人教数学·九年级上册：期中综合检测试卷

期中综合检测试卷

(第二十一章～第二十三章　满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．在下列四个标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(　B　)

A．1个　 B．2个　

C．3个　 D．4个

2．在平面直角坐标系中，点A(－2,1)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(　B　)

A．(－2,1)　 B．(2，－1)　

C．(2,1)　 D．(－2，－1)

3．方程x(x＋5)＝0的解是(　C　)

A．x＝0　 B．x＝－5

C．x1＝0，x2＝－5　 D．x1＝0，x2＝5

4．将二次函数y＝(x＋1)2－2的图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为(　D　)

A．y＝(x＋3)2－2　 B．y＝(x＋3)2＋2

C．y＝(x－1)2＋2　 D．y＝(x－1)2－2

5. 关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是(　C　)

A．m≥0　 B．m＞0

C．m≥0且m≠1　 D．m＞0且m≠1

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为(　A　)

A．　 B．2

C．3　 D．

7．一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　D　)

　　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　D

8．关于一元二次方程x2－4x＋4＝0根的情况，下列判断正确的是(　B　)

A．有两个不相等的实数根　 B．有两个相等的实数根

C．有且只有一个实数根　 D．没有实数根

9．把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是(　A　)

A．6　 B．6　

C．3　 D．3＋3

10．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是(　A　)

　　A　　　　　　　 B 　　　　　　C　　　　　　 D

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．抛物线y＝x2－4x＋8的顶点坐标是__(2,4)__.

12．已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一个根是－1，则m＝__1__.

13. 已知点A(4，y1)、B(，y2)、C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是__y3＞y1＞y2__.

14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝__5__.

15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac<0；③a＋c＞b；④3a＋c＜0；⑤a＋b＞m(am＋b)(其中m≠1)，其中正确的结论有__①④⑤__.

16．如图是一个长为30 m、宽为20 m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为__1__m.

三、解答题(共72分)

17．(6分)解方程：(1)x2＋4x＋2＝0；

解：x1＝－2＋，x2＝－2－.

(2)x2－6x＋9＝(5－2x)2.

解：x1＝2，x2＝.

18．(6分)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F.

(1)若点B的坐标是(－4,0)，请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标；

(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．

解：(1)△AEF如图所示：

∵AO⊥AE，AO＝AE，∴点E的坐标是(3,3)．∵EF＝OB＝4，∴点F的坐标是(3，－1)．

(2)∵点F落在x轴的上方，∴EF<AO.又∵EF＝OB，∴OB<AO.∵AO＝3，∴OB<3，∴答案不唯一，只要B点在x轴上，(－3,0)和原点之间即可，如B(－2,0)等．

19．(7分)已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两个实数根为x1、x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值．

(1)证明：∵x2－(m－3)x－m＝0，∴Δ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．

(2)∵方程的两个实数根为x1、x2，∴x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.∵x＋x－x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7，∴(m－3)2－3×(－m)＝7，解得m1＝1，m2＝2，即m的值是1或2.

20．(7分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.

(1)求证：△AEC≌△ADB；

(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

(1)证明：由旋转的性质得△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB．在△AEC和△ADB中，∴△AEC≌△ADB(SAS)．

(2)解：∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝2，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2.

21．(8分)已知二次函数y＝kx2－(2k＋1)x＋(k＋1)(k是不为0的实数)．

(1)求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点；

(2)该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

①当△ABC的面积等于2时，求k的值；

②对任意负实数k＜0，当x＞m时，y随着x的增大而减小，试求出m的一个值．

(1)证明：∵Δ＝(2k＋1)2－4k(k＋1)＝1＞0，∴不论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点．

(2)解：①令y＝0，则kx2－(2k＋1)x＋(k＋1)＝0，解得x1＝1，x2＝1＋.令x＝0，则y＝k＋1.∴S△ABC＝××|k＋1|＝2，解得k＝－或k＝.　②函数y＝kx2－(2k＋1)x＋(k＋1)的图象在对称轴的右侧时，y随x的增大而减少．根据题意，当k＜0时，x＝＝1＋＜1，∴当m≥1都有y随x的增大而减小，可令m的一个值为2.

22．(8分)如图，某农场要建个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长10 m，另外三边用木栏围着，木栏长24 m.

(1)若养鸡场面积为64 m2，求鸡场垂直墙的一边长；

(2)如果在墙边增加栏杆，其他三边仍然使用栏杆，养鸡场面积能达到60 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．

解：(1)设鸡场垂直墙的一边长为x m．依题意，得x(24－2x)＝64，解得x1＝4，x2＝8.∵24－2x≤10，即x≥7，∴x＝8.故鸡场垂直墙的一边长8 m.

(2)养鸡场面积能达到60 m2.理由：设用栏杆增加的墙的长度为a m．依题意有(10＋a)×＝60，解得a1＝2，a2＝－5(舍去)．∴该鸡场长为10＋2＝12(m)，宽为60÷12＝5(m)．故该鸡场长为12 m，宽为5 m.

23．(8分)如图，方格纸中有三个点A、B、C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点在方格的顶点上．

(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；

(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；

(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．

解：(1)如甲图所示．　(2)如乙图所示．　(3)如丙图所示．

甲图           乙图           丙图

24．(10分)“垃圾分一分，明天美十分”，环保部门计划订制一批垃圾分类宣传海报，海报版面不小于300平方米，当宣传海报的版面为300平方米时，价格为80元/平方米，为了支持垃圾分类促进环保，广告公司给予以下优惠：宣传海报版面每增加1平方米，每平方米的价格减少0.2元，但不能低于50元/平方米．假设宣传海报的版面增加x平方米后，总费用为y元．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)订制宣传海报的版面为多少平方米时总费用最高？最高费用为多少元？

(3)环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多少平方米的海报？

解：(1)由题意，得y＝(80－0.2x)(300＋x)＝－x2＋20x＋24 000.∵80－0.2x≥50，∴x≤150，∴0≤x≤150.即y＝－x2＋20x＋24 000(0≤x≤150)．

(2)∵y＝－x2＋20x＋24 000＝－(x－50)2＋24 500，∴当x＝50时，y取得最大值，此时y＝24 500，x＋300＝350.故订制宣传海报的版面为350平方米时总费用最高，最高费用为24 500元．

(3)∵y＝－x2＋20x＋24 000＝－(x－50)2＋24 500,0≤x≤150，∴当x＝150时，y取得最小值，此时y＝22 500，x＋300＝450.故环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制450平方米的海报．

25．(12分)如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－2,0)、B两点．

(1)a__＞__0，b2－4ac__＞__0；(填“＞”或“＜”)

(2)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数解析式；

(3)在(2)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A、C、E、F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(2)∵直线x＝2是对称轴，A(－2,0)，∴B(6,0)．∵C(0，－4)，∴将点A、B、C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的函数解析式为y＝x2－x－4.

(3)存在．(Ⅰ)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形．∵抛物线y＝x2－x－4关于直线x＝2对称，∴由抛物线的对称性可知，点E的横坐标为4.又∵OC＝4，∴点E的纵坐标为－4，∴存在点E(4，－4)；(Ⅱ)假设在抛物线上还存在点E′，使得以A、C、E′、F′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，∴AC＝E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G.∵AC∥E′F′，∴∠CAO＝∠E′F′G.又∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G＝CO＝4，∴点E′的纵坐标是4，∴4＝x2－x－4，解得x1＝2＋2，x2＝2－2，∴点E′的坐标为(2＋2，4)，同理可得点E″的坐标为(2－2，4)．综上所述，满足条件的点E的坐标为(4，－4)或(2＋2，4)或(2－2，4)．