华师大版数学 八年级下册 全册教案

这是一份华师大版八年级下册本册综合教案，共211页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。


目录




第16章 分式

3
1 16.1.1.分式

3
2 16.1.2.分式的基本性质

6
3 16.2.1.分式的乘除

10
4 16.2.2.1 分式的加减法

14
5 16.2.2.2 分式的混合运算

18
6 16.3.1 分式方程

21
7 16.3.2 分式方程的应用

26
8 16.4零指数幂与负整数指数幂

31
9 16.5章末复习

35
第17章 函数及其图象

42
1 17.1.1 变量与函数（1）

42
2 17.1.2 变量与函数（2）

47
3 17.2.1.平面直角坐标系

51
4 17.2.2.函数的图象

56
5 17.3.1.一次函数

61
6 17.3.2.一次函数的图象

65
7 17.3.3.一次函数的性质

72
8 17.3.4.求一次函数的表达式

77
9 17.4.1.反比例函数

83
10 17.4.2.1 反比例函数的图象和性质（1）

88
11 17.4.2.2 反比例函数的图象和性质（2）

94
12 17.5.1一次函数与二元一次方程（组）

101
13 17.5.2一次函数与一元一次不等式（组）

106
14 17.5.3 函数应用题

109
15 17.6章末复习

113
第18章 平行四边形

120
1 18.1.1 平行四边形的性质定理1、2

120
2 18.1.2 平行四边形的性质定理3

125
3 18.2.1 平行四边形的判定（1）

129
4 18.2.2 平行四边形的判定（2）

135
5 18.3章末复习

140
第19章 矩形、菱形与正方形

147
1 19.1.1.矩形的性质

147
2 19.1.2.矩形的判定

151
3 19.2.1.菱形的性质

155
4 19.2.2.菱形的判定

159
5 19.3 正方形

164
6 19.4章末复习

170
第20章 数据的整理与初步处理

177
1 20.1.1 平均数的意义和用计算器求平均数

177
2 20.1.2 加权平均数

181
3 20.2.1.中位数和众数

187

4 20.2.2.平均数、中位数和众数的选用
5 20.3 数据的离散程度
6 20.4章末复习
191
196
201


第 16 章 分式
16.1 分式及其基本性质
1. 分式



【知识与技能】
1. 了解分式的概念，明确分式和整式的区别
2. 使学生能够求出分式有意义的条件
【过程与方法】
让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型
【情感态度】
培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流
【教学重点】
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件
【教学难点】
能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件



一、情境导入,初步认识
下列有理式中哪些是整式？



【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念．
二、思考探究，获取新知探究：分式的概念
做一做

（1） 面积为 2 平方米的长方形一边长 3 米，则它的另一边长为 米；
（2） 面积为 S 平方米的长方形一边长 a 米，则它的另一边长为 米；
（3） 一箱苹果售价 p 元，总重 m 千克，箱重 n 千克，则每千克苹果的售价是 元；
问题：观察你所列的 3 个式子，它们有什么共同点？你能归纳吗？
【归纳结论】形如 A/B(A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.整式和分式统称有理式,即有
.
【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．
三、运用新知，深化理解
1. 见教材 P2 例 1、P3 例 2.
2. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？



解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式．
3.x 取什么值时，下列分式无意义？



解：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由 2x-3=0，得 x=3/2
所以当 x=3/2 时，分式无意义．
（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义． 由 5x+10=0，得 x=-2
所以当 x=-2 时，分式无意义．

4. 若分式 2
x - 3

有意义，则 x 的取值范围是（ ）

A.x≠3 B.x≠-3
C.x＞3 D.x＞-3
解：当分母 x-3≠0，即 x≠3 时，分式 2
x - 3




有意义．故选 A


5. 若分式
x -1
的值为零，则 x 的值为
x +1

分析：分式的值为 0 的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题

x -1
解：
x +1
=0，则|x|-1=0，即 x=±1 ，且 x+1≠0，即 x≠-1．故 x=1．故若分式

x -1
的值为零，则 x 的值为 1．
x +1
【教学说明】让学生体会分式的意义，理解如果 a 的取值使得分母的值为零， 则分式没有意义，反之有意义．
四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？
1. 学习了分式的概念，理解了整式与分式的异同．
2. 知道当分式的分母不等于零时分式才有意义．
3. 在学习新知识时，可把它与所学的旧知识比较，通过观察、类比、归纳它们异同的方法来学习新知识．
4. 若使分式的值为零，需满足两个条件：①分子等于零；②分母不等于零



1. 布置作业:教材“习题 16.1”中第 1、2、3 题.
2. 完成本课时对应练习.



在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于 0 的教学中，一部分学生都只考虑分式的分子等于 0，而没有考虑分式的分母.因此，在后面的教学中对这方面的教学有待加强.

2.分式的基本性质



【知识与技能】
使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分、通分
【过程与方法】
通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力
【情感态度】
让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力
【教学重点】
掌握分式的基本性质
【教学难点】
运用分式的基本性质来化简分式



一、情境导入,初步认识
1. 分数的基本性质是什么？
2. 3 = 1 的依据是什么？
6 2

3. 2
3
与 4 相等吗？
5

【教学说明】通过分数的约分、通分，复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．
二、思考探究，获取新知探究 1：分式的基本性质

你认为分式 3a 与 1
6a 2
相等吗？
m 与 n 呢 ？
2
mn m

【教学说明】通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质， 但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．
【归纳结论】分式的分子和分母都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整

式，分式的值不变.
探究 2：约分化简下列分式：



【教学说明】有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式．有些学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．所以教师应适当引导.
【归纳结论】把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．
探究 3：通分把下列各小题中的两个分式化成同分母的两个分式.



【归纳结论】分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（即最简公分母）.
三、运用新知，深化理解
1. 填空

① 3a
5xy
= ( ) 10axy

,(a≠0)

② a + 2 = 1


a2 - 4 ( )
解：6a2 a-2
2.分式:① a + 2 ,②
a2 + 3



a - b a2 - b2



4a
,③ 12(a - b)


,④ 1
x - 2



中,最简分式有( B )


A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
3. 若把分式 x + y 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ C ）
2xy
A.扩大 3 倍 B.不变

C.缩小 3 倍 D.缩小 6 倍


3a2b

8m2n
-4x2 yz3
2 ( x - y )3

4.约分：（1） 6ab2c （2） 2mn2 （3）
16xyz2
（4）


y - x


解：（1） a （2） 4m （3） - xz （4） -2（x - y）2
2bc n 4


5. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解： -6b = 6b


-x x


-7m 7m


-3x 3x


-5a
6. 通分：
，
5a 3y
= - ，-
3y 6n
= , - = .
6n 4 y 4 y

（1） 1 和
2ab3
（2） a 和
2


5a2b2c b

2xy 3x2
（3） 3c 和- a

2ab2
（4） 1 和
y -1
8bc2
1


y +1








【教学说明】在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式．最后看看结果是否为最简分式或整式．
四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？

1. 布置作业:教材“习题 16.1”中第 4、5 题.
2. 完成本课时对应练习.



学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习中可以发现很多问题.如：不会找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同时乘或除；约分不彻底等.所以在这些方面要多练习.

16.2 分式的运算
1. 分式的乘除



【知识与技能】
1. 理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算
2. 掌握分式乘方的有关运算
【过程与方法】
经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性
【情感态度】
通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力
【教学重点】
掌握分式的乘除法法则
【教学难点】
熟练地运用法则进行计算，提高运算能力



一、情境导入,初步认识
计算，并说出分数的乘除法的法则：

（1） 4 ´ 21
7 8
（2） 2 ¸ 4
5 9

【教学说明】复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备.


二、思考探究，获取新知探究 1：分式的乘除法法则

你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流.
【归纳结论】分式的乘除法的法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母; 如果得到的不是最简分式，应通过约分进行化简.
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
【教学说明】让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则.
探究 2：分式的乘方
怎样进行分式的乘方呢？试计算：
（1） n 3 （2） n k （k 是正整数）

（ ） （ ）
m m
n 3 n n n (n·n·n)
解：（1）（ ）= · · = = ；
m m m m (m·m·m)



仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则.
【教学说明】通过类比分数的乘方运算方法，总结出分式的乘方运算法则.
【归纳结论】把分式的分子、分母分别乘方，所得的幂作结果的分子、分母. 三、运用新知，深化理解
1. 见教材 P7 例 1、例 2.
2. 计算：


（1）（
y
-2x

）2；

（2）（ -2a ）3
c2





3. 计算：
a2 - b2
¸ 2
（a－b）
ab


解：原式=
a + b ab (a - b)


4.计算（: 2x）2（· 3y ）3 ¸（1 xy）

3y

解：原式=
4x
3
4x2
4



3a2 - ab 1

5.先化简，再求值： 9a2 - 6ab + b2 ,其中 a=－8,b= 2 ．

解：当 a=-8,b= 1 时，原式=
2
a
3a - b
= -8
3´(-8) - 1
2
= 16
49

6. 上海到北京的航线全程 s 千米，飞行时间需 a 小时；铁路全长为航线长的m 倍，乘车时间需 b 小时.飞机的速度是火车速度的多少倍？（用含 a、b、s、m 的分式表示）
解 ： s ¸ ms = s ´ b = b
a b a ms am
7. 甲队在 n 天内挖水渠 a 米，乙队在 m 天内挖水渠 b 米，如果两队同时挖水渠，要挖 x 米，需要多少天才能完成？（用代数式表示）
解：甲、乙两队每天分别挖 a 米， b 米，若两队合挖，每天挖（）米，所


以要挖 x 米，需要 x
n
= mnx

m

天才能完成.

a + b am + bn n m
【教学说明】通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识.需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简.
四、师生互动，课堂小结分式乘除法的运算步骤：
当分式的分子与分母都是单项式时：

(1) 乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；② 把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分
(2) 除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘， 其它与乘法运算步骤相同.当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；② 如果分子与分母有公因式，先约分再计算；③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式.

1. 布置作业:教材 P8 的“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



在练习中暴露出一些问题，例如在传授过程中急于求成，法则的引入没有给学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习题时，对学生容易出现的错误没有重点强调.所以学生在后面的练习中仍然出现这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后的教学中加强学生的答题规范性练习.

2.分式的加减
第 1 课时 分式的加减法



【知识与技能】
1. 理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减法运算
2. 理解并掌握异分母分式加减法的法则
【过程与方法】
类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则
【情感态度】
通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想
【教学重点】
熟练地进行异分母的分式加减法的运算
【教学难点】
熟练地进行异分母的分式加减法的运算



一、情境导入,初步认识做一做：

【教学说明】通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性.从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.

二、思考探究，获取新知探究：分式的加减法
计算：
（1 b 2 2 3

） + ；（2） - .
a a a2 ab
（1）= b + 2 = b + 2

解： a a a
（2 2 3 2b



3a 2b - 3a


） - = - =
a2 ab a2b a2b a2b
【教学说明】类比时注意引导学生正确猜想，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫.
【归纳结论】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 三、运用新知，深化理解
1. 见教材 P9 例 4
2. 计算：
(1) m -1 + n - m ;
x x
解：原式= n -1
x

2
(2) a
2ab + b2
+
;


a + b a + b
解：原式=a+b
(3) x - 2 y - 7x + y ;

2x - y 2x - y
解：原式= -6x - 3y
2x - y

3. 计算：
-
a2 1- 2a
；

a -1 1- a
解：原式=a-1

4. m - 5n -
n - 9m
6n 9m - n
+ m
9m - n


解：原式=

5.计算:
-n


9m - n

(1) 12 + 2

m2 - 9 3 - m


解：原式=
12 +
m2 - 9
2


-（m - 3）

= 12 - 2
(m + 3)(m - 3) (m - 3)
= 12 - 2 (m + 3)
(m + 3)(m - 3) (m + 3)(m - 3)
= 12 - 2m + 6
(m + 3)(m - 3) (m - 3)(m + 3)
12 - 2m - 6
= (m + 3)(m - 3)
6 - 2m
= (m + 3)(m - 3)
= 2 (3 - m)
(m + 3)(m - 3)
= -2 (m - 3)
(m + 3)(m - 3)
=- 2


m + 3

（2） a + 2 -

4


2 - a




【教学说明】让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分

母分式加减法法则.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？哪些疑惑？



1. 布置作业:教材 P9“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好，但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于分式的通分还很不熟练，也有学生对于计算结果应该为最简分式理解不够总是无法化到最简的形式. 所以对异分母的加减法还要加强练习.

第 2 课时 分式的混合运算



【知识与技能】
知道分式的加、减、乘、除、乘方的法则是什么；会进行分式的混合运算
【过程与方法】
经历探索分式的混合运算法则的过程,理解分式加减法运算的原理
【情感态度】
培养大胆猜想、积极探究的学习态度,发展观察、类比、交流的能力
【教学重点】
能够进行分式的混合运算
【教学难点】
能够进行分式的混合运算



一、情境导入,初步认识
我们在小学里学过四则混合运算，它的运算顺序是什么？分式的混合运算顺序又是什么样的呢？
【教学说明】通过回顾小学里学过四则混合运算的运算顺序，从而引出分式的混合顺序.
二、思考探究，获取新知

计算： 1
- x + 3
x2 - 2x +1
·

x +1 x2 -1 x2 + 4x + 3




【教学说明】引导学生观察上面的计算过程，并总结分式的混合运算法则.
【归纳结论】分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
三、运用新知，深化理解

1. 计算(
x + 2 - x -1 ) ¸ x - 4


x2 - 2x x2 - 4x + 4 x





2. 先化简，再求值：
x ¸(
x2 - 2x +1
x +1 +1
x2 -1
) ，其中 x= 2 +1





3. 从三个代数式：①a2-2ab+b2，②3a-3b，③a2-b2 中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当 a=6，b=3 时该分式的值．
解：选②与③构造出分式， 3a - 3b
a2 - b2



当 a=6，b=3 时
原式= 3 = 1

6 + 3 3

4. 先化简，再求值：(
的负整数解.
x + 2 - x -1
x x - 2
) ¸ x - 4
x2 - 4x + 4

，其中 x 是不等式 3x+7＞1




3x+7＞1
3x＞-6 x＞-2
∵x 是不等式 3x+7＞1 的负整数解
∴x=-1 把 x=-1 代入 x - 2 中
x
得：原式= -1- 2 =3
-1
【教学说明】注意：1.分式通分时分母能分解应先分解；2.确定最简公分母；
3. 分子、分母同乘以不等于零的整式.
四、师生互动，课堂小结
本节课你学到了什么？同桌两人相互交流意见.



1. 布置作业:教材“习题 16.2”中第 3、4、5 题.
2. 完成本课时对应练习.



教学时，要随时注意学生出现的错误，及时给予纠正．对计算错误的原因， 要仔细分析．帮助学生从根本上弄清概念和法则，使学生明白所犯错误的原因， 才能避免再犯同样的错误．

16.3 可化为一元一次方程的分式方程第 1 课时 分式方程

【知识与技能】
1. 理解分式方程的概念
2. 会通过设适当的未知数，根据等量关系列出分式方程
3. 使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法
【过程与方法】
通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别
【情感态度】
在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力
【教学重点】
使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方
程
【教学难点】
使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌
握验根的方法



一、情境导入,初步认识
1. 什么是方程？
2. 什么是一元一次方程？它的解怎样检验？
【教学说明】回顾方程的相关知识，为本节课的教学做准备. 二、思考探究，获取新知
探究 1：分式方程的概念
轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同.

已知水流的速度是 3 千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，根据题意，得

80 =
x + 3
60


x - 3

（1）

观察这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？
【教学说明】通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念
【归纳结论】方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
思考：怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程（1）.
方程（1）可以解答如下：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得 80
（x-3）=60(x+3).解这个整式方程，得 x=21.
所以轮船在静水中的速度为 21 千米/时.
【归纳结论】上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
探究 2：分式方程的增根


解方程
1 =
x -1
2 .
x2 -1

解方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2.
解这个整式方程，得 x=1.
思考：x=1 是不是原分式方程的解（或根）呢？
当 x=1 时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是 0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1 不是原分式方程的解，应当舍去. 所以原分式方程无解.
【归纳结论】在解分式方程时，产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程的根呢？分式方程如何检验呢？
【归纳结论】解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使

原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式
（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.三、运用新知，深化理解
1. 见教材 P15 例 2.
2.在方程 x + 3 - 5 = 0, 4 = 6, x - 3 = 0, x - 4 = 1, x = 2 中分式方程有（B）

2 x 2 + x 3 x p
A．2 个 B.3 个
C.4 个 D.5 个
3. A、 x + 3 = 5 ；B、 x - 3 = 0 ；C、 x = 21中，B 是分式方程,A、C 是整




2
式方程.
2x +1 p

4. 解下列方程：

（1） 2 y
y -1
+1 = 3y -1 ．
y


解：方程两边都乘以 y（y-1），得 2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），
2y2+y2-y=3y2-4y+1，
3y=1，
解得 y= 1 ，
3

检验：当 y= 1 时，y（y-1）= 1
3 3
∴y= 1 是原方程的解，
3
∴原方程的解为 y= 1 ．
3
×（ 1 -1）=- 2
3 9

≠0，


（2）
x x +1

-1 =
3


( x +1)( x - 2) .


解：两边同时乘以（x+1）（x-2），得 x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．解这个方程，得 x=-1．（7 分）
检验：x=-1 时（x+1）（x-2）=0，x=-1 不是原分式方程的解，

∴原分式方程无解．


（3）
3 -
x -1
x + 3 = 0 ．
x2 -1

解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得 3x+3-x-3=0，解得x=0．
检验：把 x=0 代入（x-1）（x+1）=-1≠0．
∴原方程的解为：x=0


（4）
2 -
x2 - 4
1


x + 2

= 0 ．

解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得 2-（x-2）=0，解得 x=4．检验：把 x=4 代入（x+2）（x-2）=12≠0．
∴原方程的解为：x=4
（5） 3 - 1 = 4 .

3x -1 6x - 2
解：方程两边同乘以 2（3x-1），得 3（6x-2）-2= 4
18x-6-2=4，
18x=12，
x= 2 ．
3
检验：把 x= 2 代入 2（3x-1）中，
3
2（3x-1）≠0，
∴x= 2 是原方程的根．
3
∴原方程的解为 x= 2 ．
3
（6） 1 + 1 = 3 .

1- 3x 2 6x - 2
解：方程两边同乘以 2（3x-1），得：-2+3x-1=3，
解得：x=2，

检验：x=2 时，2（3x-1）≠0． 所以 x=2 是原方程的解.
【教学说明】通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程的概念、增根的理解；通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查漏补缺．
四、师生互动，课堂小结
(1) 什么是分式方程？举例说明；
(2) 解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化为整式方程．解这个整式方程；验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是 0，说明此根是原方程的根；若结果是 0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．
(3) 解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？



1. 布置作业:教材“习题 16.3”中第 1 题.
2. 完成本课时对应练习.



本节课的关键是如何过渡，究竟是给学生一个完全自由的空间还是让学生在老师的引导下去完成，“完全开放”符合设计思路，符合课改要求，但是经过教学发现，学生在有限的时间内难以完成教学任务，因此，先讲解，做示范，再练习更好些.

第 2 课时 分式方程的应用



【知识与技能】
1. 经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；
2. 掌握列分式方程解应用题的一般步骤；
3. 会列分式方程解决简单的应用题，提高学生分析问题、解决问题的能力和应用意识.
【过程与方法】
经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性” 的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
【情感态度】
通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，加深学生对生活的热爱．
【教学重点】
列分式方程解应用题
【教学难点】
对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视



一、情境导入,初步认识
1. 解分式方程的一般步骤;

2. 解方程 x +1 -
x -1
4


x2 -1

= 1;

3. 列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？
【教学说明】回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题.
二、思考探究，获取新知
某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.

已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
解：设乙每分钟能输入 x 名学生的成绩，则甲每分能输入 2x 名学生的成绩， 根据题意得
2640 = 2640 - 2´ 60 .
2x x
解得：x=11.
经检验，x=11 是原方程的解.
并且 x=11，2x=2×11=22 ，符合题意.
答：甲每分钟能输入 22 名学生的成绩，乙每分钟能输入 11 名学生的成绩.
【教学说明】引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审—设—列—解—验—答. 三、运用新知，深化理解
1. 王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用 300 元.后因人数增加到原定人数的 2 倍，费用享受了优惠，
一共只需要 480 元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少 4 元，原定的人数是多少？
解：设原定是 x 人，由题意可知：
300 - 4 = 480
x 2x
解得：x=15
经检验：x=15 是原分式方程的根. 答：原定的人数是 15 人.
2. 在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队单独做 2 天后，
再由乙工程队单独做 3 天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比
甲工程队单独完成这项任务多用 2 天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？
解：设甲工程队单独完成任务需 x 天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天，

依题意得 2 + 3 = 1．

x x + 2
化为整式方程得 x2-3x-4=0
解得 x=-1 或 x=4．
检验：当 x=4 和x=-1 时，x(x+2)≠0，x=4 和 x=-1 都是原分式方程的解． 但 x=-1 不符合实际意义，故 x=-1 舍去；
∴乙单独完成任务需要 x+2=6（天）．
答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要 4 天、6 天．
3. 去年 5 月 12 日，四川省汶川县发生了里氏 8.0 级大地震，兰州某中学师生
自愿捐款，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第
一天捐款人数多 50 人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？
解法 1：设第一天捐款 x 人，则第二天捐款（x+50）人，

由题意列方程 4800 =

6000 ．



解得 x=200．
x x + 50

检验：当 x=200 时，x（x+50）≠0，
∴x=200 是原方程的解．
两天捐款人数 x+（x+50）=450，人均捐款 4800 =24（元）．
x
解法 2：设人均捐款 x 元，
由题意列方程 6000 - 4800 = 50 ．
x x
答：两天共参加捐款的有 450 人，人均捐款 24 元．
4. 在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要 60 天；若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做
24 天可完成．
（1） 乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2） 甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万
元．若该工程计划在 70 天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

解：（1）设乙队单独完成需 x 天根据题意，得

1 ´ 20 + (
60
1 + 1
x 60
)´ 24 = 1

解这个方程，得 x=90
经检验，x=90 是原方程的解.
∴乙队单独完成需 90 天.
（2）设甲、乙合作完成需 y 天，则有

( 1 + 1
) y = 1

60 90
解得 y=36（天）
甲单独完成需付工程款为 60×3.5=210 （万元）.
乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．甲、乙合作完成需付工程款为
36×（3.5+2）=198（万元）
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
5. 一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，出发后第一小时内按原计划
的速度匀速行驶，一小时后以原来的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
解：设前一小时的速度为 xkm/小时，则一小时后的速度为 1.5xkm/小时，由题意得：

180 -(
x
1+ 180 - x
1.5x
) = 2 ，
3

解这个方程为 x=60，
经检验，x=60 是所列方程的根，
答：前一小时的速度为 60km/小时．
【教学说明】使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧． 四、师生互动，课堂小结
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1） 审清题意；
（2） 设未知数（要有单位）；

（3） 根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；
（4） 解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
（5） 写出答案（要有单位）.



1. 布置作业:教材“习题 16.3”中第 2、3 题.
2. 完成本课时对应练习.



应用题历来是个“老大难”，学生痛苦，老师无奈，怎么办？降低门槛，找准认识的生长点是关键，引导学生喜欢应用题是关键.



16.4 零指数幂与负整数指数幂



【知识与技能】
1. 使学生掌握不等于零的零次幂的意义.

2. 使学生掌握a-n = 1
an

（a≠0，n 是正整数）并会运用它进行计算.


3. 会用科学记数法表示较小的数.
【过程与方法】
通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法
【情感态度】
简洁的内容，在形式上尽可能做到活泼，从而培养学生之间的感情，有利于形成和发展学生的数学观念和思维方式．
【教学重点】
不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质
【教学难点】
不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质



一、情境导入,初步认识
在前面，我们学习过同底数幂的除法公式 am÷a n=am-n 时，有一个附加条件： m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n 或 m＜n 时，情况怎样呢？
【教学说明】回顾相关知识，为本节课的教学做准备. 二、思考探究，获取新知
探究 1:零次幂计算：
52÷5 2，103÷10 3，a5÷a 5(a≠0)
仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷5 2=52-2=50，
103÷10 3=103-3=100，



a5÷a 5=a5-5=a0(a≠0).
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于 1.
【归纳结论】任何不等于零的数的零次幂都等于 1.即：a0=1（a≠0） 探究 2：负整数指数幂
计算：52÷5 5，103÷10 7，
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷5 5=52-5=5-3，103÷10 7=103-7=10-4.
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为





【归纳结论】5-3 =

整数)
1 ，10-4 =
53
1
104
.一般地，我们规定：a-n = 1
an
(a≠0，n 是正

这就是说，任何不等于零的数的－n（n 为正整数）次幂，等于这个数的 n
次幂的倒数.
【教学说明】引导学生观察、对比两种计算方法，总结出相关结论. 探究 3：科学记数法
我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用 10 的正整数次幂， 把一个绝对值大于 10 的数表示成 a×10 n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10.例如，864000 可以写成 8.64×10 5.
类似地，我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10 -n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10.
三、运用新知，深化理解
1. 若式子(2x-1)0 有意义，求 x 的取值范围.解：由 2x－1≠0，得 x≠ 1 即，当 x≠ 1
2 2
时，(2x-1)0 有意义
2. 计算：









3. 用科学记数法表示下列各数.
（1）30920000（2）0.00003092
（3）－309200（4）－0.000003092 解：（1）30920000=3.092×10 7
（2）0.00003092=3.092×10 -5
（3）－309200=－3.092×10 5
（4）－0.000003092=－3.092×10 -6.
4. 用小数表示下列各数.
（1）-6.23×10 -5（2)(-2)3×10 -8
解：（1）-6.23×10 -5=－0.0000623；
（2）(-2)3×10 -8=－8×10 -8=－0.00000008.
5. 已知 x+x-1=a，求 x2+x-2 的值.


分析：本例考查的是负整数指数幂及完全平方公式的灵活运用，显然，由x+x-1 我们很难求出 x，但可根据负整数指数幂的意义，把 x+x-1 及 x2+x-2 化为分数形式，观察、比较两式的特点，运用完全平方公式即可求解.






【教学说明】巩固提高通过观察、灵活运用. 四、师生互动，课堂小结
1. 公式 am÷a n=am-n(a≠0,m>n)当 m=n 时，am÷a n=_ 当 m
2. 任何数的零次幂都等于 1 吗？规定a-n = 1
an

制？

其中 a、n 有没有限制？如何限



1 布置作业:教材“习题 16.4”中第 1、2、3 题.
2.完成本课时对应练习.



教学中，复习幂的有关运算性质后提出问题“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负数又表示什么意义呢？”通过提问让学生寻找规律,猜想出零指数幂和负整数幂的意义，不但调动了学生学习的积极性,而且使其印象更深, 当然也达到了课堂的预期效果.

章末复习



【知识与技能】
1. 使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算.
2. 会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.
【过程与方法】
通过复习，发展学生的代数表达能力、运算能力和有条理地思考问题的能力.
【情感态度】
提高学生解决实际问题的能力，培养学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力.
【教学重点】
会解分式方程，并利用分式方程解决实际问题.
【教学难点】
会解分式方程，并利用分式方程解决实际问题.



一、知识结构



【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.分式概念
形如 A/B，其中分母 B 中含有字母，分数是整式而不是分式. 2.分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整
式，分式的值不变.用式子表示是： AB = A´ M ，AB = A ¸ M .
B ´ M B ¸ M
分式的约分和通分：
(1) 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 求几个分式的最简公分母的步骤：
（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；
(2) 各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
(4) 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母.
(5) 各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式.这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分.
3. 分式的运算
（1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．（2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母后再加减．(3)分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方， 再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些.
4. 分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的解法：①去分母，方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根.
5. 分式方程的应用
列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程．与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意.
6. 零指数幂与负整数指数幂
零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于 1.即：a0=1（a≠0）

负整数指数幂：任何不等于零的数的－n（n 为正整数）次幂，等于这个数

的 n 次幂的倒数. a-n = 1
an

(a≠0，n 是正整数)


7. 科学记数法：我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10 -n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10.
【教学说明】通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.
三、典例精析，复习新知

1.解分式方程： 1
= 1- x


x - 2 2 - x
解：方程两边同乘 x-2，得1=-(1-x)
1=-1+x
∴x=2
检验：将 x=2 代入x-2=2-2=0
∴x=2 为原方程的增根. 2.有一道题：

“先化简，再求值： (
x - 2 +
x + 2
4x x2 - 4
) ¸ 1
x2 - 4
其中，x=-3”．

小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
解：原式计算的结果等于 x2+4，所以不论 x 的值是+3 还是-3 结果都为 13. 3.一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，出发后第一小时内按原计划
的速度匀速行驶，一小时后以原来的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
解：设前一小时的速度为 xkm/小时，则一小时后的速度为 1.5xkm/小时，由

题意得： 180 -(
x
1+ 180 - x
1.5x
) = 2 ，
3

解这个方程为 x=60，
经检验，x=60 是所列方程的根，
答：前一小时的速度为 60km/小时．

4.某市从今年 1 月 1 日起调整居民用天燃气的价格为每立方米天燃气价格上
涨 25%．小颖家去年 12 月份的燃气费是 96 元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5 月份的用气量比去年 12 月份少 10m3，5 月份的燃气费是 90 元．求该市今年居民用气的价格．
解：设该市去年居民用气的价格为 x 元/m3，则今年的价格为(1+25%)x 元/m3．

根据题意，得 96 -
x
90
(1+ 25%) x

= 10 ．


解这个方程，得 x=2.4．
经检验，x=2.4 是所列方程的根．
2.4×(1+25%)=3( 元/m3)．
所以，该市今年居民用气的价格为 3 元/m3．
【教学说明】通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.
四、复习训练，巩固提高
1. 用科学记数法表示下列各数：
0．00004，-0.034,0.00000045,0.003009
解：(1)4×10 -5 (2)-3.4×10 -2 （3）4.5×10 -7 （4）3.009×10 -3
2. 计算
(1)(3×10 -8)×(4×10 3)
(2)(2×10 -3)2÷(10 -3)3
解：（1）1.2×10 -4（2）4×10 3
x -1
3. 若 x2 + 2x - 3 的值为零，则 x 的值是

4. 若分式 3
x -1

的值是正整数，则整数 x 的值是

5. 解方程
（1） 2 = 1

x + 5 2x -1
解：略
7 - 3 = + 7 - x2

（2） x2 + x x - x2 1 x2 -1

解：略
6. 先化简，再求值：
a ( 4 - 1 ) + a ¸ 1 ，其中 a= 1 ．

a 2 - a a - 2 3
解：原式=3a-1 把 a= 1 代入得：
3

原式=3× 1
3
-1=1-1=0

7. 求代数式的值：
x2 - 2x
2x - 4

x2 - 4 ¸(
x - 2 -
x + 2
) ，其中 x=2+2

2
解：原式= 1
x - 2
2
当 x=2+2 时
原式= 1 = 2
x - 2 4
8.（1）原子弹的原料——铀，每克含有 2.56×10 21 个原子核，一个原子核裂变时能放出 3.2×10 -11J 的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？
（2）1 块 900mm2 的芯片上能集成 10 亿个元件，每一个这样的元件约占多少 mm2？约多少 m2？（用科学记数法表示）
分析：第（1）题直接列式计算；第（2）题要弄清 m2 和 mm2 之间的换算关系，即 1m=1000mm=103mm，1m2=106mm2，再根据题意计算.
解：（1）由题意得：
2.56×10 21×3.2×10 -11=2.56×3.2×10 21×10 -11=8.192×10 10(J)
答：每克铀全部裂变时能放出的热量 8.192×1010J 的热量.

（2） 900
1000000000

=900×10 -9=9×10 2×10 -9=9×10 -7(mm2)

9×10 -7÷10 6=9×10 -7-6=9×10 -13(m2)
答：每一个这样的元件约占 9×10 -7mm2，约 9×10 -13m2.
9. 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相
等，已知水流速度为 2 千米/小时，求船在静水中的速度. 解：设船在静水中的速度为 x 千米／小时.

则 30 =
x + 2
20


x - 2

去分母得 30(x-2)=20(x+2)
∴30x-60=20x+40 10x=100
∴x=10
将 x=10 代入方程得：x=10 是方程组的根，也是本问题的解，
∴x=10
答：船在静水中的速度是 10 千米／小时.
10. 某车间加工 1200 个零件，采用了新工艺后，工效是原来的 1.5 倍，这样
加工零件就少用 10 小时，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？
解：设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则采用新工艺后每小时加工 1.5x
个零件.
由题意得
1200 - 1200 = 10
x 1.5x
1800-1200=15x
15x=600
x=40（个）
经检验：x=40 是方程的解
∴1.5x=60（个）
答：采用新工艺前、后每时分别加工 40 个、60 个零件
【教学说明】让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力.
五、师生互动，课堂小结通过复习，你对本章的知识还有哪些疑惑？



1. 布置作业:教材“复习题”中第 3、6、7、8 题.
2. 完成本课时对应练习.




通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识；加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.
通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.加强学生对分式的运算等基本技能的训练.部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能.

第 17 章 函数及其图象
17.1 变量与函数


第 1 课时 变量与函数（1）
【知识与技能】
1. 通过直观感知,领悟常量、变量、因变量、自变量与函数的意义.
2. 了解函数的三种表示方法.
3. 能应用方程思想列出实例中的等量关系，并能够列出简单问题的函数解析
式.
【过程与方法】
引导、启发、探索讨论.
【情感态度】
通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，通过分析、归纳，
提高学生用类比的方法探索新知识的能力.
【教学重点】
在具体的问题情境中,探究出相应的函数关系式.
【教学难点】
对函数概念和对应思想的理解.



一、情境导入,初步认识


问题 1：下图是某日的气温的变化图，看图回答：
1. 这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少?任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗?

2. 这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少?
3. 这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?
从图中我们可以看出，随着时间 t(时)的变化，相应的气温 T(℃)也随之变化.
【教学说明】由实际问题入手，提高学生学习兴趣. 二、思考探究，获取新知
问题 2：见课本中的问题 2.
说一说，随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？
问题 3：收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
波长 l（m）
300
500
600
1000
1500
频率 f(kHz)
1000
600
500
300
200
同学们是否能从表格中找出波长 l 与频率 f 的关系呢?
问题 4：圆的面积随着半径的增大而增大．如果用 r 表示圆的半径，S 表示
圆的面积，则 S 与 r 之间满足下列关系：S= ．


利用这个关系式，试求出半径为 1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm 时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就 ．
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．
【归纳结论】
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地， 如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有
惟一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数．
表示函数关系的方法通常有三种：

(1) 解析法，如问题 3 中的 f

函数的关系式．
= 300000 ，问题 4 中的 S=πr2，这些表达式称为
l

(2) 列表法，如问题 2 中的小蕾的体重表，问题 3 中的波长与频率关系表．
(3) 图象法，如问题 1 中的气温曲线．在问题的研究过程中，还有一种量， 它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题 3 中的 300000，问题 4 中的π等．
【教学说明】
要引导学生在以下几个方面加深对于函数概念的理解：变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于 X 的每一个值，Y 都有唯一的值与它对应，如果 Y 有两个值与它对应，那么 Y 就不是 X 的函数.例如 y2=x
三、运用新知，深化理解
1. 常量和变量在研究“某一变化过程中”时是确定的，以 s=vt 为例（t 为时间，v 为速度，s 为路程）：
①若速度 v 固定，则常量是 ，变量是 ；
②若时间 t 固定，则常量是 ，变量是 .
分析：①速度 v 固定，即在这个变化过程中 v 的取值保持不变，此时 s 随 t 的变化而变化，可以取不同的数值，故 v 为常量，s 和 t 为变量；②t 固定，即为常量，此时 s 和 v 可以取不同的数值，是变量.
解：①v，s、t；②t，s、v
2. 已知变量 x 与 y 的四种关系：y=︱x︱，︱y︱=x，2x2－y=0，2x－y2=0 其中 y 是 x 的函数的有 个.
分析：依函数定义，︱y︱=x 与 2x－y2=0 中，x 每取一个大于 0 的值，y 都
有两个与之对应，例如 x=4 时，︱y︱=4,有 y=±4，故 y 不是 x 的函数；只有 y=
︱x︱和 2x2－y=0 中 y 是 x 的函数. 解：2
3. 若一辆汽车以 50 千米/时的速度匀速行驶，则行驶的路程 s（千米）与行
驶的时间 t（时）之间的函数关系式是（ B ）
A.s=50＋50t B.s=50t
C.s=50－50t D.以上都不对
4. 下列变量间的关系不是函数关系的是（ D ）
A. 长方形的宽一定，其长与面积

B. 正方形的周长与面积C.圆的半径与面积
D.等腰三角形的底边长与面积5.下列说法不正确的是( A )
A. 公式 V=4/3πr3 中，4/3 是常量，r 是变量，V 是 πr 的函数
B. 公式 V=4/3πr3 中，V 是 r 的函数
C. 公式 v=s/t 中，v 可以是变量，也可以是常量
D. 圆的面积 S 是半径 r 的函数
6. 下表是某市 2014 年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.



(1)从表中你能看出该市 14 岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?
解：(1)平均身高是 146.1cm；
(2) 约从 14 岁开始身高增加特别迅速；
(3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄

是自变量，平均身高是因变量．
7. 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量： (1)圆的周长 C 与半径 r 的关系式；
(2) 火车以 60 千米/时的速度行驶，它驶过的路程 s（千米）和所用时间 t（时） 的关系式；
(3) n 边形的内角和 S 与边数 n 的关系式． 解：(1)C=2πr，2π 是常量，r、C 是变量； (2)s=60t，60 是常量，t、s 是变量；
(3)S=(n－2)×180 ，2、180 是常量，n、S 是变量．
【教学说明】
通过练习，让学生掌握变量与函数的概念及相互间的关系；会找问题中的变量、常量、函数.
四、师生互动，课堂小结
1. 函数概念包含： (1)两个变量；
(2)两个变量之间的对应关系．
2. 在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应， 我们就说 x 是自变量，y 是因变量．
3. 函数关系三种表示方法：
(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．



1. 布置作业:教材 P30“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



关于函数定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有惟一的值与它对应．对于实际问题，学生应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式.

第 17 章 函数及其图象
17.1 变量与函数


第 2 课时 变量与函数（2）
【知识与技能】
1.学会求函数自变量的取值范围,了解实际情境中对函数自变量取值的限 制.2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值.3.进一步会求具体问题中的函数关系式.
【过程与方法】
联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.
【情感态度】
增强数学建模意识.
【教学重点】
在具体的问题情境中,求函数自变量的取值范围.
【教学难点】
求函数自变量的取值范围



一、情境导入,初步认识


填写如图所示的加法表，然后把所有填有 10 的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用 x 表示，纵向加数用 y 表示，试写出 y 关于 x 的函数关系式.









【教学说明】

通过游戏，提高学生的学习兴趣，引入本节课的教学内容. 二、思考探究，获取新知
等腰三角形中顶角的度数y 是底角的度数x 的函数，试写出这个函数关系式，
并求出 x 的取值范围.
解：根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理可知：
y 与 x 的函数关系式：y=180－2x
因为等腰三角形的底角只能是锐角,所以等腰三角形的底角的度数 x 不可能大于或等于 90°
所以，自变量 x 的取值范围是：0＜x＜90
【教学说明】
通过实际问题的探究过程，让学生明白，自变量的取值必须符合实际情况.
【归纳结论】
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，则必须使实际问题有意义． 三、运用新知，深化理解
1. 见教材 P32“例 2”
2. 求下列函数中自变量 x 的取值范围
(1)y=3x－1 (2)y=2x2＋7

(3)y= 1
x + 2

(4)y=

x－2
解析：用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x 取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)
题，x＋2 必须不等于 0 式子才有意义，对于第(4)题，x－2 必须是非负数式子才有意义．
解：(1)x 取值范围是任意实数；
(2)x 取值范围是任意实数； (3)x 的取值范围是 x≠－2； (4)x 的取值范围是 x≥2．
3. 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
(1) 某市民用电费标准为每度 0.50 元，求电费 y(元)关于用电度数 x 的函数关

系式；
(2) 已知等腰三角形的面积为 20cm2，设它的底边长为 x(cm)，求底边上的高y(cm)关于 x 的函数关系式；
(3) 在一个半径为 10cm 的圆形纸片中剪去一个半径为 r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为 S(cm2)，求 S 关于 r 的函数关系式．
解 ：(1)y=0.50x，x 可 取 任 意 正 数 ； (2)y=40/x，x 可 取 任 意 正 数 ； (3)S=100π－πr2，r 的取值范围是 0＜r＜10．
4. 某剧场共有 30 排座位，第 l 排有 18 个座位，后面每排比前一排多 1 个座位，写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 之间的函数关系式，自变量的取值有什么限制.
解：m=18＋(n－1)（1≤n≤30 的整数或 0 【教学说明】
通过练习与实际问题的探究过程对学生在求自变量取值范围进行巩固提高更加深刻理解，在求自变量取值范围时，必须使函数解析式有意义；遇到实际问题，必须使实际问题有意义.
四、师生互动，课堂小结
1. 求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2. 求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

1. 布置作业:教材“习题 17.1”中第 1、2 题.
2. 完成本课时对应练习.




通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于 0， 其二是开偶次方的被开方数是非负数．

第 17 章 函数及其图象
17.2 函数的图象


1. 平面直角坐标系
【知识与技能】
1. 掌握平面直角坐标系的有关概念；
2. 能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；
3. 初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．
【过程与方法】
联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程.
【情感态度】
由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性.
【教学重点】
特殊点的坐标特征.
【教学难点】
探索特殊点的坐标特征.



一、情境导入,初步认识


如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点 A 在数轴上的坐标是 4， 点 B 在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．

【教学说明】
经过对数轴的复习回顾，为本节课的学习平面直角坐标系打下基础. 二、思考探究，获取新知
探究 1：平面直角坐标系的相关概念
问题 1：例如：你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？ 问题 2：在教室里，怎样确定一个同学的座位？
【归纳结论】在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），
这就建立了平面直角坐标系.通常把其中水平的一条数轴叫做 x 轴或横轴，取向
右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点 O
叫做坐标原点．



在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图中的点 P，从点 P 分别向x 轴和 y 轴作垂线，垂足分别为点 M 和点 N．这时，点M 在 x 轴上对应的数为 3，称为点 P 的横坐标；点 N 在 y 轴上对应的数为 2，称为点 P 的纵坐标．依次写出点 P 的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3,2)，称为点 P 的坐标．这时点 P 可记作 P(3,2)．在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
探究 2：特殊点的坐标特征
1. 在直角坐标系中描出点 A(2,－3)，分别找出它关于 x 轴、y 轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：
(1) 关于 x 轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
(2) 关于 y 轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

(3) 关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？
【归纳结论】
关于 x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反； 关于 y 轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；
关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等， 符号相反.
2. 在直角坐标平面内，
(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？ (2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？
【归纳结论】
第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数．
【教学说明】
引导学生通过作图、观察平面直角坐标系中点的坐标，总结出相关规律. 三、运用新知，深化理解
1.如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示 A 点，(0，4)表示 B
点，那么 C 点的位置可表示为（C）



A．(0，3) B．(2，3)
C．(3，2) D．(3，0)
2.已知点 P1(-4，3)和 P2(-4，-3)，则 P1 和 P2（C） A．关于原点对称 B．关于 y 轴对称
C．关于 x 轴对称 D．不存在对称关系
3. 已知点 A(3a+5,a-3)在二、四象限的角平分线上，则 a=-1/2.
4. 写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标.
解：A(-2，0)、B(0，-2)、C(2，-1)、D(2，1)、E(0，2)


5. 如图，三角形 PQR 是三角形 ABC 经过某种变换后得到的图形，分别写出点 A 与点 P，点 B 与点 Q，点 C 与点 R 的坐标，并观察它们之间的关系，如果三角形 ABC 中任意一点 M 的坐标为（a,b)那么它的对应点 N 的坐标是什么？
解：A(4,3)P(-4,-3)，B(3,1)，Q(-3,-1)，C(1,2)，R(-1,-2)，N(-a,-b)




【教学说明】通过练习，让学生掌握平面直角坐标系中的相关知识点. 四、师生互动，课堂小结
1. 平面直角坐标系的有关概念及画法；
2. 在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标；
3. 在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；
4. 分别关于 x 轴、y 轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．



1. 布置作业:教材 P35“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



本节课我们认识了平面直角坐标系，通过上面的讲解和练习可以知道，平面上的点都可以用有序实数来表示，也必须用有序实数表示；反过来，任何一对有

序实数都可以在坐标平面上描出一点，所以，在平面直角坐标系中的点和有序实数对是成一一对应的关系.

第 17 章 函数及其图象


2.函数的图象
【知识与技能】
1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象 2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题
【过程与方法】
通过画图观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想
【情感态度】
通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳的方法，培养学生用类比的方法探索新知识的能力
【教学重点】
掌握用描点法画出一些简单函数的图象
【教学难点】
能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问
题.



一、情境导入,初步认识
气温曲线是用图象表示函数的一个实际例子，那么什么是函数图象？你能利用函数解析式画出一些函数的图象吗？
【教学说明】利用提问的方式，提起学生解决问题的欲望. 二、思考探究，获取新知
探究 1：画函数图象
画出函数 y= 1 x2 的图象.
2


解：列表

描点：



用光滑曲线连线：



【归纳结论】画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．
探究 2：利用函数图象解决实际问题


王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间 x（分）之间的 S 函数关系（从小强开始爬山时计时）．看图回答问题.








1. 小强让爷爷先上多少米？
2. 山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
3. 小强通过多少时间追上爷爷?

【分析】
在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义．再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境．如图中的两条线段都可以看出随着自变量 x 的逐渐增大，函数值 y 也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当 x 达到最大值时，也就是到达山顶．
解：1.60 米 2.300 米 小强 3.8 分
三、运用新知，深化理解
1. 画出函数 y=x＋1 的图象解：列表



描点：
连线：






2. 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离 s（米） 与散步所用时间 t（分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．
解：小明先走了约 3 分钟，到达离家 250 米处的一个阅报栏前看了 5 分钟报，
又向前走了 2 分钟，到达离家 450 米处返回，走了 6 分钟到家．
3. 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式= - 1 x2+ 8 x
5 5
击球，球正好进洞．其中，y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离．
(1) 试画出高尔夫球飞行的路线；
(2) 从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？
解:(1)列表如下：






在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象．
(2)高尔夫球的最大飞行高度是 3.2m，球的起点与洞之间的距离是 8m．
【教学说明】

通过练习，检测学生对描点法画函数图象、利用图象解决实际问题的掌握情
况.
四、师生互动，课堂小结
由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行：
1. 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
2. 描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3. 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来． 描出的点越多，图象越精确．有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线
连结画出的点，从而得到函数的近似的图象．



1. 布置作业:教材“习题 17.2”中第 4、5 题.
2. 完成本课时对应练习.



在教学中要强调：
1. 画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；
2. 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义．然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境．

第 17 章 函数及其图象
17.3 一次函数


1. 一次函数
【知识与技能】
1.理解一次函数和正比例函数的概念；2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．
【过程与方法】
探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力
【情感态度】
通过理解函数与变量之间的关系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维
【教学重点】
一次函数、正比例函数的概念及关系
【教学难点】
理解一次函数与正比例函数的联系和区别



一、情境导入,初步认识
1. 作函数图象一般步骤是什么?
2. 在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象． (1)y=2 (2)y=x＋2
【教学说明】
对上节课的知识进行复习，为本节课作准备. 二、思考探究，获取新知
探究：一次函数的概念
问题 1：小明暑假第一次去北京．汽车驶上 A 地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是 95 千米/小时．已知 A 地直达北京的高速公路全程

为 570 千米，小明想知道汽车从 A 地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．
分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变
化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为 t 小时,汽车距北京的路程为 s 千米,根据题意,s 和 t 的函数关系式是：
s=570－95t．
问题 2：弹簧下端挂重物，弹簧会伸长.弹簧的长度 y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数.已知一根弹簧不挂重物时的长度是 6 厘米，在一定的弹性限度内，
每挂 1 千克重物弹簧伸长 0.3 厘米，求这个函数解析式. 解：y=0.3x+6
以上问题 1 和问题 2 表示的这两个函数有什么共同点?
【归纳结论】
上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为 y=kx＋b 的形式，其中 k、b 是常数，k
≠0．特别地，当 b=0 时，一次函数 y=kx（常数 k≠0）也叫正比例函数，正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例.
【教学说明】
由两个实际问题所列出两个函数关系式，通过观察，总结出一次函数的解析
式.
三、运用新知，深化理解
1. 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？ (1)面积为 10cm2 的三角形的底边边长 a(cm)与这边上的高 h(cm)；
(2) 长为 8(cm)的平行四边形的周长 L(cm)与宽 b(cm)；
(3) 食堂原有煤 120 吨，每天要用去 5 吨，x 天后还剩下煤 y 吨；
(4) 汽车每小时行 40 千米，行驶的路程 s（千米）和时间 t（小时）．
分析：确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合 y=kx＋b(k≠0)或 y=kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．

解:(1)a= 20 ，不是一次函数．
h
(2) L=2b＋16，L 是 b 的一次函数．
(3) y=120－5x，y 是 x 的一次函数．
(4) s=40t,s 既是 t 的一次函数又是正比例函数．
2. 把直线 y=32x＋1 向上平移 3 个单位所得到的解析式为 . 解：y=32x＋4
3. 已知函数 y=x+1,求函数图像与坐标轴围成的三角形的面积？
解： 1
2
4. 已知函数 y=(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求 k 的值．若它是一次函数，求 k 的值．
分析：根据一次函数和正比例函数的定义,易求得 k 的值．
解：若 y=(k－2)x＋2k＋1 是正比例函数,则 2k＋1=0,即 k= - 1 。
2
若 y=(k－2)x＋2k＋1 是一次函数,则 k－2≠0，即 k≠2． 5.已知 y 与 x－3 成正比例，当 x=4 时，y=3．
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)y 与 x 之间是什么函数关系； (3)求 x=2.5 时，y 的值．
解：(1)y=3x-9 (2) 一次函数 (3)y=-1.5
【教学说明】
先让学生独立完成，对有难度的题目，教师作适当的提示. 四、师生互动，课堂小结
一次函数、正比例函数的概念是什么？它们之间有什么关系？



1. 布置作业:教材 P45“练习”
2. 完成本课时对应练习.



在具体问题中,如果涉及两个变量且只包含一个等量关系时,常用两个字母表示这两个变量,通过建立函数模型来解决问题.识别一个具体的函数是否为一次函

数或正比例函数的关键是理解一次函数、正比例函数的意义及能否转化成其一般表达形式.

第 17 章 函数及其图象


2.一次函数的图象
【知识与技能】
1. 理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线；
2. 熟练地作出一次函数和正比例函数的图象，掌握 k 与 b 的取值对直线位置的影响.
【过程与方法】
经历一次函数的作图过程，探索某些一次函数图象的异同点
【情感态度】
体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂
【教学重点】
认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象
【教学难点】
灵活选择自变量的值，便于描点使画图简便.注意自变量的取值范围



一、情境导入,初步认识
作函数图象一般步骤是什么?
【教学说明】
对作函数图象的一般步骤教学复习，为作一次函数的图象作准备. 二、思考探究，获取新知
探究 1：一次函数的图象
1.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.




(1)y= 1
2
x； (2)y= 1
2
x+2；

(3)y=3x； (4)y=3x＋2．
同学们观察并互相讨论，并回答：你所画出的图象是什么形状？
【归纳结论】
一次函数 y=kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，这条直线通常又称为直线 y=kx
＋b(k≠0)．特别地，正比例函数 y=kx(k≠0)是经过原点的一条直线． 2.几点可以确定一条直线?
【归纳结论】
那么今后画一次函数图象时只要取两点，过两点画一条直线就可以了探究 2：图象的平移
观察探究 1 中的图象.
通过观察发现:

（1） 直线
y= 1
2
x 和直线 y= 1
2
+2 互相平行；直线 y=3x 和 y=3x＋2．也互相

平行．为什么呢?因为这两条直线的 k 相同；

（2） 还可以看出，直线
y= 1
2

x+2

是由直线
y= 1
2
x 向上移动 2 个单位得到的；

而直线 y=3x＋2 是由直线 y=3x 向上移动 2 个单位得到的.

(3)直线
y= 1
2
x、直线 y=3x 与 y 轴的交点在同一点，直线
y= 1
2

x+2
、直线 y=3x

＋2 与 y 轴的交点在同一点，为什么呢？
因为每两条直线的 b 相同；而直线与 y 轴的交点纵坐标取决于 b．
【归纳结论】

两个一次函数，当 k 一样，b 不一样时.
共同点：直线平行，都是由直线 y=kx(k≠0)向上或向下移动得到； 不同点：它们与 y 轴的交点不同．
而当两个一次函数，b 一样，k 不一样时. 共同点：它们与 y 轴交于同一点(0,b)； 不同点：直线不平行．
【教学说明】
让学生仔细观察每组一次函数图象，根据图象自己总结出 k、b 的值对一次函数的影响，及它们之间的联系.这样学生更容易理解并掌握.
探究 3：一次函数的图象与 x 轴、y 轴交点坐标和其围成的三角形面积求直线 y=-2x-3 与 x 轴和 y 轴的交点，并画出这条直线.
分析: x 轴上点的纵坐标是 0，y 轴上点的横坐标 0．由此可求 x 轴上点的横
坐标值和 y 轴上点的纵坐标值．
解:因为 x 轴上点的纵坐标是 0，y 轴上点的横坐标 0，所以当 y=0 时，x=-1.5， 点(-1.5,0)就是直线与 x 轴的交点；当 x=0 时，y=-3，点(0，-3)就是直线与 y 轴的交点.
过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线 y=-2x-3.



【归纳结论】
所以一次函数 y=kx＋b,当 x=0 时，y=b；当 y=0 时，x= - b .所以直线 y=kx
k
＋b 与 y 轴的交点坐标是(0,b),与 x 轴的交点坐标是（ - b ，0）.
k
三、运用新知，深化理解
1. 见教材 P48 例 3

2. 直线 y= - 1 x+3，y= - 1 x-5 分别是由直线 y= - 1 x 经过怎样的移动得到的．
2 2 2
分析：只要 k 相同，直线就平行，一次函数 y=kx＋b(k≠0)是由正比例函数的图象 y=kx(k≠0)经过向上或向下平移|b|个单位得到的．b＞0，直线向上移；b
＜0，直线向下移．
解: y= - 1 x+3 是由直线 y= - 1 x 向上平移 3 个单位得到的；
2 2
而 y= - 1 x-5 是由直线 y= - 1 x 向下平移 5 个单位得到的．

2
3. 说出直线 y=3x＋2 与 y=
2
1 x+2
2

；y=5x-1 与 y=5x-4 的相同之处．

分析：k 相同，直线就平行．b 相同，直线与 y 轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．

解：直线 y=3x＋2 与
y= 1
2
x+2
的 b 相同，所以这两条直线与 y 轴交于同一

点，且交点坐标为(0,2)；直线 y=5x-1 与 y=5x-4 的 k 都是 5，所以这两条直线互相平行．
4. 画出直线 y=-2x＋3，借助图象找出:
(1) 直线上横坐标是 2 的点；
(2) 直线上纵坐标是-3 的点；


(3) 直线上到 y 轴距离等于 1 的点．
解:(1)直线上横坐标是 2 的点是 A(2,-1)； (2)直线上纵坐标是-3 的点 B(3,-3)；
(3)直线上到 y 轴距离等于 1 的点 C(1,1)和 D(-1,5)．
5. 若直线 y=-kx＋b 与直线 y=-x 平行，且与 y 轴交点的纵坐标为-2；求直线

的表达式.
分析:直线 y=-kx＋b 与直线 y=-x 平行，可求出 k 的值,与 y 轴交点的纵坐标为-2,可求出 b 的值.
解:为直线 y=-kx＋b 与直线 y=-x 平行，所以 k=1,又因为直线与 y 轴交点的纵坐标为-2,所以 b=-2,因此所求的直线的表达式为 y=-x-2.

6. 求函数
y= 3
2
x-3
与 x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成

的三角形的面积.




分析:求直线
y= 3
2
x-3
与x 轴、y 轴的交点坐标，根据 x 轴、y 轴上点的纵坐

标和横坐标分别为 0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线3

y=
2
y= 3
2
x-3 与 x 轴、y 轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边的长度就是直线

x-3 与 x 轴、y 轴的交点与原点的距离.
解:当 y=0 时，x=2，所以直线与 x 轴的交点坐标是 A(2,0)； 当 x=0 时，y=-3,所以直线与 y 轴的交点坐标是 B(0，-3).

1
S△OAB=
2
OA×OB= 1
2
×2×3=3

7. 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定
的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费 y（元）可以

看成他们携带的行李质量 x（千克）的一次函数为 y= 1
6
象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？
x-5．画出这个函数的图

分析: 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李，即行李费为 0 元时的行李．为此只需求一次函数与 x 轴的交点横坐标的值．即当 y=0 时，x=30．由此

可知这个函数的自变量的取值范围是 x≥30．

解:函数
y= 1
6

x-5(x
≥30)图象为：





当 y=0 时，x=30.
所以旅客最多可以免费携带 30 千克的行李.
【教学说明】
通过实际问题的应用，加深学生对本节知识的巩固.通过提高学生解决问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，我们学到了哪些新知识？
1. 一次函数的图象是一条直线．
2. 画一次函数图象时，只要取两个点即可，一般取直线与 x 轴、y 轴的交点比较简便．
3. 两个一次函数，当 k 一样，b 不一样时，共同之处是直线平行，都是由直线 y=kx(k≠0)向上或向下移动得到，不同之处是它们与 y 轴的交点不同；当 b 一样，k 不一样时，共同之处是它们与 y 轴交于同一点(0,b)，不同之处是直线不平行．
4. 一次函数 y=kx＋b,当 x=0 时，y=b；当 y=0 时，x= - b .所以直线 y=kx＋b
k
与 y 轴的交点坐标是(0,b),与 x 轴的交点坐标是（ - b ,0）；
k
5. 在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线.

1. 布置作业:教材 P48“练习”

2. 完成本课时对应练习.



经过学生的练习反馈，发现学生对图象的画法，图象的平移及一次函数的图象与 x 轴、y 轴交点坐标和其围成的三角形面积，这些知识掌握的较好.而在画实际问题中的函数图象时，大部分学生没有考虑取值范围.因此，在今后的教学中要强调：
1、画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；
2. 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义．然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境．

第 17 章 函数及其图象


3. 一次函数的性质
【知识与技能】
1. 掌握一次函数 y=kx＋b(k≠0)的性质.
2. 能根据 k 与 b 的值说出函数的有关性质.
【过程与方法】
经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中 k 与 b 的值对函数性质的影响
【情感态度】
观察图象，体会一次函数 k、b 的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力
【教学重点】
掌握一次函数 y=kx＋b(k≠0)的性质
【教学难点】
利用一次函数的有关性质解决有关问题



一、情境导入,初步认识
1. 一次函数的图象是什么形状呢?
2. 正比例函数 y=kx(k≠0)的图象是经过哪一点的一条直线?
3. 画一次函数图象时，只要取几点?
4. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象．并说出它们有什么关系. y=4x y=4x＋2
【教学说明】对相关知识进行复习，为本节课的教学做准备. 二、思考探究，获取新知
探究：一次函数的性质

1. 在同一直角坐标系中，画出函数
y= 2
3
x+1
和 y=3x-2 的图象.



观察图象，回答下列问题：
（1） 在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限？

（2） 直线
y= 2
3

x+1

的图象上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自

变量 x 从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化，那么函数 y 的值是如何变化的？
（3） 函数 y=3x-2 的图象是否也有这种变化？

2. 在同一坐标系中，画出函数 y=-x＋2 和
y=- 2
3

x-1
的图象（图略）.

根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的变化？ 你能发现什么规律？
【归纳结论】一次函数 y=kx＋b 有下列性质：
(1) 当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2) 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
【教学说明】
通过观察，总结结论.提高学生观察能力和概括能力. 三、运用新知，深化理解
1. 已知一次函数 y=(2m-1)x＋m＋5,当 m 是什么数时，函数值 y 随 x 的增大
而减小？
分析:一次函数 y=kx＋b(k≠0)，若 k＜0，则 y 随 x 的增大而减小． 解:因为一次函数 y=(2m-1)x＋m＋5，函数值y 随 x 的增大而减小．

所以，2m-1＜0,即
m< 1 .
2

2. 已知一次函数 y=(1-2m)x＋m-1，若函数 y 随 x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求 m 的取值范围.

分析：一次函数 y=kx＋b(k≠0)，若函数 y 随 x 的增大而减小，则 k＜0,若函
数的图象经过二、三、四象限，则 k＜0,b＜0.
解：由题意得: 1-2m<0
m-1<0,
解得， 1 2
3. 已知一次函数 y=(3m-8)x＋1-m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增大而减小，其中 m 为整数.
(1) 求 m 的值；
(2) 当 x 取何值时，0＜y＜4？
分析：一次函数 y=kx＋b(k≠0)与 y 轴的交点坐标是(0,b)，而交点在 x 轴下方，则 b＜0,而 y 随 x 的增大而减小,则 k＜0.
解：(1)由题意得： 3m-8<0
1-m<0，
解之得，1 3
(2)当 m=2 时，y=-2x-1.
又由于 0＜y＜4.所以 0＜-2x-1＜4.

解得：- 5
2
 2

4. 画出函数 y=-2x＋2 的图象，结合图象回答下列问题：
(1) 这个函数中，随着 x 的增大，y 将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
(2) 当 x 取何值时，y=0? (3)当 x 取何值时，y＞0？
分析:(1)由于 k=-2＜0,y 随着 x 的增大而减小.
(2)y=0,即图象上纵坐标为 0 的点,所以这个点在 x 轴上. (3)y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在 x 轴的上方.



解:(1)由于 k=-2＜0,所以随着 x 的增大，y 将减小.当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.
(2)当 x=1 时,y=0.
(3)当 x＜1 时,y＞0.
【教学说明】
通过实际问题的应用，加深学生对本节知识的巩固.提高学生解决问题的能
力.
四、师生互动，课堂小结
1.(1)当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2) 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
当 b>0,直线与 y 轴交于正半轴；当 b＜0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b=0
时，直线与 y 轴交于坐标原点.
2．k＞0,b＞0 时，直线经过一、二、三象限； k＞0,b＜0 时，直线经过一、三、四象限； k＜0,b＞0 时，直线经过一、二、四象限； k＜0,b＜0 时，直线经过二、三、四象限.

1. 布置作业:教材 P50“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



本节课的难点是性质的应用，学生都能记住一次函数的性质，但在应用中不

能灵活的应用，所以，课后还应该在性质的应用上多花时间，多做练习，使学生都能够掌握.

第 17 章 函数及其图象


4.求一次函数的表达式
【知识与技能】
1. 使学生理解待定系数法；2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．
【过程与方法】
感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函数式
【情感态度】
通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力
【教学重点】
能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题
【教学难点】
体会用“数”和“形”结合的方法求函数式，理解求函数解析式和解方程组间的转化

一、情境导入,初步认识
一次函数关系式 y=kx＋b(k≠0)，如果知道了 k 与 b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出 k 和 b 呢？
问题 1： 已知一个一次函数，当自变量 x=-2 时，函数值 y=-1,当 x=3 时，
y=-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？
根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y=kx＋b(k≠0),问题就归结为如何求出 k 与 b 的值．
由已知条件 x=-2 时，y=-1，得-1=-2k＋b． 由已知条件 x=3 时，y=-3，得-3=3k＋b．
两个条件都要满足，即解关于 x 的二元一次方程



所以，一次函数解析式为 y= - 2 x - 9
5 5
问题 2：温度计是利用水银(或酒精)热胀冷缩的原理制作的，温度计中水银
(或酒精)的柱的高度 y(厘米)是温度 x(℃)的一次函数.某种型号的实验用水银温度计能测量-20℃至 100℃的温度，已知 10℃时水银柱高 10 厘米，50℃时水银柱高18 厘米.求这个函数的表达式.
分析：已知 y 是 x 的一次函数，它的表达式有 y=kx+b(k≠0)的形式，问题就
归结为求 k 和 b 的值.两个已知条件实际上给出了 x 和 y 的两组对应值：当 x=10
时，y=10;当 x=50 时，y=18.分别将它们代入关系式 y=kx+b,进而求得 k 和 b 的值.
【教学说明】通过实际问题的导入，提高学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知
探究：一次函数解析式的求法
对于问题 2，我们可作以下分析：
已知 y 是 x 的函数关系式是一次函数，则关系式必是 y=kx＋b 的形式，所以要求的就是系数 k 和 b 的值．而两个已知条件就是 x 和 y 的两组对应值，也就是当 x=10 时，y=10；当 x=50 时，y=18．可以分别将它们代入函数式，转化为求 k 与 b 的二元一次方程组，进而求得 k 与 b 的值．
解：设所求函数的关系式是 y=kx＋b(k≠0),由题意，得



所以所求函数的关系式是 y=0.2x＋8(-20≤x≤100)．
讨论：1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解 k 和 b 的过程，转化为关于 k 和 b 的二元一次方程组的问题．
2. 这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．
这两个问题中的解析式是如何求出来的，你能总结出求一次函数的方法吗？

【归纳结论】
这种先设待求函数关系式（其中含有待定的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.
【教学说明】
通过对问题的分析，解答，从而得出求一次函数的解法. 三、运用新知，深化理解
1. 见教材 P50 例 4
2. 已知一次函数 y=kx＋b 的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当 x=5 时，函数
y 的值．
分析：1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当 x=-1 时，y=1；x=1 时，
y=-5．代入函数解析式中，求出 k 与 b．


虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求 x=5 时，函数 y 的值， 仍需从求函数解析式着手．
这个函数解析式为 y=-3x-2． 当 x=5 时，y=-3×5-2=-17．
3. 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．



分析：从“形”看，图象经过 x 轴上横坐标为 2 的点，y 轴上纵坐标是-3 的点．从“数”看，坐标(2，0)，(0，-3)满足解析式．
解：设：所求的一次函数的解析式为 y=kx＋b(k≠0)． 直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得




所以所求的一次函数的关系式是 y= 3 x-3．
2
4. 求直线 y=2x 和 y=x＋3 的交点坐标．
分析：两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解．


解：两个函数关系式组成的方程组为
所以直线 y=2x 和 y=x＋3 的交点坐标为(3，6)．
5. 已知两条直线 y1=2x-3 和 y2=5-x． (1)在同一坐标系内作出它们的图象； (2)求出它们的交点 A 坐标；
(3) 求出这两条直线与 x 轴围成的三角形 ABC 的面积；
(4) k 为何值时，直线 2k＋1=5x＋4y 与 k=2x＋3y 的交点在第四象限．
分析：(1)这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．
(2) 两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
(3) 求出这两条直线与 x 轴的交点坐标 B、C，结合图形易求出三角形 ABC
的面积．
(4) 先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出 k 的取值范围．




解：(1)




(3) 当 y1=0 时，x= 3 所以直线 y1=2x-3 与 x 轴的交点坐标为 B( 3 ，0)，当 y2=0
2 2
时，x=5，所以直线 y2=5-x 与x 轴的交点坐标为 C(5,0)．过点 A 作 AE⊥x 轴于

点 E，则 S
1
△ABC=
BC×AE= 1
× 7 ×
7 = 49 ．

2 2 2 3 12
(4) 两个解析式组成的方程组为



解这个关于 x、y 的方程组，得



由于交点在第四象限，所以 x＞0,y＜0．



【教学说明】
利用练习，通过学生应用所学知识解决实际问题的能力.

四、师生互动，课堂小结
本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法
1. 求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式 y=kx＋b(k≠0)中两个待定系数 k 和 b 的值；
2. 用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．3.求两个一次函数图象的交点坐标即以两解析式为方程的方程组的解．

1. 布置作业:教材“习题 17.3”中第 5、8、9 题.
2. 完成本课时对应练习.



对于基本的求解析式，如，已知两点坐标，求解析式；已知一次函数的图象， 利用图象求解析式，学生学生掌握的较好，但对与求两个一次函数的图象的交点时，学生就不容易了解，存在一些问题.

第 17 章 函数及其图象
17.4 反比例函数


1. 反比例函数
【知识与技能】
1. 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.
2. 利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式．
【过程与方法】
经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力
【情感态度】
培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.
【教学重点】
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
【教学难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想



一、情境导入,初步认识
1. 复习小学已学过的反比例关系，例如:
(1)当路程 s 一定，时间 t 与速度 v 成反比例，即 vt=s(s 是常数) (2)当矩形面积一定时，长 a 和宽 b 成反比例，即 ab=s(s 是常数)
2. 电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U=IR，当 U=220V 时.请你用含 R
的代数式表示 I 吗？
【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知
探究：反比例函数的概念
问题 1：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到 15 千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽

车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．
分析：和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当
的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．
设小华乘坐交通工具的速度是 v 千米/时，从家里到镇上的时间是 t 小时．因为在匀速运动中，时间=路程÷速度，所以 t=15/v
从这个关系式中发现:
1. 路程一定时，时间 t 就是速度 v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小； 速度减小了，时间增大．
2. 自变量 v 的取值是 v＞0．
问题 2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 平方米的矩形饲养场．设它的一边长为 x(米)，求另一边的长 y(米)与 x 的函数关系式．
分析：根据矩形面积可知
xy=24， 即 y=24/x
从这个关系中发现：
1. 当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；
2. 自变量的取值是 x＞0．观察上述两个函数解析式，它们有什么共同点？与前面学的一次函数有什么不同？
【归纳结论】
一般地，形如 y=k/x(k 是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数.
【教学说明】
反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例函数 y=kx，即 x(y)=k， k 是常数，且 k≠0;反比例函数 y=x(k)，则 xy=k，k 是常数，且 k≠0.可利用定义判断两个量 x 和 y 满足哪一种比例关系？
三、运用新知，深化理解
1. 下列函数关系中，哪些是反比例函数？

(1) 已知平行四边形的面积是 12cm2，它的一边是 acm，这边上的高是 hcm， 则 a 与 h 的函数关系；
(2) 压强 p 一定时，压力 F 与受力面积 s 的关系；
(3) 功是常数 W 时，力 F 与物体在力的方向上通过的距离 s 的函数关系．
(4) 某乡粮食总产量为 m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食 y(吨)与该乡人口数x(人)的函数关系式．
分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符
合 y=kx(k 是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．
解：(1)a= 12 ，是反比例函数；
h
(2) F=ps，是正比例函数；
(3) F=W/s，是反比例函数； (4)y=m/x，是反比例函数．

2. 当 m 为何值时，函数
y = 4
x2m-2

是反比例函数，并求出其函数解析式．分


析：由反比例函数的定义易求出 m 的值．
解：由反比例函数的定义可知：2m－2=1，m= 3 ．所以反比例函数的解析
2
式为 y=4/x．
3. 将下列各题中 y 与 x 的函数关系写出来．
(1) y=1/z，z 与 x 成正比例；
(2) y 与 z 成反比例，z 与 3x 成反比例；
(3) y 与 2z 成反比例，z 与 1 x 成正比例.


2






4. 已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=2．求 x=1.5 时 y 的值．
分析：因为 y 与 x2 成反比例，所以设 y=kx2，再用待定系数法就可以求出 k， 进而再求出 y 的值．
解：设 y=kx2．因为当 x=3 时，y=2，所以 2= k ，k=18．
9

当 x=1.5 时，y= 18 =
x2
18
(1.5)2

=8．


5. 已知 y=y1＋y2，y1 与 x 成正比例，y2 与 x+成反比例，且 x=2 与 x=3 时，y 的值都等于 19．求 y 与 x 间的函数关系式．分析：y1 与 x 成正比例，则 y1=k1x，
y2 与 x2 成反比例，则 y2= k2 ，又由 y=y1＋y2，可知，y=k1x+ k2 ，只要求出 k1
x2 x2
和 k2 即可求出 y 与 x 间的函数关系式．
解：因为 y1 与 x 成正比例，所以 y1=k1x；因为 y2 与x2 成反比例，所以 y2= k2 ，
x2
而 y=y1＋y2，所以 y=k1x+ k2 ，
x2



【教学说明】
加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式.

四、师生互动，课堂小结
本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如 y= k (k
x
是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出 k 值，即可确定．



1. 布置作业:教材“习题 17.4”中第 1、2 题.
2. 完成本课时对应练习.



学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第 5 题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.

第 17 章 函数及其图象
2.反比例函数的图象和性质


第 1 课时 反比例函数的图象和性质（1）
【知识与技能】
1. 理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；
2. 利用反比例函数的图象解决有关问题.
【过程与方法】
经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质
【情感态度】
探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题
【教学重点】
会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质
【教学难点】
探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用



一、情境导入,初步认识
在课本P56 练习中第 2 题中，我们可以发现问题 2 中的图象它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数 y=k/x（k 是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质.
二、思考探究，获取新知
1. 画出函数 y=6/x 的图象．
分析:画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量 x≠0．
解:1．列表：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出
x 与 y 的对应值：



2. 描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．


3. 连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支； 用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．










【教学说明】上述图象，通常称为双曲线.


提问这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么？ 学生试一试：画出反比例函数 y=-6/x 的图象
【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤. 学生讨论、交流以下问题，并就讨论、交流的结果回答问题．
1. 这个函数的图象在哪两个象限？和函数 y=6x 的图象有什么不同？
2. 反比例函数 y=kx(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？

3. 联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量 x 的增加， 函数 y 将怎样变化？有什么规律？
【归纳结论】
反比例函数 y=kx 有下列性质：
(1) 当 k＞0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少；
(2) 当 k＜0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加．
三、运用新知，深化理解
1. 若反比例函数 的图象在第二、四象限，求 m 的值． 分析：由反比例函数的定义可知：2-m2=-1,又由于图象在二、四象限，所以
m＋1＜0，由这两个条件可解出 m 的值．
解:由题意，得 解得 m=-3．
2. 已知反比例函数 y=k/x(k≠0)，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，求一次函数 y=kx－k 的图象经过的象限．
分析：由于反比例函数 y=kx(k≠0)，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，因
此 k＜0，而一次函数 y=kx－k 中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0， 所以直线与 y 轴的交点在 x 轴的上方．
解：因为反比例函数 y=k/x(k≠0)，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，所以
k＜0，所以一次函数 y=kx－k 的图象经过一、二、四象限．
3. 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点 A(－5,m)在图象上，则点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析：(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当 x=1 时，y=－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点 A 在反比例函数的图象上，易求出 m 的值，再验证点 A 关于两坐标

轴和原点的对称点是否在图象上．
解：(1)设：反比例函数的解析式为：y= k
x


(k≠0)．

而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当 x=1 时，y=－2．
所以-2= k ，k=－2．
1
即反比例函数的解析式为：y= - 2 ．
x




(2)点 A(－5,m)在反比例函数 y=-2x 图象上，所以 m= -2 ，
-5
点 A 的坐标为-5,2/5．点 A 关于 x 轴的对称点(5, 2 )不在这个图象上；
5
点 A 关于 y 轴的对称点(5, 2 )不在这个图象上；
5
点 A 关于原点的对称点(5, 2 )在这个图象上；
5

4. 已知函数
y = (m - 2)x3-m2
为反比例函数．


(1) 求 m 的值；
(2) 它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随 x 的增大如何变化？
(3) 当－3≤x≤-1/2 时，求此函数的最大值和最小值．




(2) 因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y
随 x 的增大而增大．
(3) 因为在各象限内，y 随 x 的增大而增大，



5. 一个长方体的体积是 100 立方厘米，它的长是 y 厘米，宽是 5 厘米，高是
x 厘米．
(1) 写出用高表示长的函数关系式； (2)写出自变量 x 的取值范围；
(3)画出函数的图象．
解：(1)因为 100=5xy,所以 y=20/x． (2)x＞0．
(3)图象略.
【教学说明】由于自变量 x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支.
四、师生互动，课堂小结
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．
1. 反比例函数的图象是双曲线；
2. 反比例函数有如下性质：
(1) 当 k＞0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少；
(2) 当 k＜0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加．

1. 布置作业:教材“习题 17.4”中第 3、4 题.

2. 完成本课时对应练习.



本节课的重点是反比例函数的性质的应用，从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.

第 17 章 函数及其图象
2.反比例函数的图象和性质


第 2 课时 反比例函数的图象和性质（2）
【知识与技能】
1. 综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；
2. 借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．
【过程与方法】
经历观察、分析，交流的过程，逐步提高运用知识的能力
【情感态度】
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题
【教学重点】
理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质



一、情境导入,初步认识
1. 正比例函数有哪些性质？
2. 一次函数有哪些性质？
3. 反比例函数有哪些性质？
【教学说明】
对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知

已知正比例函数 y=ax 和反比例函数 y= b
x
的图象相交于点(1,2)，求两函数

解析式．

分析：根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把
点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出 a 和 b．
解：因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把 x=1，y=2 分别代入


y=ax 和 y=b/x 中，得 2=a，2=b/1，b=2． 所以正比例函数解析式为 y=2x． 反比例函数解析式为 y=2/x．










【教学说明】
通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用. 三、运用新知，深化理解
1. 已知如图，A 是反比例函数 y=k/x 的图象上的一点，AB 丄 x 轴于点 B，


且△ABC 的面积是 3，则 k 的值是（ ）
A.3 B.-3
C.6 D.-6
解析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S=1/2|k|．
具体解答如下：根据题意可知：
S△AOB=1/2|k|=3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则 k=6．

答案：C．
2. 反比例函数 y= 6 与 y= 3 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴
x x
的直线分别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则△AOB 的面积为（ ）



A. 3
2
B.2

C.3 D.1


解析：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴， 点 C 为垂足，再根据反比例函数系数 k 的几何意义分别求出四边形 OEAC、△ AOE、△BOC 的面积，进而可得出结论．具体解答过程如下：
如图，分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴， 点 C 为垂足，

∵由反比例函数系数 k 的几何意义可知，S

四边形OEAC
=6，S

△AOE
=3，S

△BOC
= 3 ，
2

∴S△AOB=S 四边形 OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-32=32．
答案：A．
3. 已知直线 y=x＋b 经过点 A(3,0)，并与双曲线 y=kx 的交点为 B(－2，m)和C，求 k、b 的值．


解: 点 A(3,0)在直线 y=x＋b 上，所以 0=3＋b，b=－3．
一次函数的解析式为：y=x－3．
又因为点 B(－2，m)也在直线 y=x－3 上，所以 m=－2－3=－5，即 B(－2,
－5)．
而点 B(－2,－5)又在反比例函数 y=kx 上，所以 k=－2×(－5)=10．
4. 已知反比例函数 y=k1/x 的图象与一次函数 y=k2x－1 的图象交于 A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．
分析:(1)因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上，把 A 点的坐标代入这两个解析式即可求出 k1、k2 的值．
(2)把点 A 关于坐标原点的对称点 A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知 A′是否在这两个函数图象上．
解:(1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以 k1=2×1=2．
1=2k2－1，k2=1．
所以反比例函数的解析式为：y=2/x；一次函数解析式为：y=x－1．
(2)点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A′(－2,－1)．
把 A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y= 2 =-1，所以点 A′在反比
-1
例函数图象上．
把 A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y= -2 =－3，所以点 A′不在一
-1
次函数图象上．
5. 已知一次函数 y=kx＋b 的图象经过点 A(0,1)和点 B(a,－3a),a＜0，且点 B
在反比例函数的 y=-3x 的图象上．
(1) 求 a 的值．
(2) 求一次函数的解析式，并画出它的图象．
(3) 利用画出的图象，求当这个一次函数 y 的值在－1≤y≤3 范围内时，相应的 x 的取值范围．
(4) 如果 P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较 y1 与 y2
的大小．
分析:(1)由于点 A、点 B 在一次函数图象上，点 B 在反比例函数图象上，把

这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出 k、b 和 a 的值．
(2) 由(1)求出的 k、b、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．
解:(1)反比例函数的图象过点 B(a,－3a)，-3a= - 3 ，a=±1，因为 a＜0，所以
a


a=－1．B(－1,3)．
即：一次函数的解析式为 y=－2x＋1． (2)由(1)知一次函数解析式为 y=-2x+1

一次函数和反比例函数的图象为：



(3) 从图象上可知，当一次函数 y 的值在-1≤y≤3 范围内时，相应的 x 的值为：-1≤x≤1.
(4) 从图象可知，y 随 x 的增大而减小，又 m＋1＞m，所以 y1＞y2.
或解：当 x1=m 时，y1=－2m＋1；
当 x2=m＋1 时，y2=－2×(m＋1)＋1=－2m－1
所以 y1－y2=(－2m＋1)－(－2m－1)=2＞0，即 y1＞y2.

6. 如图，一次函数 y=kx＋b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A、B 两点．
(1) 利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取值范围．



分析:(1)把 A、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．
解:(1)观察图象可知，反比例函数 y= m 的图象过点 A(－2,1)，m=－2×1=－
x
2．
所以反比例函数的解析式为：y= - 2 ．又点 B(1,a)也在反比例函数图象上，
x


a= - 2 =-2．即 B(1,－2)． 1

一次函数解析式为：y=－x－1．
(2)观察图象可知，当 x＜－2 或 0＜x＜1 时，一次函数的值大于反比例函数
值
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？




如图，点 P 是直线
y= 1
2
x+2
与双曲线 y= k 在第一象限内的一个交点，直线
x

y= 1
2
x+2 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、C，过 P 作 PB 垂直于 x 轴于B，若 AB

＋PB=9．
(1) 求 k 的值；
(2) 求△PBC 的面积．






通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：
1. 综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．
2. 观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．

17.5 实践与探索


第 1 课时 一次函数与二元一次方程（组）
【知识与技能】
使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，并能通过图象法来求二元一次方程组的解
【过程与方法】
引导、启发、探索讨论
【情感态度】学生通过主动参与探究活动,体验在科学发现中获得成功的喜悦,养成不畏困难勇于开拓和创新的科学态度
【教学重点】二元一次方程和一次函数的关系
【教学难点】
运用二元一次方程和一次函数解决实际问题



一、情境导入,初步认识
如图，l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空.
①当销售量为 2 吨时，销售收入= 元，销售成本= 元；
②当销售量为 6 吨时，销售收入= 元，销售成本= 元；
③当销售量等于 时，销售收入等于销售成本；


④当销售量 时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量 时，该公司亏损（收入小于成本）；

【教学说明】利用实际问题的导入，使学生初步了解一次函数与二元一次方程组之间的关系.
二、思考探究，获取新知
问题1:学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100 页40 元计费．现
乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每 100 页 15 元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．
根据图象回答：
(1) 乙复印社的每月承包费是多少？
(2) 当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
(3) 如果每月复印页数在 1200 页左右，那么应选择哪个复印社？



问:“乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？
答:“乙复印社的每月承包费”指当 x=0 时，y 的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是 200 元．
问:“收费相同”在图象上怎样反映出来？
答:“收费相同”是指当 x 取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解．
问:如何在图象上看出函数值的大小？
答:作一条 x 轴的垂线，如下图，此时 x 的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低， 就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1200 页左右，那么应选择乙复印社收费较低．



【教学说明】让学生仔细观察图象，能从图象中获取更多有用的信息，为解题准备.
【归纳结论】
两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解．
三、运用新知，深化理解
1. 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有 50 元，从现在起
每个月存 12 元．小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，
表示从小张存款当月起每个月存 18 元，争取超过小张．请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？ 至少几个月后小王的存款能超过小张？


解:设小张存 x 个月的存款是 y1 元，小王的存 x 个月的存款是 y2 元， 则 y1=50＋12x，y2=18x，







当 x=6 时，y1=50＋12×6=122（元），y2=18×6=108（元）．所以半年后小王的存款不能超过小张．
由 y2＞y1，即 18x＞50＋12x，得x＞8 1 ，
3

所以 9 个月后，小王的存款能超过小张．

í y = - x + 1.
2. 利用图象解方程组ì y = 2x - 5,
î
解:在直角坐标系中画出两条直线，如下图所示．



ì x = 2,
î
两条直线的交点坐标是(2,-1)，所以方程组的解为í y = -1.

3. 下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：
(1) 请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2) 轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？ (3)问快艇出发多长时间赶上轮船？

解:(1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为 y=kx(k≠0),
由图象知：当 x=8 时，y=160．

代入上式，得 8k=160,可解得 k=20．
所以轮船行驶过程的函数解析式为 y=20x．
设表示快艇行驶过程的函数解析式为 y=ax＋b(a≠0),
由图象知：当 x=2 时，y=0；当 x=6 时，y=160．
ì2a + b = 0,
î
代入上式，得í6a + b = 160.
ìa = 40,
î
可解得íb = -80.
所以快艇行驶过程的函数解析式为 y=40x－80．
(2) 由图象可知，轮船在 8 小时内行驶了 160 千米，快艇在 4 小时内行驶了160 千米，所以轮船的速度是 160/8=20（千米/时），快艇的速度是 160/4=40（千米/时）．
(3) 设轮船出发 x 小时快艇赶上轮船，
20x=40x-80, 得 x=4,x－2=2． 答:快艇出发了 2 小时赶上轮船
【教学说明】利用所学解决实际问题，让学生感受到学有所用，激发学生的学习兴趣.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材 P61“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



1. 实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；
2. 使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．



第 2 课时 一次函数与一元一次不等式（组）
【知识与技能】
1. 使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；
2. 使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．
【过程与方法】
引导、启发、探索讨论
【情感态度】使学生感受到“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用
【教学重点】理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系
【教学难点】
能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集

一、情境导入,初步认识



画出函数
y= 3
2

x+3

的图象，根据图象，指出：



(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？
(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？

【教学说明】让学生初步感知一次函数与不等式之间的关系. 二、思考探究，获取新知

问：一元一次方程 3 x+3=0 的解与函数
2
y= 3
2
x+3
的图象有什么关系？



答：一元一次方程 3 x+3=0 的解就是函数
2
y= 3
2

x+3
的图象上当 y=0 时的 x



的值．

问：一元一次方程 3 x+3=0 的解，不等式 3 x+3＞0 的解集与函数 y= 3


x+3

2 2 2


的图象有什么关系？

答不等式 3 x+3＞0 的解集就是直线
2

y= 3
2


x+3


在 x 轴上方部分的 x 的取值范


围．


【教学说明】学生先独立思考，在小组内交流，得出答案. 三、运用新知，深化理解
1.画出函数 y=－x－2 的图象，根据图象，指出：
(1)x 取什么值时，函数值 y 等于零？ (2)x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？ 解：过(－2,0)，(0,-2)作直线，如图．
(1)当 x=－2 时，y=0；
(2)当 x＜－2 时，y＞0．
2.利用图象解不等式(1)2x－5＞－x＋1，(2)2x－5＜－x＋1． 解：设 y1=2x－5，y2=－x＋1，
在直角坐标系中画出这两条直线，如下图所示．



两条直线的交点坐标是(2,－1)，由图可知：
(1)2x－5＞－x＋1 的解集是 y1＞y2 时 x 的取值范围，为 x＞2； (2)2x－5＜－x＋1 的解集是 y1＜y2 时 x 的取值范围，为 x＜2．
【教学说明】通过实际问题的应用，加深学生对本节知识的巩固，提高学生解决问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材 P62“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



本节课的内容主要是运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.对于学生来说较简单，学生掌握的较好.



第 3 课时 函数应用题
【知识与技能】
1. 通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对知识综合应用的能力．
2. 让学生用简单的已知函数来拟合实际问题中变量的函数关系．
【过程与方法】
让学生在探索过程中，体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展” 这一数学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值
【情感态度】让学生结合自身的生活经历，模仿尝试解决一些身边的函数应用问题
【教学重点】应用函数的知识解决实际问题
【教学难点】
应用函数的知识解决实际问题



一、情境导入,初步认识


问题：为了研究某合金材料的体积 V(cm3)随温度 t(℃)变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：




能否据此求出 V 和 t 的函数关系？
【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生的学习兴趣，通过解决问题的能力.
二、思考探究，获取新知
对于上面这个问题，我们可以将这些数值所对应的点在坐标系中作出．我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知 V 和 t 近似地符合一次函数关系．我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合，求出近似的函数关系式．如下图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60，1002.3)．

设 V=kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得 k=0.04，b=999.7． V=0.04t＋999.7．
你也可以将直线稍稍挪动一下，不取这两点，换上更适当的两点．




【归纳结论】
我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式．但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．
三、运用新知，深化理解
1.为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计 的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：

(1) 小明经过对数据探究，发现：桌高 y 是凳高 x 的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式（不要求写出 x 的取值范围）；
(2) 小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77cm，凳子的高度为 43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．
解：(1)设一次函数为 y=kx＋b(k≠0)，将表中数据任取两组，不妨取(37.0,70.0)

ì70 = 37k + b, ìk = 1.6,
和(42.0,78.0)代入，得í78 = 42k + b. 解得íb = 10.8
î î
一次函数关系式是 y=1.6x＋10.8．
(2)当 x=43.5 时，y=1.6×43.5＋10.8=80.4≠77．
答：一次函数关系式是 y=1.6x＋10.8，小明家里的写字台和凳子不配套． 2.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买
量在 3000 千克以上（含 3000 千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克 9 元，
由基地送货上门；乙方案：每千克 8 元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车
从基地到公司的运输费为 5000 元．
(1) 分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元）与所买的水果量 x（千克） 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
(2) 当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由． 解：(1)y 甲=9x(x≥3000)；
y 乙=8x+5000(x≥3000)．
(2)当 y 甲=y 乙，即 9x=8x＋5000 时，解得x=5000． 所以当 x=5000 时，两种付款一样；
ì x ³ 3000,
î
当 y 甲 解得 3000≤x＜5000．
所以当 3000≤x＜5000 时，选择甲方案付款最少； 当 y 甲>y 乙时，有 9x>8x+5000．解得 x＞5000．
所以当 x＞5000 时，选择乙方案付款最少．
【教学说明】应用相关知识解决实际问题.激发学生学习兴趣. 四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材“习题 17.5”中第 6、7 题.
2. 完成本课时对应练习.




1. 现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值， 有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究；
2. 把实际问题数学化，运用数学的方法进行分析和研究，是常用的、有效的一种方法.

章末复习

【知识与技能】
1. 从实际问题中了解变量、函数的概念，以及函数的表示法．学习时，要能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，并会结合函数图象分析简单的函数关系；
2. 要注意联系实际，理解一次函数和反比例函数的图象和性质，并能应用它解决简单的实际问题．
【过程与方法】
通过实际与探索，使学生体会到“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值，并会初步应用.
【情感态度】让学生明白数学来源于生活，并应用于生活.
【教学重点】使学生运用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式.
【教学难点】
使学生体会到运用直角坐标系研究一次函数、反比例函数的图象和性质，并运用它们解决简单的实际问题.

一、知识结构



【教学说明】使学生理解本章各知识点之间的联系. 二、释疑解惑，加深理解
1. 函数的概念
变量：变化过程中可以取不同数值的量.

常量：变化过程中保持不变的量.
函数：如果在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于每一个 x 值，y 都有惟一的值和它对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，y 是 x 的函数.
2. 如何求函数的自变量取值范围
考虑两个方面，其一是分母不等于 0，其二是开偶次方的被开方数为非负数， 对于实际问题，应根据具体情况而定.
3. 关于平面直角坐标系
(1) 平面上的点与有序实数对成一一对应关系，其含义是坐标平面上的每一个点都可以用一对有序实数来表示，反过来，每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点，这样数与形就有机地结合在一起.我们可以在平面上建立直角坐标系定出点的位置.
(2) 关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标间具有什么关系? (3)各个象内的点的横、纵坐标的符号是怎样的?
(4)点落在坐标轴上，它的坐标有什么特点? 4．函数的图象
函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上的每一点坐标(x，y) 代表了函数的一对对应值，即把自变量 x 与函数 y 的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
5. 什么是正比例函数？它有什么性质？
6. 什么是一次函数？它有什么性质？
7. 什么是反比例函数？它有什么性质？
8. 一次函数与一元一次方程（组）之间有什么关系？
9. 一次函数与一元一次不等式之间有什么关系？
【教学说明】对本章知识点进行复习回顾. 三、典例精析，复习新知
1. 已知函数 y=y1＋y2，且 y1 与 x 成反比例函数关系，y2 与(x－2)成正比例函
数关系．当 x=1 时，y=－1；当 x=3 时，y=5．求：x=5 时，y 的值． 分析：应先用待定系数法写出函数的解析式．

解：由已知，y1= k1
x
(k1≠0，k1 是常数)，又由已知 y2=k2(x－2)(k2≠0，k2


是常数)，所以 y= k1 +k2(x-2)．①
x
由已知，当 x=1 时，y=－1，代入①，得－1=k1＋k2(－1)，即 k1－k2=－1．②

由已知，当 x=3 时，y=5，代入①，得 5= k1 +k2，即 k1＋3k2=15．③
3


ìk1 - k2 = -1,
得ìk1 = 3,

ík + 3k = 15. ík = 4.
î 1 2 î 2


所求的函数解析式是 y=
3 +4(x-2)．
x


当 x=5 时，y= 3 +4 ´ (5-2)=12.6．
5


2. 转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染．该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关，现经过试验得到下列数据：




如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率．

(1) 将试验所得数据在上图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点(1,70)）；
(2) 用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接，若此图象来模拟氧化铁回收率 y 关于通过电流 x 的函数关系式，试写出该函数在 1.7≤x≤2.4 时的表达式；

(3) 利用题(2)所得的关系，求氧化铁回收率大于 85%时，该装置通过是电流应该控制的范围（精确到 0.1A）．
解：(1)如下图；



(2)将题(1)所画的点从左到右顺次连接，如下图；

ì45 x + 2.5(1.7 £ x £1 .9 )
í
y= ï-5x + 97.5(1.9 x £ x £ 2 .1);
î
ï-30 x +150(2 .1 £ x £ 2 .4 )
(3)当 1.7≤x＜1.9 时，由 45x＋2.5＞85，得 1.8＜x＜1.9； 当 2.1≤x＜2.4 时，由-30x＋150＞85，得 2.1≤x＜2.2； 又当 1.9≤x＜2.1 时，恒有-5x＋97.5＞85．
综上可知：满足要求时，该装置的电流应控制在 1.8A 至 2.2A 之间． 四、复习训练，巩固提高
1.某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加
油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨，加油飞机的加油油箱的余油量为 Q2 吨，加油时间为 t 分钟，Q1、Q2 与 t 之间的函数图象如图所示， 结合图象回答下列问题：
(1) 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？
(2) 求加油过程中，运输飞机的余油量 Q1（吨）与时间 t（分钟）的函数关系式；



(3) 求运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需 10 小时到达目的地,油料是否够用？说明理由．









解:(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了 30 吨油，全部加给运输飞机
需 10 分钟．
í69 = 10k + b.
(2)设 Q1=kt＋b，把(0,40)和(10,69)代入，得ì40 = b,
î

解得 Q1=2.9t+40(0≤t≤10)
所以 Q1=2.9t＋40(0≤t≤10)．
(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟 0.1 吨．
所以 10 小时耗油量为：10×60×0.1=60（吨）＜69（吨）, 所以油料够用．
2.k 在为何值时，直线 2k＋1=5x＋4y 与直线 k=2x＋3y 的交点在第四象限．
分析：此题中已知两直线的交点在第四象限，实际上就是知道两个一次函数图象交点在第四象限，因此如何求两个一次函数的图象的交点及第四象限点应满足的条件就成了解此题的关键．另外因为涉及待定系数 k 的值，所以要先求它们的交点，其中交点的坐标是可以用待定系数 k 来表示，最后再确定第四象限的点的坐标满足的条件．
解：由题意得：
ì5x + 4 y = 2k + 1,
î
则í2x + 3 y = k.

ì x = 2k + 3 ,


í
解关于 x，y 的二元一次方程组，得ï
ï
ï y =
î
7
k - 2 .
7

因为它们交点在第四象限， 所以 x＞0，y＜0，
ì 2k + 3 > 0, ì 3
即ï 7 解这个不等式组，得ïk > - ,

ï
í k - 2
< 0.
í 2
ïîk < 2.

ïî 7


由以上可知当- 3
2


时，两直线交点在第四象限．


3.如图，已知一次函数 y=kx＋b 的图象与反比例函数 y=- 8 的图象交于 A、
x

B 两点，且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是-2．


(1) 求一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．

解：(1)xA=-2 代入 y=- 8 中，得 yA=4．
x
所以点 A 的坐标是(-2,4)．

把 yB=-2 代入 y=- 8 中，得 xB=4
x
所以点 B 的坐标是(4,-2)．

ì4 = -2k + b, ìk = -1,
把 A、B 的坐标代入 y=kx＋b 中，得í-2 = 4k + b. 解得íb = 2.
î î
所以一次函数的解析式是 y=－x＋2． (2)当 y=0 时，0=－x＋2，得 x=2，

所以 M(2,0)，即 OM=2． S△AOB=S△AOM+S△BOM
=1/2×2×4+1 /2×2 ×2
=6.
【教学说明】通过实际问题的应用，加深学生对本节知识的巩固，提高学生解决函数问题的能力.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材“复习题”中第 3、6、10、13 题.
2. 完成本课时对应练习.



1. 直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中，点与有序实数对之间是一一对应的；
2. 通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对知识综合应用的能力；
3. 待定系数法是一项重要的数学方法，要结合它在确定一次函数和反比例函数表达式中的应用．
4. 待定系数法是一种很重要的数学方法，不仅在本章中应用，在以后的学习中也有广泛的应用；
5. 现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值， 有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．

第 18 章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
第 1 课时 平行四边形的性质定理 1、2



【知识与技能】
1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质并会进行有关的论证
2. 掌握平行线间的距离的概念和定理
【过程与方法】
经过运用图形的变换探索图形性质的过程，体验数学研究和发现的过程，并得出正确的结论
【情感态度】
渗透化未知为已知的数学方法；渗透从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的辩证思想；渗透严谨求实的科学态度的理念；营造“民主、和谐”的课堂氛围；让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验
【教学重点】
平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用
【教学难点】
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算



一、情境导入,初步认识
1. 什么样的图形是平行四边形？
2. 根据定义，你能判断出平行四边形有哪些性质吗？
【教学说明】平行四边形，学生在小学就有一定的了解，引导学生从定义上来了解平行四边形的性质.
二、思考探究，获取新知
探究 1：平行四边形的表示方法



如图，在四边形 ABCD 中，如果 AB∥DC，AD∥BC，那么四边形 ABCD 是平行四边形．
平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形
ABCD”．
探究 2：平行四边形的性质 1、2
如图，用剪刀把□ABCD 从纸上剪下，放在另一张纸上，并沿□ABCD 的边沿，画出一个四边形，记为 EFGH．则四边形 EFGH 和□ABCD 完全一样，也是平行四边形．它们的对应边、对应角都分别相等．
在□ABCD 中连结 AC、BD，它们的交点记为 O．用一枚图钉穿过 O 点， 将□ABCD 绕点 O 旋转 180°．观察旋转后的□ABCD 和纸上所画的□EFGH 是否重合．
你能从中得出□ABCD 的一些边角关系吗?



我们发现，旋转 180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心．由此可以得到
AD=BC，AB=DC，
∠A=∠C，∠B=∠D．
你能用几何过程进行证明吗？ 已知：如图□ABCD，

求证：AB=CD，CB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD．
分析：作□ABCD 的对角线 AC，它将平行四边形分成△ABC 和△CDA，证明这两个三角形全等,即可得到结论．

证明：连接 AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4． 又 AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
∴AB=CD，CB=AD，∠B=∠D． 又∠1＋∠4=∠2＋∠3，
∴∠BAD=∠BCD．
【归纳结论】平行四边形性质 1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质 2 平行四边形的对角相等． 探究 3：平行线之间的距离
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点， 过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．

经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等．这种现象说明了平行线的又一个性质：
【归纳结论】平行线之间的距离处处相等
【教学说明】学生自己动手操作、作图.教师引导学生观察操作过程，总结相关结论.
加深学生印象.
三、运用新知，深化理解
1. 如图,在平行四边形 ABCD 中，EF∥AB，GH∥AD，EF 与 GH 交于点 O， 则该图中的平行四边形的个数共有（C）

A.7 个 B.8 个
C.9 个 D.11 个

2. 如图,已知在平行四边形 ABCD 中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，则 DF= cm.

解析：由平行四边形的性质 AB∥DC,知∠ABE=∠F，结合角平分线的性质
∠ABE=∠EBC，得∠EBC=∠F，再根据等角对等边得到 BC=CF=7 ，再由
AB=CD=4，AD=BC=7,得到 DF=DE=AD-AE=3.
答案：3
3. 在□ABCD 中，∠A：∠B：∠C：∠D 的值可以是（B）
A．1：2：3：4 B．1：2：1：2
C．1：1：2：2 D．1：2：2：1
4. 如图,在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，且 BE=DF，求证:AE=CF.

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD，AB=CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE 和△CDF 中，
ì AB = CD,
í
ïÐABE = ÐCDF,
î
ïBE = DF.
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
5. 如图所示,已知平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 BC 和 AD 上的点,且
BE=DF.
求证:△ABE≌△CDF.




证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D.
在△ABE 和△CDF 中,
ì AB = CD，
í
ïÐB = ÐD,
î
ïBE = DF.
∴△ABE≌△CDF.
【教学说明】让学生独立完成，老师作更正、强调. 四、师生互动，课堂小结
1. 平行四边形的符号是什么？
2. 平行四边形的性质有哪些？



1. 布置作业:教材 P76“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



学生通过动手操作的过程和多媒体课件的演示，得出并掌握性质，效果比较好.例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式，能根据学生的具体情况在练习的过程中及时发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，反馈工作做得较到位.

第 2 课时 平行四边形的性质定理 3



【知识与技能】
1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质
2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题
【过程与方法】
探索平行四边形对角线互相平分的性质
【情感态度】
体会用平行四边形的对角线互相平分解决平行四边形的计算问题
【教学重点】
平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用
【教学难点】
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算



一、情境导入,初步认识想一想：
1. 平行四边形是一个特殊的图形，它的边、角各有什么性质？
2. 平行四边形除了边、角的性质外？还有没有其他的性质？
3. 你能发现平行四边形的对角线有什么性质？
【教学说明】采用提问的方式对上节课进行复习，导出本节课的教学内容， 过渡自然.
二、思考探究，获取新知
探究：平行四边形的性质 3
如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，求证：OA=OC,OB=OD.



证明：∵AB∥CD，

∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO． 又∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB=CD
∴△BAO≌△DCO（ASA）
∴AO=COBO=DO
【归纳结论】平行四边形的对角线互相平分. 三、运用新知，深化理解
1. 如图，□ABCD 中,EF 过对角线的交点 O,如果 AB=4cm,AD=3cm,OF=1cm,
则四边形 BCFE 的周长为 .



解析：OE=OF=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2OF=9(cm).
答案：9cm
2. 如图，如果直线 EF∥MN，那么△ABC 的面积与△DBC 的面积相等吗？ 你能说出理由吗？

解：相等 理由如下：
∵EF∥MN
∴点 A、D 分别到 MN 的距离相等. 即△ABC 与△DBC 的高相等
又∵△ABC 与△DBC 的底都是 BC
∴△ABC 的面积与△DBC 的面积相等
3. 如图，已知□ABCD 的对角线交于 O，过 O 作直线交 AB、CD 的反向延长线于 E、F，试说明 OE=OF.

证明：由□ABCD 得，∠ODF=∠OBE.OD=OB.∠DOF=∠BOE(对顶角相等).
∴△ODF≌△OBE.

∴OE=OF.
点拨：证明△OBE≌△ODF.
4. 如图，在□ABCD 中，过对角线 AC 的中点 O 所在直线交 AD、CB 的延长线于 E、F．试问：DE 与 BF 的大小关系如何？证明结论．（7 分）

解：DE=BF．证明如下：
∵O 为 AC 的中点，
∴OA=OC．又 AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
故在△AOE 与△COF 中，
ìÐEAO = ÐFCO
í
ï AO = CO
î
ïÐAOE = ÐCOF (对顶角相等）
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
又∵AD=CB（平行四边形的对边相等），
∴AE-AD=CF-CB，即 DE=BF．
5. 已知：如图, □ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 AB、CD 分别相交于点 E、F．
求证：OE=OF，AE=CF，BE=DF．



证明：在□ABCD 中，AB∥CD，
∴∠1=∠2．∠3=∠4．
又 OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴AB—AE=CD—CF．即 BE=FD．
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材 P80“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



教学时要让学生动手探索、自主得出结论，学生动手操作的效果，远远高于老师在无休止的说教.教学中应强调，在应用平行四边形的性质时，连接对角线是常用的作辅助线方法.

18.2 平行四边形的判定
第 1 课时 平行四边形的判定（1）



【知识与技能】
理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【过程与方法】
探索平行四边形的判定：两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【情感态度】
能用平行四边形的判定和性质来解决问题
【教学重点】
平行四边形的判定方法及应用
【教学难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用



一、情境导入,初步认识
1. 什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书）
2. 将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来.（如果……那么……）
根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？
【教学说明】引出课题，为本节课的学习做准备. 二、思考探究，获取新知
探究 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”.逆向思考，互换题设与结论，可以得到：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？
如图，作一个两组对边分别相等的四边形．



把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形．由此可以得到判定平行四边形的一种方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
你能证明这个结论吗？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，AB=DC． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．

分析：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证 AB∥DC，AD∥BC，因此需要连结对角线构造内错角．
证明：连结 AC，
∵AD=BC，AB=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的性质），
∴AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形探究 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”
如图，试作一个有一组对边平行且相等的四边形．



我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形．下面用逻辑推理的方法证明这个猜想．
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB=CD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．


分析：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法．
证明：连结对角线 AC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．又∵AB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴BC=AD（全等三角形的性质），
∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】由此我们得到平行四边形的另一种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．“平行且相等”常用符号“”来表示．如课本 P84图 18.2.5，AB=CD 且 AB∥CD，可以记作“ABCD”，读作“AB 平行且等于CD”．
【教学说明】学生经历先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理的理解更透彻.
三、运用新知，深化理解


1. 如图所示，DB∥AC，且
DB= 1
2

AC，E 是 AC 的中点，求证：BC=DE．




证明：∵E 是 AC 的中点，

∴EC= 1
2

又∵

AC，

1 ，


DB= AC
2
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，

∴四边形 DBCE 是平行四边形．
∴BC=DE．
2. 如图，已知 D、E、F 分别是△ABC 各边的中点， 求证：AE 与 DF 互相平分．

证明：∵D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，根据中位线定理知：
DE=AF，
同理：EF=AD，
∴四边形 ADEF 为平行四边形．故 AE 与 DF 互相平分．
3. 如图，已知，□ABCD 中，AE=CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点． 求证：四边形 MFNE 是平行四边形．

证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB， 又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N 分别是 DE、BF 的中点，∴ME=NF 又由 AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF
∴四边形 MFNE 为平行四边形．
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．
（1） 求证：△ABE≌△CDF；
（2） 若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO．




证明：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即 BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，∵AB=CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO．
5. 在□ABCD 中，分别以 AD、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF， 连接 BE、DF．求证：四边形 BEDF 是平行四边形．

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE 和△CBF 都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，∠BAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE．
∴DF=BE．
∴四边形 BEDF 是平行四边形． 四、师生互动，课堂小结
本节课我们学习了平行四边形的哪些判定定理？



1. 布置作业:教材 P85“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



本节课学生通过学习，掌握平行四边形的识别条件，主要是关于平行四边形的边的判定定理.而这些判定定理，是由逆命题猜想、操作验证、逻辑论证的方法得出的.从中学生体验和经历数学探究过程，学会数学思维方法.

第 2 课时 平行四边形的判定（2）



【知识与技能】
理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形
【过程与方法】
探索平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【情感态度】
能用平行四边形的判定和性质来解决问题
【教学重点】
平行四边形的判定方法及应用
【教学难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用



一、情境导入,初步认识
上节课我们学习了利用四边形的边来判定一个四边形是否为平行四边形，那么我们能不能利用四边形的对角线来判定一个四边形是否为平行四边形？
二、思考探究，获取新知
探究 1：对角线互相平分的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质，得到又一个猜想：“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.”
任意画两条线段，让两条线段的中点重合，连接两条线段的四个端点得到一个四边形.
观察这样得到的图形是什么图形？
根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明．
已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AO=CO， BO=DO．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．


分析：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明．
证明：∵OA=CO.∠AOD=∠COB(对顶角相等).
∴OB=OD.∴△AOD≌△COB.
∴AD=BC.同理△AOB≌△COD,
∴AB=CD.∴四边形 ABCD 是平行四边形.
【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
探究 2：两组对角相等的四边形是平行四边形
思考：我们已经知道，通过四边形的边或者对角线的某些关系，可以判定一个四边形是不是平行四边形，那么，通过角的关系，能不能判定一个四边形是不是平行四边形呢？
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形．
已知：如图，四边形 ABCD 中，已知∠A=∠C，∠B=∠D．



求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：在四边形 ABCD 中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D=360°（四边形的内角和等于 360°），
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A＋∠B=∠A＋∠D=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【教学说明】学生经过先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理

理解更透彻.
三、运用新知，深化理解
1. 如图，平行四边形 ABCD，E、F 两点在对角线 BD 上，且 BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形 AECF 是平行四边形．



证明：连接 AC 交 BD 于点 O，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形 AECF 为平行四边形．
2. 如图，已知 D 是△ABC 的边 AB 上一点，CE∥AB，DE 交 AC 于点 O， 且 OA=OC，猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．

解：猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系是：平行且相等． 证明：∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∵OA=OC，∠AOD=∠COE
∴△ADO≌△CEO，
∴AD=CE，
∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∴CD AE．
3. 如图所示，□AECF 的对角线相交于点 O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF
交于 B，D．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．


证明：∵四边形 AECF 是平行四边形
∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，
∴OD=OB，∵OA=OC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
4. 已知：如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 经过点 O 并且分别和 AB，CD 相交于点 E，F，点 G，H 分别为 OA，OC 的中点．求证：四边形 EHFG 是平行四边形．

证明：如图所示，
∵点 O 为平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，


∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H 分别为 OA，OC 的中点，

∴OG= 1
2
OA，OH= 1
2

OC，∴OG=OH．

又 ∵AB∥CD，∴∠1=∠2． 在△OEB 和△OFD 中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．
∴四边形 EHFG 为平行四边形．
【教学说明】本组习题主要是对平行四边形的性质和判定定理的综合应用， 先让学生独立完成，对有困难的学生可适当的引导、提示.
四、师生互动，课堂小结
我们学习了平行四边形的性质和判定定理，你对它们的应用有什么感受？请同学们相互交流一下.


1. 布置作业:教材“习题 18.2”中第 3、4 题.
2. 完成本课时对应练习.



本节课通过以上“猜想——作图验证——逻辑论证”，学生经历发现平行四边形判定定理的过程，能直接体验和掌握数学思维方法，获得数学学习的快乐. 例题的讲解，学生可及时巩固新知识，同时培养了学生思维的灵活性，提高解决问题能力.对于练习中反馈的问题，教师及时改进教学，帮助学生澄清疑问，学通弄懂.

章末复习



【知识与技能】
熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算
【过程与方法】
引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.
【情感态度】
在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.
【教学重点】
使学生能熟练运用平行四边形的性质、判定定理
【教学难点】
构造平行四边形解决问题



一、知识结构



【教学说明】通过画知识结构图，使学生对本章知识进行全面了解. 二、释疑解惑，加深理解

1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2. 平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）
（1） 边的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对边平行
（2） 角的性质：平行四边形的对角相等
（3） 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分
（4） 平行四边形是中心对称图形
3. 平行四边形的判定
（1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3） 对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4. 两条平行线间的距离的定义
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等.
【教学说明】通过课前热身练习，让学生对知识进行回忆，进一步体会平行四边形的性质、判定.概念再现，知识梳理.
三、典例精析，复习新知
1. 在四边形 ABCD 中，若 AB=CD，再添加一个条件为 AB∥CD，就可以判定四边形 ABCD 为平行四边形.
2. 已知 E、F、G、H 分别为□ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 为平行四边形.
3. 下列结论正确的是（C） A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 一边长为 5cm，两条对角线长分别是 4cm 和 6cm 的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是平行四边形
4. 如图所示，已知 AB∥DE,EF∥BC,DF∥AC,则图中有 3 个平行四边形.


第 4 题图 第 5 题图
5. 已知如图直线 m∥n，A、B 为直线 n 上两点，C、D 为直线 m 上两点，BC 与 AD 交于点 O，则图中面积相等的三角形有（C）
A.1 对 B.2 对
C.3 对 D.4 对
6. 如图所示，在四边形 ABCD 中，DC∥AB，以 AD，AC 为边作□ACED， 延长 DC 交 EB 于 F，求证：EF=FB．

证明：如图,过点 B 作 BG∥AD，交 DC 的延长线于 G，连接 EG．
∵DC∥AB，
∴ABGD 是平行四边形，
∴BG AD．
在□ACED 中，ADCE，
∴CE BG．
∴四边形 BCEG 为平行四边形，
∴EF=FB．
【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构， 实现良性循环.
四、复习训练，巩固提高
1. 如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F．
（1） 求证：BE=DF；
（2） 若 M、N 分别为边 AD、BC 上的点，且 DM=BN，试判断四边形 MENF
的形状.


解：（1）证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）四边形 MENF 是平行四边形． 证明：有（1）可知：BE=DF，
∵四边形 ABCD 为平行四边行，
∴AD∥BC，
∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，
∴△DMF≌△BNE，
∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF，
∴MF∥NE，
∴四边形 MENF 是平行四边形．
2. 如图，在□ABCD 中，AC、BD 相交于点 O,△ACE 和△ACF 均为等边三角形.求证：四边形 BEDF 是平行四边形.
因为 AC、BD 为□ABCD 的对角线，所以 OA=OC,OB=OD.要证四边形BEDF
为平行四边形，只需证过 E、F 两点的直线经过点 O,且 OE=OF.连结 OE、OF,由
△ACE 和△ACF 均为等边三角形，OA=OC,所以 E、F 两点在 AC 的中垂线上， 且过点 O，从而可得 OE=OF,所以四边形 BEDF 为平行四边形.

证明：连结 OE、OF.

∵AC、BD 为□ABCD 的对角线，
∴OA=OC,OB=OD.
∵△ACE 和△ACF 均为等边三角形，
∴CE=AE=AC=AF=CF,
∴E、F 两点在 AC 的中垂线上，
∴E、F、O 三点在同一直线上，且 O 为 EF 的中点，
∴OE=OF.
又∵OB=OD,
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
【归纳结论】本题综合考查了平等四边形的性质与判定、中垂线定理、等边三角形的性质，具有一定的难度.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是线段 AD 上的任意一点（E 与 A,D 不重合），G,F,H 分别是 BE,BC,CE 的中点．请证明四边形 EGFH 是平行四边形；



分析：(1)根据三角形中位线定理得 GF∥
EC,GF= 1
2
EC=EH,一组对边平行且

相等的四边形是平行四边形，所以 EGFH 是平行四边形.证明：（1）在△BEC 中，
∵G,F 分别是 BE,BC 的中点


∴GF∥EC 且
GF= 1 EC
2


又∵H 是 EC 的中点，

∴GF∥EH 且 GF=EH
EH= 1
2

EC，

∴四边形 EGFH 是平行四边形
4. 如图，分别以△ABC 的三边为边长，在 BC 的同侧作等边三角形 ABD， 等边三角形 BCE，等边三角形 ACF，连接 DE，EF.求证：四边形 ADEF 是平行四边形.


解析：先证△EDB≌△CFE， 可得 BD=EF，ED=CF.
∵BD=DA，CF=AF，
∴ED=AF，EF=DA，
∴四边形 ADEF 是平行四边形.
5. 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，BE 平分∠ABC 交 AD 于 E，EF∥BC 交 AC 于 F，那么 AE 与 CF 相等吗？请验证你的结论．

解：AE=CF．理由：过 E 作 EG∥CF 交 BC 于 G，
∴∠3=∠C．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．
∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．
又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．
∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形 EGCF 是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．
【教学说明】这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学. 五、师生互动，课堂小结
通过本节课的复习，你取得了哪些经验？（学生总结，老师补充）



1. 布置作业:教材 P94~96“复习题”中第 6、7、9、13、18 题.
2. 完成本课时对应练习.



本节复习课，我是先引导学生复习本章知识点.采用讨论、提问的方式进行教学，学生的积极性比较高，大部分学生都能掌握平行四边形的有关概念、性质

定理、判定定理、多边形的内角和公式、外角和.通过知识点的回顾，使学生对本章知识作了个系统的了解和整理.接着是例题讲解，这些例题都是基础知识， 比较简单，可以先让学生独立完成，简答题可让个别学生上台板演，教师注重学生的板书过程，适当的作强调、更正.再是学生练习，这组练习题的难度较大， 应采用分组教学，教师适当的提示、引导.使优生得到更好的锻炼、提高.

第 19 章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
1. 矩形的性质



【知识与技能】
了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质
【过程与方法】
经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识,掌握几何思维方法
【情感态度】
培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值
【教学重点】
掌握矩形的性质，并学会应用
【教学难点】
理解矩形的特殊性



一、情境导入,初步认识
收集有关长方形的图片，让学生进行感性认识，引入新课——矩形.
【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值. 二、思考探究，获取新知
探究：矩形的性质
1. 思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察.不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）
2. 再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？


【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
3. 让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.思考矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？
【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的方法来解决重点，突破难点.
【归纳结论】矩形性质 1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质 2 矩形的对角线相等．
4. 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
【教学说明】引导学生尽可能多的发现结论，养成善于观察的好习惯. 三、运用新知，深化理解
1. 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC 与 BD 相等且互相平分．
∴OA=OB．又∠AOB=60°，
∴△OAB 是等边三角形．
∴OA=AB=4cm.
∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=2×4=8（cm）．
2. 已知：如图，矩形 ABCD，AB 长 8cm，对角线比 AD 边长 4cm．求 AD
的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长．



分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三

角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
解：设 AD=xcm，则对角线 BP 长（x+4）cm，在 Rt△ABD 中，由勾股定理：
x2+82=(x+4)2，解得x=6．则 AD=6cm．
“直角三角形斜边上的高”是一个基本条件，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB=AD×AB，解得 AE=4.8cm．
3. 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DF⊥AE 于 F，若 AE=BC．求证：CE=EF．

分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AF=BE，则问题解决，而证明 AF=BE，只要证明△ABE≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=90°，且 AD∥BC．
∴∠1=∠2．
∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．
∴∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∴AF=BE．
∴EF=EC．
此题还可以连接 DE，证明△DEF≌△DEC，得到 EF=EC．
【教学说明】给予学生足够的时间，让学生先独立思考后，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形.
4. 若矩形一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为
22 或 20cm．
分析：本题需分两种情况解答
即矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm，或者矩形的角平分线分一

边为 3cm 和 4cm．
当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2×（3+4）
+2×4=22cm；
当矩形的角平分线分一边为 3cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2×（3+4）+2× 3=20cm．
解：分两种情况
当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2×（3+4）
+2×4=22cm；
当矩形的角平分线分一边为 3cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2×（3+4）+2× 3=20cm．
【教学说明】本题考查的是基本的矩形性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可.
四、师生互动，课堂小结
1. 师生回顾矩形的性质.
2. 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.



1. 布置作业:教材 P101 练习.
2. 完成同步练习册中本课时的练习.



本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质.真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构.

2.矩形的判定



【知识与技能】
1. 理解并掌握矩形的判定方法．
2. 使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.
【过程与方法】
通过探索矩形判定的过程，培养学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.
【情感态度】
培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.
【教学重点】
理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.
【教学难点】
定理的证明方法及运用.



一、情境导入,初步认识
1. 什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2. 矩形有哪些性质？
3. 矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
【教学说明】通过这些问题，教师可以检查学生学习的情况.
4. 事例引入：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？
【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣. 二、思考探究，获取新知
1. 矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.
【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.

2. 动手操作：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.



思考：(1)随着∠ａ的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2) 当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做好知识上的准备；
【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形三、运用新知，深化理解
1. 的平行四边形是矩形.
的四边形是矩形. 2.下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行且相等的四边形是矩形
B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形分析：矩形的判定定理有：
（1） 对角线相等的平行四边形是矩形
（2） 有三个角是直角的四边形是矩形；据此判断．
解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故 A 错误；
B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形，也有可能为梯形,
故 B 错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故 C 错误；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故 D 正确．
【教学说明】学生口答展示第 1、2 道题，训练学生的语言表达能力，
3.如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H，试说明四边形 EFGH 是矩形．


解：∵∠HAB+∠HBA=90°
∴∠H=90°
同理可求得
∠HEF=∠F=∠FGH=90°
∴四边形 EFGH 是矩形．
4.（一题多解题）如图所示，△ABC 为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB 于D，P 为 BC 上的一点，过 P 点分别作 PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为 E，F， 则有 PE+PF=CD，你能说明为什么吗？

解法一：能．如图所示，过 P 点作 PH⊥DC，垂足为 H,



可得四边形 PHDE 是矩形
∴PE=DH，PH∥BD
∴∠HPC=∠B 又∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠HPC=∠FCP．
又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°
∴△PHC≌△CFP
∴PF=HC
∴DH+HC=PE+PF 即：DC=PE+PF．
解法二：能．延长 EP，过 C 点作 CH⊥EP，垂足为 H，如图所示，


∵可得四边形 HEDC 是矩形
∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB
∴∠HCP=∠B．
∴△PHC≌△PFC
∴PH=PF
∴PE+PF=DC．
【教学说明】到黑板展示第 3、4 道题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
1. 师生共同回顾矩形有哪些判定定理？
2. 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.



1. 布置作业:教材“习题 19.1”中的第 1、2、3、5 题.
2. 完成本课时对应练习.



本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知，操作说明而得到的矩形判定进行重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而加深学生对数学的认识，激发学生的数学兴趣，提高学生的数学水平.

19.2 菱形
1. 菱形的性质



【知识与技能】
理解菱形的概念，掌握菱形的性质
【过程与方法】
经过探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中培养学生思维意识，体会几何说理的基本方法．
【情感态度】
培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观
【教学重点】
理解并掌握菱形的性质
【教学难点】
形成合情推理的能力



一、情境导入,初步认识
分四人小组，先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等．然后进行全班性交流．
引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值． 二、思考探究，获取新知
教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．
【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义．
如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.


思考：1.这是一个什么样的图形呢？
2. 有几条对称轴？
3. 对称轴之间有什么位置关系？
4. 菱形中有哪些相等的线段？
【教学说明】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情．
【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.
三、运用新知，深化理解
1. 如图，菱形 ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则 B、D 两点之间的距离为（A）

A．15 B．1523
C．7.5 D．153
【教学说明】本题考查有一个角是 60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长．
2. 如图所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，DE∥AC 且 DE 交 BC 的延长线于点 E．

求证：DE= 1
2
BE．




分析：由四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，易得 BD⊥AC，∠DBC=30°， 又由 DE∥AC，即可证得 DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

即可证得
DE= 1
2
BE．

证明：方法一：如下图，连接 BD，
∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∠DBC=30°，∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，即∠BDE=90°，

∴DE= 1
2

BE．




方法二：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，
∴四边形 ACED 是菱形，
∴DE=CE=AC=AD，又四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∴BC=EC=DE，即 C 为 BE 中点，

∴DE=BC= 1
2

BE．

【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
3. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过
O 点作 OE⊥AB，垂足为 E．



（1） 求∠ABD 的度数；
（2） 求线段 BE 的长．
分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD 是等边三角形，∠ABD 是 60°；
（2）先求出 OB 的长和∠BOE 的度数，再根据 30°角所对的直角边等于斜

边的一半即可求出．
解：（1）在菱形 ABCD 中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∴∠ABD=60°；
（2）由（1）可知 BD=AB=4， 又∵O 为 BD 的中点，
∴OB=2，
又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=1．
【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．学生自主完成，对有一定难度可相互交流，最后由教师总结.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补
充.



1. 布置作业:教材 P113“练习”
2. 完成本课时对应练习.



在本节课中，重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用和常用方法.

2.菱形的判定



【知识与技能】
1. 理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.
2. 会用菱形的两个判定方法进行有关的论证和计算.
【过程与方法】
经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的能力.
【情感态度】
培养良好的思维意识以及合情推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
【教学重点】
菱形的两个判定方法．
【教学难点】
判定方法的证明方法及运用．



一、情境导入,初步认识回顾：
（1） 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2） 菱形的性质：性质 1 菱形的四条边都相等；
性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3） 运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2 个条件）
【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.温故而知新.
二、思考探究，获取新知
1.试一试.
如图作一个四条边都相等的四边形.


步骤：
(1) 画两条相等的线段 AB、AD；
(2) 分别以点 B 和点 D 为圆心，AB 长为半径画弧，两条相交于点 C； (3)连结 BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形 ABCD.
观察你所画的图形，它是菱形吗？ 你能证明你的结论吗？
【归纳结论】菱形判定方法 1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
【教学说明】首先教师活动让学生观察，而后让学生自己动手亲自体验活动， 从而猜想出结论来.
已知：在□ABCD 中，AC⊥BD 求证：□ABCD 是菱形

数学语言:
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD;
∴□ABCD 是菱形. 2.画一画

如图，作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 步骤：
(1) 作两条互相垂直的直线 m,n，记交点为点 O；

(2) 以点 O 为圆心、适当长为半径画弧，在直线 m 上截取相等的两条线段
OA、OC；
(3) 以点 O 为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线上截取相等的两条线段
OB、OD；
(4) 连结 A,B,C,D 四点，即得到一个对角线互相垂直且平分的四边形 ABCD， 显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形.
和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形. 思考：四边形 ABCD 是什么四边形？你能证明吗？
【归纳结论】菱形的判定方法 2：四条边相等的四边形是菱形.
数学语言:
∵在四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA
∴四边形 ABCD 是菱形.
【教学说明】让学生自己动手亲自体验活动,从而猜想出结论来并进行证明. 从而加深印象.
三、运用新知，深化理解
1. 如图，在菱形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是菱形四边的中点，连结 EG
与 FH 交于点 O，则图中的菱形共有（B）



A．4 个 B．5 个
C．6 个 D．7 个
2. 下列说法正确的是（B） A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形
3. 已知：如图□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、

F．
求证：四边形 AFCE 是菱形．



证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠1=∠2．
又∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF．
∴EO=FO．
∴四边形 AFCE 是平行四边形．又 EF⊥AC，
∴□AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
4. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，CE 平分∠ACB，交
AD 于 G，交 AB 于 E，EF⊥BC 于 F，求证：四边形 AEFG 是菱形；



证明：∵CE 平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，
∵∠1=∠2，
∴△AEC≌△FEC，
∴AC=FC，
∵CG=CG，
∴△ACG≌△FCG，
∴∠5=∠7=∠B，
∴GF∥AE，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∵AG=GF（或 AE=EF），
∴四边形 AGFE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结

果.让学生养成从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口. 四、师生互动，课堂小结
1. 师生回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
2. 通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流.



1. 布置作业:教材“习题 19.2”中第 2、3、4 题.
2. 完成本课时对应练习.



本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性，而且通过动手做一做， 然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.

19.3 正方形



【知识与技能】
1. 掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
【过程与方法】
经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.
【情感态度】
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
【教学重点】
正方形的判定方法.
【教学难点】
正方形的判定方法.



一、情境导入,初步认识
1. 在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？
2. 出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？
【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发其学习热情.
【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方
形.
二、思考探究，获取新知
1. 正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
2. 正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？
【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

正方形可以看成是：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形.
3. 议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？

【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.
三、运用新知，深化理解
1. 如图，△ABC 是一个等腰直角三角形，DEFG 是其内接正方形，H 是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）

A.12 B.13
C.26 D.30
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．
2
解：设 AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为 1 的有 5 个，它们组成 10 对全等三角形；

斜边长为
的有 6 个，它们组成 15 对全等三角形；斜边长为 2 的有 2 个，

它们组成 1 对全等三角形；共计 26 对． 故选 C．
2. 已知正方形 ABCD 在直角坐标系内，点 A（0，1），点 B（0，0），则点 C， D 坐标分别为 和 ．（只写一组）
分析：首先根据正方形 ABCD 的点 A（0，1），点 B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定 C，D 的坐标．
解：∵正方形 ABCD 的点 A（0，1），点 B（0，0），
∴AD∥x 轴，CD∥y 轴，这样画出正方形，即可得出 C 与 D 的坐标，分别

为：C（1，0），D（1，1）．或 C(-1,0),D(-1,1).(写其中一组即可)
3. 如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 DC、BC 上，AG⊥EF，垂足为
G，且 AG=AB，求∠EAF 度数.



分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF， 再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；
所以可求∠EAF=45°
解：在 Rt△ABF 与 Rt△AGF 中，
∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠AGF=90°，
∴△ABF≌△AGF（HL），
∴∠BAF=∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE， 有∠GAE=∠DAE；
即∠EAF=∠EAG+∠FAG= 1 ∠DAG+ 1 ∠BAG= 1 ∠DAB=45°，
2 2 2
故∠EAF=45°.
4. 如图，正方形 ABCD 中，AB=3，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且∠BAE=30°，
∠DAF=15°．
（1） 求证：DF+BE=EF；
（2） 求∠EFC 的度数；



分析：（1）延长 EB 至 G，使 BG=DF，连接 AG．利用正方形的性质，证明
△A′BG≌△ADF，△FAE≌△GAE，得出 DF+BE=EF；
（2）根据△AGE≌△AFE 及角之间的关系从而求得∠EFC 的度数； 解：（1）延长 EB 至 G，使 BG=DF，连结 AG


∵正方形 ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；
（2）∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AGE=75°，
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，
∴∠EFC=30
5. 已知：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是 E、F.且 BF=CE.

（1） 求证：△ABC 是等腰三角形；
（2） 当∠A=90°时，试判断四边形 AFDE 是怎样的四边形，证明你的结论．分析：先利用 HL 判定 Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC
是等腰三角形；
由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形 AFDE 是正方形．
（1） 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°， 又∵BD=CD，BF=CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠B=∠C．
故△ABC 是等腰三角形；
（2） 解：四边形 AFDE 是正方形．
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形 AFDE 是矩形， 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴四边形 AFDE 是正方形．
6. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．

（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2） 若∠AED=2∠EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形．
分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得 AO=OC.
又∵△AEC 是等边三角形.∴BE⊥AC，∴四边形 ABCD 是菱形；
（2）根据有一个角是 90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+
∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，
∴四边形 ABCD 是正方形．
证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO．
∵△ACE 是等边三角形，
∴EO⊥AC（三线合一）
∴四边形 ABCD 是菱形．
（2）从上易得：△AOE 是直角三角形，

∴∠AED+∠EAO=90°
∵△ACE 是等边三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
∵四边形 ABCD 是菱形．
∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四边形 ABCD 是正方形．
【教学说明】由学生独立完成以培养学生的独立意识. 四、师生互动，课堂小结
1. 师生共同回顾正方形有哪些性质？
2. 师生共同回顾正方形有哪些判定定理？
3. 通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流.



1. 布置作业:教材“习题 19.3”中第 1、2、3 题.
2. 完成本课时对应练习.



本课虽然是学习正方形的性质和判定，实际上也是对平行四边形、矩形、菱形的复习、归纳和总结，培养了学生的发散思维能力.前边已经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习，总结、归纳前面所学内容，弄清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.

章末复习



【知识与技能】
熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算
【过程与方法】
引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想
【情感态度】
在整理知识点的过程中培养学生的独立思考习惯，让学生找到解决特殊平行四边形问题的一般方法,并感受成功
【教学重点】
使学生能熟练运用特殊平行四边形的性质、判定定理
【教学难点】
构造平行四边形解决问题



一、知识结构





【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系
二、释疑解惑，加深理解

1. 矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
2. 矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.
3. 菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.
4. 菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.
5. 正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.
6. 正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形叫做正方形.
【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定.
三、典例精析，复习新知
1. 矩形的一条较短边的长为 5cm，两条对角线的夹角为 60°，则它的对角线的长等于 10cm．


2. 已知菱形的锐角是 60°，边长是 20cm，则较长的对角线是20 3 cm．

3. 如图，E 是正方形 ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，那么
∠DCE=15 度．





第 3 题图 第 4 题图
4. 如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个大小完全一样的小矩形，则矩形 ABCD 的面积为（C）
A.98 B.196
C.280 D.248
分析：设小长方形的长、宽分别为 x、y，根据周长为 68 的矩形 ABCD，可以列出方程 4x+7y=68；根据图示可以列出方程 2x=5y，联立两个方程组成方程

组，解方程组就可以求出矩形 ABCD 的面积． 解：设小长方形的长、宽分别为 x、y，
ì4x + 7 y = 68
î
依题意得í2x = 5y
ìx = 10
î
解之得í y = 4
∴则矩形 ABCD 的面积为 7×10×4=280．故选 C.
5. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AP∥BD，DP∥AC， AP、DP 相交于点 P，则四边形 AODP 是什么样的特殊四边形，并说明你的理由．

分析：由 AP∥BD，DP∥AC 先判断四边形 AODP 是平行四边形，再由
AO=DO 判断四边形 AODP 为菱形．
解：四边形 AODP 是菱形，理由如下：
∵AP∥BD，DP∥AC，
∴四边形 AODP 是平行四边形
又∵矩形的对角线互相平分且相等， 得 AO=DO，
由菱形的判定得四边形 AODP 为菱形．
6. 如图所示，有两条笔直的公路 BD 和 EF（宽度不计），从一块矩形的土地 ABCD 中穿过，已知 EF 是 BD 的垂直平分线，BD=40 米，EF=30 米，求四边形BEDF 的面积．

分析：连结 DE、BF，因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD，进而求证 DF=BE，再求证 FD=FB，即可判定四边形 BFDE 是菱形，根据菱形面积计算公式即可计算菱形 BFDE 的面积．

解：如图，连接 DE、BF，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ODF=∠OBE， 由 EF 垂直平分 BD，
得 OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，
∴△DOF≌△BOE， 故 DF=BE，
∴四边形 BEDF 是平行四边形， 又∵EF 是 BD 的垂直平分线，
∴四边形 BFDE 是菱形，

1
∴S 菱形 BFDE=
2
EF·BD= 1
2

×30×40=600（m2）．

7. 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由 6 个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为 1，求这个矩形色块图的面积．

分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的边长为 1，可利用边长之间的关系建立等式．
解：DF-AE=1，AE=BE+1，2CF-DF=1 DF=AE+1，AE=CF+1+1，DF=CF+3， 2CF-CF-3=1，解得 CF=4，
∴BE=5，AE=6，
∴AB=11，BC=13 S=AB×BC=11×13=143．
【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.
四、复习训练，巩固提高

1. 矩形的两条对角线的夹角为 60°，一条对角线与短边的和为 15cm，则短边的边长为 5cm．
分析：本题首先求证由两条对角线的夹角为 60°的角为等边三角形，易求出短边边长．
2. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，E 为垂足，∠DCE：∠ECB=3：
1，则∠ACE=45 度



分析：根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB 的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可．
3. 如图，E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，且 CE=AC，AE 交 CD
于点 F，则∠E=22.5 度．



分析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ ACB=45 °，即
∠ACE=135°，在等腰△CAE 中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E 的度数．
【教学说明】让学生先独立完成，而后不会的问题各小组交流讨论得出结果. 养成学以致用的好习惯.
4. 如图，以△ABC 的三边为边，在 BC 的同侧分别作三个等边三角形，即△
ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．



（1） 四边形 ADEF 是什么四边形；
（2） 当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形；
分析：（1）四边形 ADEF 是平行四边形．根据△ABD，△EBC 都是等边三

角形，容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形 ADEF 是平行四边形．
（2）若四边形 ADEF 是矩形，则∠DAF=90°，然后根据已知可以得到∠
BAC=150°．
解：（1）四边形 ADEF 是平行四边形．理由：
∵△ABD，△EBC 都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC． 在△DBE 和△ABC 中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF 是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形 ADEF 是平行四边形．
（2）∵四边形 ADEF 是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形 ADEF 是矩形． 五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补
充.
【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间

的联系与区别.



1. 布置作业:教材“复习题”中第 6、7、9、10、13、15 题.
2. 完成本课时对应练习.



通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事物之间的联系与区别.从而加强对新知识的应用与理解.

第 20 章 数据的整理与初步处理
20.1 平均数
1. 平均数的意义和用计算器求平均数



【知识与技能】
1. 知道平均数的意义；会正确计算平均数.
2. 会用计算器计算一组数据的平均数.
【过程与方法】
初步经历数据的收集、加工整理的过程.能利用平均数解决一些实际问题， 发展数学应用能力.
【情感态度】
培养互相合作与交流的能力，增强数学应用意识.
【教学重点】
1. 会计算一组数据的平均数
2. 理解平均数的意义
【教学难点】
对于平均数的意义的理解.



一、情境导入,初步认识
在解决一些与不确定现象有关的问题时，常常离不开收集和分析数据，数据是我们思考问题的基础.那么，有了一组数据以后，怎样表达和概括这一组数据呢？能否找到某些指标作为这组数据的代表呢？本章我们就是要解决这些问题. 这节课，我们要学习一些与平均数有关的问题.我们在小学已经学过了算术
平均数，它就经常被用来作为一组数据的代表. 出示课本 P130“回顾”
【教学说明】教师要求学生计算出平均值，学生计算完后，教师给出答案. 强调：在这一道题目中使用了统计表，统计表可以清楚地表示一组数据，同
学们在日常生活中如有必要，要学会使用统计表.

二、思考探究，获取新知
探究 1：P130 例 1
1. 讲解观察图表的方法
第 1，要看清坐标表示的意义：这里横坐标表示每人种了几棵树，纵坐标表示人数.
第 2，要理解每个矩形的意义：如，左起第 2 个矩形表示有 8 个人，每人种
了 3 棵树；最后一个矩形表示有 1 个人种了 8 棵树.
2. 提问，有几个人种的树最多，每个人种了多少棵树？
3. 要求学生自己计算本题的问题.学生计算完后给出计算方法.
4. 要求学生思考：植树总量、植树量的平均数和人数这三者之间的数量关系.
5. 学生回答后，提问：这里求平均数为什么不能这样计算：每个人的种树数量 3、4、5、6、7、8 棵的都有，所以平均的种树量为：
（3+4+5+6+7+8)÷6=5.5（棵）
学生回答后教师提醒：因为种 3 棵树与种 6 棵树的人数不一样，所以不能这么算.
探究 2：P131 例 2
1. 先教学生看懂分布图，然后分析解题思路：先通过已知的（1）班人数（40 人）及图中所反映出的百分比算出全年级的人数，然后再按每班人数在年级中所占的位次比算出每班的人数.
2. 给出计算过程并板书：（见课本第 131 页）
3. 解完上题后提出以下问题让学生思考：如图 20.1.3（b），在你所绘制的条形统计图中画出一条代表平均人数 40 的水平线，图中代表各班人数的五个条形，有的位于这条线的上方，有的位于它的下方.想一想，水平线上方超出部分与下方不足部分在数量上有什么关系？
【归纳结论】学生回答后总结：因为平均数是 40，如果把超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，那么它们之和应该为零.
探究 3：用计算器求平均数
以例 2 中八年级各班学生人数这组数据为例，按键顺序如下：
（1） ，打开计算器；



（2） ,启动统计计算功能；
（3） ，输入所有数据；
（4） ，计算出这组数据的平均数.
你可以根据计算器使用说明书动手试一试，了解怎样修改已经输入的数据， 怎样简便地输入多个相同数据.
【教学说明】应向学生提示，不同型号的计算器按钮的标识不一样，使用方法应以说明书为准.教师要以当地学生使用的计算器为准进行教学.
三、运用新知，深化理解
1.如果一组数据 85，80，x，90 的平均数是 85，则 x=85.
2. 某生在一次考试中，语文、数学、英语三门学科的平均分为 80 分，物理、
政治两科的平均分为 85，则该生这 5 门学科的平均分为 82.
3. 某中学举行“红五月”歌咏比赛，六位评委对某位选手的打分为 77，82，
78，95，83，75 去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是 80 分.
4. 某班共有 50 名学生，平均身高为 168cm，其中 30 名男生的平均身高为
170cm，则 20 名女生的平均身高为 165cm.
5. 某次军训打靶，有 a 次每次中靶 x 环，有 b 次每次中靶 y 环，则这个人平均每次中靶的环数是（B）

6. 一艘客轮往返于南通和上海两港之间，从南通到上海速度为 60 千米∕时，
从上海到南通的速度为 40 千米∕时，求这艘客轮往返的平均速度是多少？ 答案：48 千米∕时
7. 一次英语口语测试，已知 50 分 1 人，60 分 2 人，70 分 5 人，90 分 5 人，
100 分 1 人，其余均为 84 分，已知该班英语口语平均成绩为 82 分，求该班有多少人？
答案：53 人
【教学说明】通过练习，使学生能够掌握求平均数的方法.

四、师生互动，课堂小结
1. 怎样看各种图与表；
2. 算术平均数的计算原理.



1. 布置作业:教材 P134“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



由于本节课程属于概念课，而平均数这个概念学生并不陌生，我采用由浅入深的问题，填空的形式，想淡化纯概念化的教学，但又不脱离概念，同时，又通过问题加深学生的理解，在此基础上，展开实际应用.我的想法是：让学生尽可能在课程中没有突兀感，体现知识的连贯性，发展性与现实生活的联系性.

2.加权平均数



【知识与技能】
在具体情境中理解加权平均数的概念，体会“权”的意义，知道算术平均数与加权平均数的联系与区别；会进行加权平均数的计算.
【过程与方法】
初步经历数据的收集、加工整理的过程，能利用加权平均数解决一些实际问题，发展数学应用能力.
【情感态度】
培养互相合作与交流的能力，增强数学应用意识.
【教学重点】
加权平均数的意义和计算方法.
【教学难点】
加权平均的原理.



一、情境导入,初步认识
在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用，例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以 2 作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占 40%，考试成绩占 60%”的比例计算（如图 20.1.4）.其中考试成绩更为重要. 这样，如果一个学生的平时成绩为 70 分，考试成绩为 90 分，那么他的学期总评成绩应该为 70×40% ＋90×60%=82 （分）
【教学说明】学生思考，进入学习. 二、思考探究，获取新知
探究 1：加权平均数的概念
【归纳结论】一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，上例中的 40%与 60%就是平时成绩与考试成绩在学期总评成绩中的权重，最后计算得到的学期总评成绩 82 分就是上述两个成绩的加权

平均数.
要求学生模仿上题计算 P135 的“试一试”.
【教学说明】学生计算后给出答案.设置此题的目的主要是让学生熟悉按权重计算平均值的方法.
探究 2：P135 的“问题”
提出各种不同意见让学生分析：甲同学说：看谁的总分高就录用谁，通过计算可以发现 D 的总分最高，应被录用.这时乙同学说：我有不同意见，三个方面满分都是 20 分，但按理这三个方面的重要性应该有所不同，比如专业知识就应该比仪表形象更重要.所以不能像甲同学所说的那样平均.
指出，显然乙同学的意见更为合理.教师再提出：假设上述三个方面的重要性之比为 6∶3∶1（如图 20.1.6），那么应该录用谁呢？
给出 A 应聘者得分的计算方法：（见课本第 136 页）
要求学生模仿上述计算方法算出另三位应聘者的最后得分.然后从计算结果来确定谁应被录用.
学生计算完后给出答案.
提出以下问题让学生计算：如果这三个方面的重要性之比为 10∶7∶3，此时哪个方面的权重最大？哪一位应被录用呢？
学生计算后会发现，4 个人的分数全改变了，得分最高的人也改变了.
【教学说明】通过这一题，要让学生领会，权重的选择既要符合客观实际， 又要带有人为的因素.
三、运用新知，深化理解
1. 某班进行个人投篮比赛，受污染的下表记录了在规定时间内投进 n 个球的人数分布情况，同时，已知进球 3 个或 3 个以上的人平均每人投进 3．5 个球； 进球 4 个或 4 个以下的人平均每人投进 2．5 个球，问投进 3 个球和 4 个球的各有多少人？

解：设投进 3 个球的人数为 a，投进 4 个球的人数为 b， 根据已知有



2. 随机抽查某城市 30 天的空气状况统计如下：



其中，w≤50 时，空气质量为优；50＜w≤100 时，空气质量为良；100＜w≤150 时，空气质量为轻微污染．
（1） 请用扇形统计图表示这 30 天中空气质量的优、良、轻微污染的分布情况；
（2） 估计该城市一年（365 天）有多少空气质量达到良以上．
解：（1）设 30 天中空气质量分别为优、良、轻微污染的扇形图的圆心角依次为 n1、n2、n3，n1=3/30×360°=36° ，n2=12/30×360°=144° ，n3=15/30×360°=180° ．
扇形统计图为：



（2）一年中空气质量达到良以上的天数约为：3/30×365=36.5 （天）
3. 老王家的鱼塘中放养了某种鱼 1500 条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：

（1） 鱼塘中这种鱼平均每条重约多少千克？

（2） 若这种鱼放养的成活率是 82%，鱼塘中这种鱼约有多少千克？
（3） 如果把这种鱼全部卖掉，价格为每千克 6.2 元，那么这种鱼的总收入
是多少元？若投资成本为 14000 元，这种鱼的纯收入是多少元？ 解：（1） 2.8 ´15 + 3.0 ´ 20 + 2.5 ´10 » 2.822（kg）

15 + 20 + 10
（2）2.82×1500×82%≈3468（kg）
（3）总收入为 3468×6.2≈21500（元） 纯收入为 21500-14000=7500（元）
4. 某单位欲从内部招聘管理员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：

根据录用程序组织 200 名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三
人得票（没有弃权票，每位职工只能推荐 1 人）如下图所示，每得一票记作 1
分．



（1） 请算出三人的民主评议得分；
（2） 如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到 0.01）？
（3） 根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按 4：3： 3 的比例确定个人的成绩，那么谁将被录用？
解：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50 分，80 分，70 分．

（2）甲的平均成绩为： 75 + 93 + 50 = 218 ≈72.67（分），乙的平均成绩为：
3 3
80 + 70 + 80 = 230 ≈76.67 （ 分）， 丙的平均成绩为： 90 + 68 + 90 = 228 ≈76.00
3 3 3 3
（分）．由于 76.67＞76＞72.67，所以候选人乙将被录用．
（3）如果将理论考试、面试、民主评议三项测试得分按 4：3：3 的比例确定个人成绩，
那么甲的个人成绩为： 4 ´ 75 + 3´ 93 + 3 ´ 50 =72.9（分），
4 + 3 + 3
乙的个人成绩为： 4´80 + 3´ 70 + 3´80 =77（分）．
4 + 3 + 3
丙的个人成绩为： 4´ 90 + 3´ 68 + 3´ 70 =77.4（分）．
4 + 3 + 3
由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用
5. 某风景区对 5 个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：

（1） 该风景区称调整后这 5 个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？
（2） 另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约 9.4%，问游客是怎样计算的？
（3） 你认为风景区和游客哪一个说法较能反映整体实际？
解：（1）风景区的算法是：调整前的平均价格为： 1 ×（10+10+15+20+25）
5
=16（元）；
调整后的平均价格为： 1 ×（5+5+15+25+30）=16（元），
5

而日平均人数没有变化，因此风景区的总收入没有变化；
（2）游客的计算方法：
调整前风景区日平均收入为：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160 （千元）；调整后风景区日平均收入为：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175 （千元），
所以风景区的日平均收入增加了175 -160 ´100% ≈9.4%；
160
（3） 游客的说法较能反映整体实际．
【教学说明】通过解决实际问题，提高学生学习兴趣，同时对加权平均数的求法加以巩固.
四、师生互动，课堂小结
本节课要让学生通过实际问题理解权重的概念（不要求学生掌握它的定义， 能理解会用就行）并能计算加权平均数.

1. 布置作业:教材 P136“练习”.
2. 完成本课时对应练习.



加权平均数的概念在课堂中基本上是由学生阅读课本后建立起来了，由于课本中没有给出加权平均数的计算公式，因为它实在是不好表示，对学生来讲有一定难度，我采取类比算术平均数概念，给出字母表示形式.从课堂反应来看，学生理解有一定困难，只有少数学生明白，而对于课本上的举例式的概念，学生较容易理解.

20.2 数据的集中趋势
1. 中位数和众数



【知识与技能】
理解中位数、众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数
【过程与方法】
通过数据的整理与分析、计算，体会统计的数学思想
【情感态度】
培养学生互相合作与交流的能力，增强数学应用意识.
【教学重点】
理解中位数和众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数
【教学难点】
求一组数据的中位数、众数



一、情境导入,初步认识
我们知道，平均数是一组数据的代表，能帮我们做出决策，在实际生活中我们经常听到这样一些叙述：“小明是班上的中等成绩”，“我班穿 37 码鞋的占多数” 等等.这些说法的含义是什么？是怎样做出判断的？下面我们看一个例子：
一家童鞋店最近销售了某种童鞋 30 双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示：

如果你是鞋店老板，你最关心的是什么？
这里，21（厘米）的鞋子卖得最多，在数学上我们把 21 厘米这个数据叫做众数.这也是数据的一个代表，除此之外，还有中位数.
【教学说明】对实际问题的思考，导入新课. 二、思考探究，获取新知

探究 1：中位数和众数的概念P140 问题 1
请分别用平均数（此为算术平均数）、中位数和众数代表这 31 个城市当日最高气温这组数据．
（1） 求平均数：31 个城市的气温之和除以 31 所得的商是平均数.
（2） 求中位数：
将 31 个城市的气温数据按由低到高的顺序重新排列，用去掉两端逐步接近正中心的办法可以找出处在正中间位置的那个值，即中位数．
思考：如果是偶数个城市，那么用去掉两端逐步接近正中心的办法，最后也只剩下惟一一个没被划去的数据吗?
【归纳结论】如果是偶数个城市，那么最后就将剩下两个处在正中间的数. 这时，为了公正起见，我们取这两个数的算术平均数作为中位数．
（3） 求众数：
统计每一气温在 31 个城市预报最高气温数据中出现的频数，可以找出频数最多的那个气温值，它就是众数．
思考：若有两个气温（如 20℃和 22℃）的频数并列最多，那么怎样确定众数呢?
【归纳结论】如果这样，那么我们不是取 20℃和 22℃这两个数的平均数作为众数，而是说这两个气温值都是众数．
探究 2：平均数、中位数、众数的区别
【归纳结论】平均数是概括一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小．
中位数是概括一组数据的另一种指标，如果将一组数据按由小到大的顺序排列（即使有相等的数据也要全部参加排列），那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据．
众数告诉我们，这个值出现的次数最多．一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数．
平均数、中位数和众数从不同的侧面概括了一组数据，正因为如此，这三个指标都可作为一组数据的代表．
【教学说明】学生参与解答，理解新概念；讨论交流，形成共识.

三、运用新知，深化理解
1.某班 8 名学生完成作业所需时间分别为：75，70，90，70，70，58，80，
55（单位：分），则这组数据的众数为 70 分，中位数为 70 分，平均数为 71 分．
2.若数据 10,12,9,-1,4,8,10,12,x 的众数是 12,则x=12.
3. 数据 10，10，x，8 的中位数与平均数相等，这组数据的中位数是 9 或 10．
4. 某餐厅有 7 名员工，所有员工的工资情况如下表所示：



（1） 试求餐厅所有员工工资的众数、中位数、平均数；
（2） 用平均数还是用中位数来描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？
（3） 去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是多少元？是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？
解：（1）餐厅所有员工的平均工资 x =（1600+2×600+520+3×340 ）÷7=620（元）；表中的数是按从大到小的顺序排列的，因而第四个数 520（元）是中位数．众
数是 340（元）.
（2）用中位数来描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当.
（3）去掉经理的工资后，其他员工的平均工资=（600×2+520+3×340 ）÷6≈457
（元）．
能反映该餐厅员工工资的一般水平．
5. 我市部分学生参加了 2004 年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩.已
知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为 140 分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：

请根据以上信息解答下列问题：
（1） 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数

范围？
（2） 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在 60 分以上（含 60 分）的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；
（3） 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？
（4） 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为 105 人”等等.请你再写出两条此表提供的信息.
解：（1）全市共有 300 名学生参加本次竞赛决赛，最低分在 20－39 之间，最高分在 120－140 之间.
（2） 本次决赛共有 195 人获奖，获奖率为 65%.
（3） 决赛成绩的中位数落在 60—79 分数段内.
（4） 如“120 分以上有 12 人；60 至 79 分数段的人数最多；……”
【教学说明】学生参与解答，掌握方法. 四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材 P143“练习”
2. 完成本课时对应练习.



通过这节课的学习，我感到学生的参与性很强，乐于与同伴交流、探索知识. 需要强调的是：学生有自己的看法和意见，教师不可一味的否定学生.教师要关注学生思考问题的过程，千万不要代替学生思考，更不可强加给学生固定的思维模式.练习时，在同一具体问题中分别求平均数、中位数、众数，目的是为了比较三个量在描述一组数据集中趋势时的不同角度，有助于了解三个概念之间的联系与区别.这样更加具有很强的生活色彩，让学生体会到了众数、中位数在日常生活中的应用.使学生深刻体会平均数学源于生活，同时也服务于生活.

2.平均数、中位数和众数的选用



【知识与技能】
结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步选择恰当的数据代表对数据做出判断
【过程与方法】
通过数据的整理与分析、计算，体会平均数、中位数和众数在实际生活中的应用
【情感态度】
通过对统计数据的多角度分析，培养学生互相合作与交流的能力，增强数学应用意识
【教学重点】
理解中位数和众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数
【教学难点】
求一组数据的中位数、众数



一、情境导入,初步认识
1. 平均数、中位数和众数的相关知识点复习（以填空题形式出现）
平均数：包含算术平均数和加权平均数：算术平均数的计算只需将总数除以数据个数即可；加权平均数的计算需考虑各部分在总体中的权重.
中位数：计算中位数应先将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列（相等的数据也要全部参与排列），则正中间的那个数字就是这组数据的中位数.如果正中间的数字有两个，则把这两个数字的算术平均数作为这组数据的中位数.
众数：一组数据中出现次数最多的数.一组数据可能只有一个众数也可能有多个，但是，如果这组数据中每个值出现的次数相同，那么这组数据没有众数.
2. 提出问题：从前面的学习内容我们知道，平均数、中位数和众数都是用来代表一组数据的，而且，它们互相之间可以相等也可以不相等，没有固定的大小关系．当它们不全相等的时候，就产生如何选用才恰当的问题了．

【教学说明】回顾，练习，为本节课作准备. 二、思考探究，获取新知
问题 1：八年级某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，
他们的 5 次数学成绩分别是：
小华：62，94，95，98，98； 小明：62，62，98，99，100； 小丽：40，62，85，99，99．
他们都认为自己的成绩比另两位同学好，你看呢? 思考：
1. 如果你是三个同学中的一个，那么你将从哪个方面说明你的数学成绩最好？为什么？
（给出一定时间让学生思考，然后让学生根据自己的选择投票后提问原因， 把学生回答的内容要点写在黑板上，方便对比，第一个同学提问完后，让其它同学补充.）
2. 综合以上意见，你认为哪一个同学的成绩最好？
点评：通过表 20.2.3 中数据，我们得到三个反映数据特征的数值（平均数、中位数和众数）它们都反映了一组数据的集中趋势.其中，平均数反映了数据的 “平均水平”；中位数反映了数据的“中等水平”；众数反映了数据的“多数水平”
小华的平均分是 89.4 分（最高），小明的中位数是 98 分(最高)，小丽的众数
是 99 分(最高)，且三位同学的成绩都处于不断进步的状态，但小华的成绩相对比较稳定.
【归纳结论】对待成绩，我们应该从多个方面来进行分析并作出判断，应该以发展的眼光看待学习成绩的变化
问题 2：随着汽车的日益普及，越来越多的城市发生了令人头痛的交通堵塞问题.你认为用过往车辆一天车速的平均数衡量某条交通主干道的路况合适吗？
分析：人们上、下班两个时段是一天中道路最繁忙的时候，其它时段车流量明显减少，因此，如果用一天车速的平均数来衡量道路的路况，那么上、下班交通堵塞的问题就给掩盖了.所以，应该按道路繁忙的不同程度，将一天分为几个时段分别计算车速较为合理.
【归纳结论】平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量.

想了解一组数据的平均水平，可计算其平均数；当一组数据中不少数据多次重复出现时，往往关注其众数；当一组数据中个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中趋势
【教学说明】鼓励学生发表自己的意见. 三、运用新知，深化理解
1. 为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的众数（中位数，平均数，众数）．
2. 某服装销售商在进行市场占有情况的调查时，他应该最关注已售出服装型号的（ B ）
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．最小数
3. 三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使用寿命为 12 个月．工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个
厂家各抽取 11 只日光灯管进行检测，灯管的使用寿命（单位：月）如下：



（1） 这三个厂家的广告，分别利用了统计中的哪一个特征数（平均数、中位数、众数）进行宣传？
（2） 如果三种产品的售价一样，作为顾客的你选购哪个厂家的产品？请说明理由．
解：（1）甲厂的广告利用了统计中的平均数．乙厂的广告利用了统计中的众数．
丙厂的广告利用了统计中的中位数．
（2）选用甲厂的产品．因为它的平均数较真实地反映灯管的使用寿命或选用丙厂的产品．因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命超过 12 个月.
4. 某品牌的生产厂家对其下属 10 个专卖店某月的销售额进行统计，列表如下：



（1） 求这 10 个专卖店该月销售额的平均数、众数、中位数；
（2） 为了调动各专卖店经营的积极性，该厂决定实行目标管理，即确定月销售额，并以此对超额销售的专卖店进行奖励．如果想确定一个较高的销售目标， 你认为月销售额定为多少合适？并说明理由．
解：（1）这组数据的平均数： 29 + 32 + 34´ 3 + 38´ 2 + 48´ 2 + 55 =39
10
这组数据的中位数： 34 + 38 =36；
2
这组数据的众数是：34．
（2）这个目标可以定为每月 39 万元（平均数）．因为从样本数据看，在平
均数、中位数和众数中，平均数最大，可以认为，月销售额定为每月 39 万元是一个较高目标．
5．10 位学生分别购买如下尺码的鞋子：20，20，21，22，22，22，22，23，
23，24（单位：cm）.这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最喜欢的是众数.
6．某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的 20 个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答：

（1） 填写完成下表：



（2） 这 20 个家庭的年平均收入为 1.6 万元；

（3） 样本中的中位数是 1.2 万元，众数是 1.3 万元；
（4） 在平均数、中位数、众数中，众数更能反映这个地区家庭的年收入水
平.
【教学说明】通过练习，使学生明白在什么情况下选用平均数、中位数、众
数.
四、师生互动，课堂小结
平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量.
想了解一组数据的平均水平，可计算其平均数；当一组数据中不少数据多次重复出现时，往往关注其众数；当一组数据中个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中趋势.

1. 布置作业:教材“习题 20.2”中第 3、4、5 题.
2. 完成本课时对应练习.



本节课主要是在学习了平均数、中位数、众数后，对它们的特点，所反应的数据的趋势进行系统的学习、归纳.在实际生活中，何时选用这三种数据来反映实际问题，从本节课的学习来看，学生掌握的较好.

20.3 数据的离散程度



【知识与技能】
1. 理解最大值与最小值的差，知道最大值与最小值的差是用来反映数据波动范围的一个量
2. 理解方差的概念，会求一组数据的方差
3. 会用计算器求一组数据的方差
【过程与方法】
能在具体情境中用方差刻画一组数据的波动大小，并解决实际问题
【情感态度】
主动参与探究活动，开拓思路，在复杂的关系中寻找问题关键
【教学重点】
会用方差解决实际问题
【教学难点】
会用方差解决实际问题



一、情境导入,初步认识
经过两年多的学习，我们对自己的成绩有个怎样的评价呢？通过平时测试， 谁的成绩更稳定呢？我们能不能用统计的方法来解决这个问题？本节课我们就来学习一种数据，这种数据就是用来判断一组数据的波动情况的.
【教学说明】利用身边的问题导入新课，调动学生学习的积极性. 二、思考探究，获取新知
探究 1：方差
1. 显示的是上海市 2001 年 2 月下旬和 2002 年同期的每日最高气温，如何对这两段气温进行比较呢？


经计算可知这两个时段的平均气温相等，都是 12℃，这是不是说，两个时段的气温情况总体上没有什么差异呢？
观察下图，你感觉它们有没有差异呢？



通过观察，我们可以发现，图（a）中的点的波动范围比图（b）中的点波动范围要大.
图（a）中温度的最大值与最小值之间的差距很大，相差 16℃，图（b）中温度的最大值与最小值相差 7℃，由此，我们可以判定 2001 年同期气温波动范围要大.
2. 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如表所示，谁的成绩较为稳定？为什么？

通过计算分析，两人测试成绩的平均数都是 12.4，成绩的最大值与最小值也都相差 4，但从下图中我们可以看到：相比下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.


通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 那么，怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？
【归纳结论】我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果称为方差.
我们通常用 s2 表示一组数据的方差，用 x 表示一组数据的平均数，x1、x2、…、
xn 表示各个数据，方差的计算公式：



探究 2：用计算器求方差
用笔算的方法计算方差比较繁琐，如果能够用计算器，就会大大提高效率， 下面以计算 2002 年 2 月下旬的上海市每日最高气温的方差为例，按键的顺序如下:
（1） ，打开计算器；
（2），启动统计计算功能；
（3） ，输入所有数据；
（4） ,得到一个数值；最后，将该数值平方， 即是我们要计算的方差.
【教学说明】告诉学生不同的计算器按键的顺序可能不一样，所以要根据计算器的说明书探索自己的计算器求方差的顺序.
三、运用新知，深化理解
1. 正确的是（ C ）
A.两组数据，平均数越大，波动越大B.两组数据，中位数越大，波动越大C.两组数据，方差越大，波动越大

D.两组数据的波动大小由平均数、方差共同说明
2. 甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为 400 克的茶叶，从它们各自分装的
茶叶中分别随机抽取了 10 盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示：



根据表中数据，可以认为三台包装机中,乙包装机包装的茶叶质量最稳定. 解：乙包装机包装的茶叶质量最稳定.
3. 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，抽查了两人在最近 10 次选拔赛中的成绩（单位:cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
你认为该派谁参加？
解析：此题可从平均数，方差两方面去分析.当平均数相差不大时，再看方
差.解：x 甲= 1 （585+596+610+598+612+597+604+600+613+601）=601.6（cm）；
10
x 乙= 1 （613+618+580+574+618+593+585+590+598+624）=599.3（cm）.
10
s 甲 2=65.84.s 乙 2=284.21,

∵ x 甲> x 乙且 s 甲 2＜s 乙 2.
∴应该派甲去.
4. 如图所示，为了了解 A、B 两个旅游点的游客人数变化情况，抽取了从 2009
年至 2013 年“五一”的旅游人数变化情况，制成下图.根据图中所示解答以下问题：



（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；

解析：本题综合考查平均数、方差的计算，关键是公式应用要准确，数据不要遗漏.
解：（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2005 年．






2002 至 2006 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但 A
旅游点较 B 旅游点的旅游人数波动大．
【教学说明】通过练习，让学生掌握求方差的方法，并使学生了解方差是反映一组数据的波动情况.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材“习题 20.3”中第 1、2、3.
2. 完成本课时对应练习.



本节课学生的兴趣浓厚,知识掌握情况较好.具体操作中因本课内容较多，还是要注意控制好活动的时间，否则活动时间会比较仓促，在课后还是要落实不用计算器求方差、标准差.教学中为了照顾全体学生，缩小两极差异，采用分步提问的方法，给所有的学生提供发展的机会，让不同层次的学生在学习中都能得到不同程度的发展.

章末复习



【知识与技能】
梳理归纳本章所学过知识形成知识体系
【过程与方法】
思考与回忆，合作与交流
【情感态度】
形成完整的知识体系，体会数学科学的严谨性
【教学重点】
梳理本章知识的过程
【教学难点】
形成完整的知识体系



一、知识结构



二、释疑解惑，加深理解1.平均数的意义
平均数是我们日常生活中经常用到的、比较熟悉的的概念，如平均分、平均身高、平均体重、平均产量等等，平均数与给出的一组数据中的每一个数的大小都有关系.

2. 用计算器求平均数
3. 加权平均数
一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重.根据各指标所占的权重值计算得到的平均数就是这组数据的加权平均数.
4. 中位数与众数
①中位数：把一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
②中位数的计算：先将数据按从小到大的顺序重新排列，如果有奇数个数据， 则处在最中间的那个数就是中位数；如果有偶数个数据，则处在最中间的两个数据的平均数就是中位数．
③众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
④众数的计算：求众数时只要看在一组数中重复出现次数最多的数据就是众数．如果有两个或两个以上数据重复出现的都最多，那么这几个数据都是这组数据的众数．
5. 平均数、中位数和众数的选用
①平均数、中位数和众数的特点：平均数、中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势．这三个统计量的各自特点是：平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；中位数则仅与数据的排列位置有关，即当一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，因此，某些数据的变动对它的中位数没有影响．平均数、中位数、众数从不同的侧面提供了一组数据的面貌，正因为如此，我们把这三种数作为一组数据的代表．
②平均数、中位数、众数分别表示一组数据的一般水平、中等水平、和多数水平，都能反映一组数据的集中趋势．它们互相之间可能相等也可能不相等，没有固定的大小关系，但是三个统计量不总是有实际意义、不总是合适的，它们都有各自的适用范围．这就产生了该选用哪一个统计量的问题了．
6. 方差是怎样刻画数据的波动情况的？

方差用来刻画数据波动的大小，方差越大数据的波动就越大，方差越小数据的波动就越小.
【教学说明】通过对本章各知识点的复习，使学生理解如何对一组数据进行整理和分析.
三、典例精析，复习新知
1. 某班第一小组有 12 人，一次数学测验成绩如下：85、96、74、100、96、
85、79、65、74、85、65、80，试计算这 12 人的数学平均分．
分析：最简单的方法就是把 12 个数据全部加起来，再除以 12 即可．但是面对这样一组数字相对比较大的数组时，可以想办法，把数字的大小先降下来，这里可以以 80 为基准，每个数都减去 80 组成一个新数组，计算出平均数后，再加
上 80 就得到原数组的平均数．
解：平均分为： 5 +16 - 6 + 20 +16 + 5 -1-15 - 6 + 5 + (-15) + 0 =2（分）；
12
所以原数组的平均分=80＋2=82（分）．
2. 我校举行文艺演出，由参加演出的 10 个班各派一名同学担任评委，每个节目演出后的得分取各个评委所给分的平均数，下面是各评委给七年级三班一个节目的分数．

（1） 该节目的得分是多少分?此得分能否反映该节目的水平?
（2） 你对 5 号和 9 号评委的给分有什么看法?
（3） 你认为怎样计算该节目的分数比较合理?为什么?
分析：本题涉及到关于样本的选取要具有代表性的问题，因为有些数据对样本平均数的影响很大（如 5 号和 9 号的数据），因此，为了公正、合理应去掉一个最高分和一个最低分，以减少它们对平均数的负面影响，保证评判的公正性．
解：（1）平均分为：（7.20+7.25+7.00+7.10+10.00+7.30+7.20+7.10+6.20
+7.10）÷10=7.35（分）．
此得分不能反映该节目的水平；

（2）5 号评委的给分偏高，9 号评委的给分偏低，他们都脱离实际，不能公正地代表节目的实际水平；
（3）去掉一个最高分和一个最低分，这样可以避免某些特殊数据带来的负面影响，保持评判的公正性．
3. 若一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 12 ，那么另一组数据x1+1,x2+2,x3+3,x4+4,x5+5 的平均数是多少?
分析：平均数是将各个数据的和除以数据的个数求得的，因此，我们可以先求出已知数据的总数，再找出另一组数据与它的联系，从而求解．
解：因为 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =12．
5
所以 x1+x2+x3+x4+x5=60． 所以
x1 +1+ x2 + 2 + x3 + 3 + x4 + 4 + x5 + 5 5
= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +15 5
= 60 +15
5
= 15
4. 某人事部经理按下表所示的五个方面给应聘者记分，每一方面均以 10 分为满分，如果各方面的权数及四个应征者得分如下（单位：分），问谁受聘的可能性最大?

分析：谁受聘就应看谁的分数高，只要应用加权平均数分别计算各人的平均分，比较大小就可以了．

解：张三的平均分为： 15´ 7 +15´8 + 7 ´ 6 + 8´ 6 + 5´5
50

=6.8（分）；

李四的平均分为： 15´9 +15´ 7 + 7 ´8 + 8´5 + 5´ 6 =7.32（分）；
50
何五的平均分为： 15´8 +15´ 7 + 7 ´ 5 + 8´ 6 + 5´ 7 =6.86（分）；
50
白六的平均分为： 15´8 +15´8 + 7 ´ 4 + 8´ 7 + 5´8 =7.28（分）．
50
平均分结果显示李四的分数最高，所以李四受聘的可能性最大． 四、复习训练，巩固提高
1. 下表是某班 20 名学生的一次语文测验成绩统计表：



若 20 名学生的平均成绩是 72 分，请根据上表求 x、y 的值．
分析：这里有两个未知量，就应得到关于它们的两个等量关系，不难发现， 一个是从总人数方面，另一个是从平均数方面得到两个等量关系，从而列方程组进行求解．

2. 如图，这是某晚报“百姓热线”一周内接热线电话的统计图，其中有关环境保护问题的电话最多，共 70 个，请回答下列问题．
（1） 本周“百姓热线”共接到热线电话多少个?
（2） 根据以上数据绘成扇形统计图．




分析：学会读图获取信息是关键．图中“环境保护问题的电话”达 35%，共
70 个，可求出“百姓热线”电话的总数，再根据各种电话所占的百分比计算出扇形圆心角的度数．
解：（1）70÷35%=200（个），即本周“百姓热线”共接到热线电话 200 个；
（2）分别计算出其他项目在扇形统计图中的圆心角的度数奇闻轶事：360°×5%=18°；
其他投诉：360°×15%=54°； 道路交通：360°×20%=72°； 环境保护：360°×35%=126°； 房产建筑：360°×15%=54°； 表扬建议：360°×10%=36°． 画扇形统计图，如图所示．

3. 为了培养学生的环境保护意识，某校组织课外小组对该市做空气含尘调查，下面是一天每隔 2 小时测得的数据如下：
0.03，0.04，0.02，0.03，0.04，0.01，0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，
0.03.（单位：克/立方米）
（1） 求出这组数据的众数和中位数.
（2） 若国家环保局对大气飘尘的要求为平均值不超过每立方米 0.025 克， 问这天该城市的空气是否符合国家环保局的要求?
分析：（1）这组数据的众数就是出现次数最多的数据，是 0.03；中位数需
按从小到大的顺序排列，然后取中间两个数的平均数即是中位数．
（2）能否符合要求，关键是看平均数与 0.025 的大小，若平均数小于 0.025 就符合，否则，就不符合．
解：（1）由众数的定义和题意知这组数据中 0.03 出现的次数最多，故这组

数据的众数是 0.03．将这组数据按从小到大的顺序排列得到： 0.01，0.01，0.02，0.03，0.03，0.03，0.03，0.03，0.04，0.04，0.04，
0.05.其中最中间的两个数据都是 0.03，所以这组数据的中位数是 0.03．
（2）这天测得的数据的平均数为：
1 （0.01×2+0.02+0.03×5+0.04×3+0.05）= 0.36 =0.03．
2 12
也就是说这天城市的空气飘尘的平均值为 0.03 克/立方米，大于国家环保局
的规定 0.025 克/立方米，所以这天该城市的空气不符合国家环保局要求．
4. 某公司销售部有营销人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，
统计了这 15 人某月的销售量如下：



（1） 求这 15 位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；
（2） 假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为 320 件，你认为是否合理，为什么?如不合理，请制定一个比较合理的销售定额，并说明理由．
分析：平均数受极个别数据影响，而中位数和众数不受极个别数据影响．根
据这些知识对本题进行解答即可． 解：（1）平均数为：
（1800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2）÷15=320（件）；
中位数是 210 件，众数是 210 件．
（2）不合理．因为 15 人中有 13 人的销售额达不到 320 件，320 件虽然是
这组数据的平均数，但它受 1800 件这个特殊值的影响，使它不能反映营销人员的一般水平．而中位数反映一组数据的中等水平，众数反映的是一组数据的大多数的水平，所以把每位营销员的月销售额定为 210 件比较合适．
5. 如图，公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，甲群游客的年龄分别是
12，12，12，13，14，15，16，16，27；乙群游客的年龄分别为：3，4，4，5，
5，6，6，6，55，60．
（1） 分别求出两群游客年龄的平均数、众数和中位数．

（2） 甲、乙两群游客年龄的平均数能代表他们各自的年龄特征吗?如果不能代表，那么哪个数据能代表?

分析：我们把一组数据中其值过大（或过小）的数据看作异常数（或异常值），
如本例中乙群游客的 55 和 60 就是异常数，有异常数时，其平均数可能相差较大， 这时用中位数或众数来描述这组数据的一般水平比较合适．
解：（1）甲群游客：
1


平均数 x =
9
（12+12+12+13+14+15+16+16+27）≈15（岁），

众数是 12 岁，中位数是 14 岁．
乙群游客：平均数 x = 1 （3+4+4+5+5+6+6+6+55+60）=15.4（岁），
10
众数是 6 岁，中位数是 5.5 岁．
（2）甲群游客年龄的平均数能代表他们的年龄特征，乙群游客年龄的平均数不能代表他们的年龄特征．用中位数或众数来代表他们各自的年龄特征比较合适．
【教学说明】练习活动中，力争每位学生都参与，每位学生都思索，每位学生都有一次或几次的表现机会.
五、师生互动，课堂小结
请同学们回顾我们这节课学习了什么知识？用自已的语言概括出来.



1. 布置作业:教材“复习题”中第 2、4、5、8、11 题.
2. 完成本课时对应练习.



根据学生的实际情况，结合自身对教材的理解，对本章知识进行分类、调整， 这样一来，保证了教学活动的有效性和主动性.本节课营造了一个轻松愉悦、和

谐民主的课堂氛围，为学生提供了主动参与的机会.每位学生都有平等的机会在各自的小组中参与讨论，变原来的单纯旁观者为积极参与者，使全体学生获得了更多的自我表现和认识的机会，使其思维真正的活跃起来，促进学生生动、活泼、主动的学习，使其全面发展.