2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第35讲概率

第35讲　概　率

一、事件发生的可能性

1. 事件按可能性分类

事件

2. 相关定义

(1)必然事件：在一定条件下，________会发生的事件．

(2)不可能事件：在一定条件下，必然________发生的事件．

(3)确定事件：________事件和________事件统称确定事件．

(4)随机事件：在一定条件下，可能________也可能不发生的事件．

二、概率

1. 定义：表示一个事件发生________的大小的数值叫做概率，通常用字母P表示．

2. P(必然事件)＝________；P(不可能事件)＝________；P(随机事件)满足________．

3. 概率的求法

(1)较简单问题情境下的概率：在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，则P(A)＝________.

(2)较复杂情况下用列举法求概率，包括：__________和________．

(3)利用频率估计概率：通过反复试验，用平稳时的________估计随机事件的概率．

三、游戏的公平与否

游戏双方获胜的概率________的游戏是公平的，否则是不公平的.

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事件发生的可能性

(2015·崇左，第16小题，3分)小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为________事件．(选填“必然”“不可能”或“随机”)

【思路点拨】一定发生的事件是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件．小明可能中奖，也可能不中奖，故“小明中奖”的事件是随机事件．

(2019·北部湾经济区，第3小题，3分)下列事件为必然事件的是(　　)

A．打开电视机，正在播放新闻

B．任意画一个三角形，其内角和是180°

C．买一张电影票，座位号是奇数号

D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

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概率计算

类型一　用概率的意义求概率

(2020·桂林，第16小题，3分)一个正方体的平面展开图如图所示，任选该正方体的一面出现“我”字的概率是____________．

【思路点拨】一共有6种等可能的情况，其中出现“我”字的情况有2种，所以P(出现“我”字)＝＝ .

(2019·河池，第15小题，3分)掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面为奇数的概率是________．

类型二　用列表法或画树状图法求概率

(2020·柳州，第22小题，8分) 共享经济已经进入人们的生活. 小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同)．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 .

(1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是________；

(2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率 .(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)

(2020·河池，第16小题，3分)不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是________．

统计和概率综合

(2020·百色，第23小题，8分)某校为了了解七年级学生最喜爱的棋类情况，校团委邓老师通过学校公众号向七年级学生发放如图所示的调查问卷，要求如实填写并提交 .

Ｋ

收集数据：邓老师从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：

A　D　A　B　D　C　A　D　E　B

E　B　C　E　D　A　C　A　D　C

C　A　D　D　C　D　B　D　A　E

C　E　C　D　C　A　D　C　D　C

整理分析：邓老师整理这组数据并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图 .

请回答下列问题：

(1)补全条形统计图；

(2)m＝________ ，n＝________；

(3)最喜爱围棋的有1名女生和3名男生，从中任选2名参加比赛，用树状图或列表把所有可能的结果列出来，求恰好选中一男一女的概率．

(2020·梧州，第23小题，8分)网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了了解在空中课堂中学生参与互动的次数，在3月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成如下两种不完整的统计图表：

请根据图表中的信息解答下列问题：

(1)共抽查学生________人，a ＝ ________ ，中位数落在________组，请将频数分布直方图补充完整；

(2)已知该校共有学生1800人，请你估计这一天参与互动次数在8次以上(不含8次)的学生有多少人？

(3)该校计划在A组随机抽取两人了解情况，已知A组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率．

用频率估计概率

(2019·柳州，第15小题，3分)柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：

依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是________(结果精确到0.01)．

(2014·玉林、防城塂，第22小题，8分)第一次模拟考试后，数学科陈老师把一班的数学成绩制成如图的统计图，并给了几个信息：①前两组的频率和是0.14；②第一组的频率是0.02；③自左至右第二、三、四组的频数比为3 ∶9 ∶8，然后布置学生(也请你一起)结合统计图完成下列问题：

(1)全班学生是多少人？

(2)成绩不少于90分为优秀，那么全班成绩的优秀率是多少？

(3)若不少于100分可以得到A＋等级，则小明得到A＋的概率是多少？

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利用概率知识解释游戏是否公平

(2020·贺州，第21小题，8分)如图，一个可以自由转动的均匀转盘被三等分，分别标有1、2、3三个数字，甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字所在的扇形(如果指针恰好指在分格线上，那么重新转一次，直到指针指向某一数字为止)，然后乙同样转动转盘，再将两人转得的数字相加，如果两个数字和是奇数则甲胜，否则乙胜 .

请根据游戏规则完成下列问题：

(1)用树状图或列表法求甲的胜率；

(2)这个游戏对两人公平吗？请说明理由．

【思路点拨】(1)用树状图或列表的方法列出所有等可能的情况数，找出和为奇数的情况，算出甲胜的概率；(2)分别求出甲胜、乙胜的概率，判断它们是否相等．

(2017·贺州，第21小题，8分)在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．

(1)用树状图或列表法求出小王去的概率；

(2)小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．

1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是(　　)

A．必然事件  B．随机事件

C．确定事件  D．不可能事件

2. 下列事件中，为必然事件的是(　　)

A．购买一张彩票，中奖

B．打开电视，正在播放广告

C．抛掷一枚硬币，正面向上

D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球

3. 一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

4. 同时投掷两个骰子，点数和为5的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

5. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

6．(2020·北部湾经济区) 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是(　　)

A.　   B.  C.   D.

7. “任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是________(选填“随机”或“必然”)事件．

8. 随意抛一粒豆子，恰好落在图的方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是________．

9. 盒子里有3张分别写有整式x＋1，x＋2，3的卡片，现从中随机抽取两张，把卡片的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是________．

10. (2020·玉林)经过人民路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是________．

11. (2020·荆州)若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，

每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是________．

12．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形(每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是________．

13. 从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲比赛的学生，求下列事件的概率：

(1)抽取1名，恰好是男生；

(2)抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．

14. (2020·北部湾经济区) 小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩(成绩得分用x表示，单位：分)，收集数据如下：

90，82，99，86，98，96，90，100，89，83

87，88，81，90，93，100，100，96，92，100

整理数据：

 分析数据：

 根据以上信息，解答下列问题：

(1)直接写出上述表格中a，b，c的值；

(2)该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？

(3)请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义．

第35讲　概　率

【基础梳理】

一、2.(1)一定　(2)不　(3)必然　不可能　(4)发生

二、1.可能性　2.1　0　0＜P＜1　3.(1)　(2)列表法

树状图法　(3)频率　三、相同

【重点突破】

[例1]随机　[变式1]B　[例2]　[变式2]　

[例3]解：(1)

(2)根据题意画树状图如下图：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，

∴P(两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”)＝＝.

[变式3]

[例4]解：(1)补全条形统计图如图；

(2)30　12.5　

(3)记3名男生分别为男1男2男3，女生为女，根据题意画树状图如下图：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果有6种，

∴P(恰好选中一男一女)＝＝.

[变式4]解：(1)60　35%　C　补全统计图如下图：

(2)1800×(35%＋25%＋15%)＝1350 (人)

答：估计该校在这一天参与互动次数在8次以上的有1350人 ；

(3)记2名男生分别为A1、A2 ，1名女生为B.画树状图如下图：

由树状图可知总共有6种等可能情况，其中抽取两名学生都是男生的情况有2种，

∴P(两名学生都是男生)＝＝.

[例5]0.95

[变式5]解：(1)第二组的频率是：0.14－0.02＝0.12，

则全班的学生数是：6÷0.12＝50(人)．

(2)全班成绩的优秀率是1－0.14－0.12×＝0.5＝50%.

(3)第三、四组的频率是：0.12×＝0.68，则最后两组的频率的和是：1－0.14－0.68＝0.18，则小明得到A＋的概率是0.18.

[例6]解：(1)画树状图如下图：

由树状图可知，所有可能结果有9种，且出现可能性相等，其中和为奇数有4种，

∴P(甲胜)＝.

(2)该游戏对两人不公平．理由如下：

∵P(甲胜)＝，P(乙胜)＝1－＝.

∴＜.

∴该游戏对两人不公平．

[变式6]解：(1)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，

∴P(小王)＝.

(2)不公平，理由如下：

∵P(小王)＝，P(小李)＝，≠，

∴规则不公平．

【达标检测】

1．B　2.D　3.B　4.B　5.C　6.C　7.随机　

8.　9. 　10.　11.　12.

13．解：(1)抽取1名，恰好是男生的概率是.

(2)用男、女1、女2表示这三个同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：(男，女1)，(男，女2)，(女1，女2)，共三种情况，恰好是1名女生和1名男生的情况有2种，∴恰好是1名女生和1名男生的概率是.

14．(1)a＝5，b＝91，c＝100

(2)0.65　1 600×＝1 040(人)

(3)众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多．

中位数：有一半家长的测试成绩不低于91分．