2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第2讲实数
展开第2讲 实 数
课标要求 | (1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根． (2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根，会用计算器求平方根和立方根． (3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值． (4)能用有理数估计一个无理数的大致范围． (5)了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值． (6)了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算. |
考情分析 | 该内容主要是以选择题、填空题、计算题的形式来考查，分值为3～12分．主要考点为二次根式的化简和有意义的条件、无理数的定义、实数的混合运算等，尤其是实数的混合运算几乎各地市每年都考，分值为5～6分．预测2021年中考以上考点依然是热点，建议加强理解概念，熟练运算法则，并加以练习巩固. |
一、实数的分类
1. 无理数：__________________小数叫做无理数．(如：0.125 678 234 671…，π，等)
2. 实数：________和________统称为实数．一个实数用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的一个点表示一个实数，这就是说实数和数轴上的点成________关系．有理数中关于相反数、绝对值、倒数的意义同样适用于________．有理数的运算法则、运算顺序、运算律同样适用于________范围．
二、数的开方
1. 平方根：如果一个数的________等于a，那么这个数就叫做a的________(或二次方根)．非负数a的平方根记作________，其中a叫做________．一个正数有两个平方根，它们互为________；零的平方根是________；________没有平方根．求非负数a的________的运算，叫做开平方．
2. 算术平方根：正数a的________平方根叫做a的算术平方根．正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是________．
3. 立方根：如果一个数的________等于a，那么这个数就叫做a的________(或a的三次方根)．数a的立方根记作________，其中a叫做________，3叫做________．一个正数有一个________的立方根；一个负数有一个________的立方根；零的立方根是________．开方与乘方互为逆运算．
三、二次根式
1. 定义：形如的式子叫做二次根式，其中a必须满足________．
2. 基本性质
(1)≥0(a≥0)．
(2)()2＝a(a≥0)．
(3)＝＝
注意：几种非负数形式：a2≥0，≥0，≥0(a≥0)，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.
3. 最简二次根式：被开方数不含______，这样的二次根式叫做最简二次根式．
4. 同类二次根式：化简后的几个最简二次根式，如果_______相同，就叫做同类二次根式．
5. 二次根式的运算
(1)加减法法则：先化简，再________同类二次根式．
(2)乘法法则：×＝(a≥0，b≥0)．
(3)除法法则：＝(a≥0，b>0)．
,
实数的运算
(2020·桂林，第19小题，6分)
计算：(π＋)0 ＋(－2)2＋－sin 30°.
小结 | 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. |
(2020·玉林，第19小题，6分)
计算：·(π－3.14)0－＋()2 .
,
二次根式有意义的条件
(2020·贵港，第2小题，3分)
若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x＜－1 B. x≥－1
C．x≥0 D. x≥1
【思路点拨】由x＋1≥0，解得x≥－1.∴x的取值范围是x≥－1.
小结 | 二次根式的被开方数必须是非负数. |
(2016·梧州，第3小题，3分)
若式子－3有意义，则m的取值范围是( )
A．m≥3 B. m≤3
C．m≥0 D. m≤0
二次根式的化简
(2018·河池，第13小题，3分)
计算：×＝________.
【思路点拨】运用二次根式的运算法则计算．
(2020·北部湾经济区，第14小题，3分)
计算：－等于________．
估算无理数的大小
估计＋1的值在( )
A．3到4之间 B．4到5之间
C．5到6之间 D．6到7之间
【思路点拨】利用相邻两个平方数得出的范围，继而也可得出＋1的范围．
∵4＜7＜9，∴＜＜.∴2＜＜3.∴3＜＋1＜4.
小结 | 此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是运用“两边夹”的方法. |
设a＝－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )
A．1和2 B．2和3
C．3和4 D．4和5
1. 下列各数：，sin 30°，－，，其中无理数的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2. 9的平方根的是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．6
3. (2019·河池)下列式子中，为最简二次根式是( )
A. B.
C. D.
4. (2020·桂林) 有理数2，1，－1，0 中，最小的数是( )
A．2 B. 1 C. － 1 D. 0
5. (2020·铜仁)实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( D )
A．a＞b B．－a＜b
C．a＞－b D．－a＞b
6. (2019·济宁)下列计算正确的是( )
A.＝－3 B.＝
C.＝±6 D．－＝－0.6
7. 使式子＋有意义的x的取值范围是( )
A．x≥－1 B．－1≤x≤2
C．x≤2 D．－1＜x＜2
8. (2020·天津)估计的值在( B )
A．3和4之间 B．4和5之间
C．5和6之间 D．6和7之间
9. (2020·广东)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥2
C．x≤2 D．x≠－2
10. 在数轴上表示－2的点到原点的距离为________．
11. 写一个比2大的整数是________．
12. 化简：＝________.
13. x，y为实数，且＋＝0，则x＋y＝________.
14. (2019·辽阳)6－的整数部分是________．
15. (2020·河池) 计算：
(－3)0＋＋(－3)2－4× .
(2020·百色)计算：
－4 cos45°－()－1 ＋ .
(2020·贺州) 计算：
()2 ＋(4－π)0－＋ cos45° .
第2讲 实 数
【基础梳理】
一、1.无限不循环 2.有理数 无理数 一一对应 无理数 无理数
二、1.平方 平方根 ± 被开方数 相反数 0 负数 平方根 2.正 0 3.立方 立方根 被开方数 根指数 正 负 0
三、1.a≥0 3.分母且不含能开得尽方的因数或因式
4．被开方数 5.(1)合并
【重点突破】
[例1]解：原式＝1＋4＋－＝5.
[变式1]解：原式＝×1－(－1)＋9＝－＋1＋9＝10.
[例2]B [变式2]C [例3]3 [变式3]
[例4]A [变式4]C
【达标检测】
1．B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.B
10．2 11.答案不唯一，如4 12.4 13.－1 14.4
15．解：原式＝1＋2＋9－2＝10.
16．解：原式＝2－4×－2＋－1＝－3.
17．原式＝3＋1－3＋×＝3＋1－3＋1＝2.
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