

第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.

第三步，沏茶.

点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．

例3  写出通过尺轨作图确定线段AB一个5等分点的算法.

分析：我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务.

解：算法分析：

第一步，从已知线段的左端点A出发，任意作一条与AB不平行的射线AP.

第二步，在射线上任取一个不同于端点A的点C，得到线段AC.

第三步，在射线上沿AC的方向截取线段CE=AC.

第四步，在射线上沿AC的方向截取线段EF=AC.

第五步，在射线上沿AC的方向截取线段FG=AC.

第六步，在射线上沿AC的方向截取线段GD=AC，那么线段AD=5AC.

第七步，连结DB.

第八步，过C作BD的平行线，交线段AB于M，这样点M就是线段AB的一个5等分点.

点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.

（四）知能训练

    设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.

解：算法步骤如下：

第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.

第二步，计算Δ=b2－4ac的值.

第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.

点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.

（五）拓展提升

    中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.

解：算法分析：

数学模型实际上为：y关于t的分段函数.

关系式如下：

y=

其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.

算法步骤如下：

第一步，输入通话时间t.

第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立，若成立执行

y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.

第三步，输出通话费用c.

（六）课堂小结

（1）正确理解算法这一概念.

（2）结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.

（七）作业

    课本本节练习1、2.