2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第30讲图形的平移与旋转

第30讲　图形的平移与旋转

一、平移

1. 定义：在同一平面内，将一个图形沿着某一个方向移动一定的________，这样的图形变换称为平移．

注意：平移前后图形的________和________不改变．

2. 平移两要素：平移的________和平移的________．

3. 平移的特征

(1)平移前后的两个图形________．

(2)经过平移，对应线段平行(或在同一直线上)且__________，对应角__________．

(3)两个对应点所连的线段________(或在同一直线上)且________．

二、旋转

1. 定义：在平面内，将一个图形绕一个________沿着某个方向转动一定的________，这样的图形运动称为旋转；这个定点称为________，转动的角度称为________．

注意：旋转不改变图形的________和________．

2. 旋转的要素：图形的旋转由________、________和__________所决定．

3. 旋转的特征

(1)经过旋转，图形上的每一点都绕________沿着相同的方向旋转了相同的________．

(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都等于________．

(3)对应点到旋转中心的距离________．

(4)旋转前后的图形全等．

,　　　　　　　　　　　　　　　

平移的特征

(2015·来宾，第4小题，3分)

如图，在平面直角坐标系中，将点M(2，1)向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为(　　)

A．(2，－1)  B．(2，3)

C．(0，1)  D．(4，1)

【思路点拨】在平面直角坐标系中，将点M往下移动2个单位长度，横坐标不变，纵坐标减2即可得到点N的坐标，故点N的坐标为(2，－1)．

(2014·来宾，第12小题，3分)

将点P(－2，3)向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是(　　)

A．(－5，－3)  B．(1，－3)

C．(－1，－3)  D．(5，－3)

旋转的特征

(2020·梧州，第18小题，3分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1 cm，AC＝2 cm，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△A′B′C，且sin α＝，A′B′与AC交于点D，则DC＝ ________  cm .(结果保留根号)

【思路点拨】如图，过点D作DE⊥A′C于点E，设CD＝x，∵sin α＝，∠DCE＝α，∴DE＝，

∴EC＝＝＝ ，∴A′E＝2－.∵∠DEC＝∠A′CB′＝90°，∴DE∥B′C，∴△A′ED∽△A′CB′，∴＝，又∵BC＝B′C＝1，A′C＝AC＝2，∴＝ ，解得x＝3－3 .

(2015·梧州，第17小题，3分)如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，A′点刚好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′的度数为________度．

,　　　　　　　　　　　　　　　

利用图形的平移或旋转作图

(2020·贵港，第20小题，5分)

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，4)，B(4，1)，C(4，3)．

(1)画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1 ；

(2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2 .

(2020·桂林，第21小题，5分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1) .

(1)把△ABC向左平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；

(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；

(3)观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点(________，________)中心对称 .

,　　　　　　　　　　　　　　　

利用图形的平移或旋转解决几何问题

(2020·河池，第21小题，8分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－1，2)．

(1)将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是________；

(2)点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是____________；

(3)反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是____________；

(4)一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是__________．

(2015·桂林，第23小题，8分)

如图，△ABC各顶点的坐标分别是A(－2，－4)，B(0，－4)，C(1，－1)．

(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；

(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；

(3)在(2)的条件下，AC边扫过的面积是________．

1. 一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：

①对应线段平行　②对应线段相等　③对应角相等

④图形的形状和大小都没有发生变化

其中都正确的说法是(　　)

A．①②③  B．①②④

C．①③④  D．②③④

2. (2019·乐山)下列四个图形中，可以由左图通过平移得到的是(　　)

　,A　　　　　B)　　,C　　　　　D)

3. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是(　　)

A．平行四边形  B．矩形

C．菱形  D．正方形

4. 如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(　　)

A．72°  B．108°  C．144°  D．216°

5. 将点A(2，1)向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是(　　)

A．(0，1)  B．(2，－1) 

C．(4，1)  D．(2，3)

6. 如图，△ABC经过怎样的平移可得到△DEF(　　)

A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位

B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位

C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位

D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位

7. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是(　　)

A．110°  B．80°  C．40°  D．30°

第7题图

　　　　　第8题图

8. (2020·聊城)如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于( D )

A．2(＋1)  B.＋1

C.－1  D.＋1

9. 如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2 cm得到，若AC＝3 cm，则A′C＝________cm.

,第9题图)　　　　,第10题图)

10. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后的得到△ACE，则CE的长为________．

11. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A1B1C的位置，点A1刚好落在BC的延长线上，求点A从开始到结束所经过的路径长为________(结果保留π)．

,第11题图)　　　　,第12题图)

12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于________．

13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8 cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1 cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于________cm.

14. (2019·贺州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为________．

15. (2019·梧州)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是________．

,第15题图)　　　　　,第16题图)

16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E.若AD＝BE，则△A′DE的面积是________．

17. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

(1)将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；

(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；

(3)将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；

(4)在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，

△________与△________成轴对称；

△________与△________成中心对称．

18. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．

(1)将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；

(2)将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；

(3)画出一条直线将△AC1A2的面积分成相等的两部分．

19. (2019·苏州)如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.

(1)求证：EF＝BC；

(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．

第30讲　图形的平移与旋转

【基础梳理】

一、1.距离　形状　大小　2.方向　距离　3.(1)全等　

(2)相等　相等　(3)平行　相等

二、1.定点　角度　旋转中心　旋转角　形状　大小　

2．旋转中心　旋转方向　旋转角　

3．(1)旋转中心　角度　(2)旋转角　(3)相等

【重点突破】

[例1]A　[变式1]C　

[例2]3－3 　[变式2]110

[例3](1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求．

[变式3](1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；　(3)－2，0.

[例4]解：(1)(2，3)　(2)(1，－2)　(3)y＝　

(4)y＝－2x.

[变式4](1)如图所示．　(2)如图所示．　(3)π

【达标检测】

1．D　2.D　3.D　4.B　5.A　6.C　7.B　8.D　9.1　10.2

11.　12.8　13.3　14.6－2　15.－1　16.6

17．解：(1)△A1B1C1如图所示；

(2)△A2B2C2如图所示；

(3)△A3B3C3如图所示；

(4)A2B2C2　A3B3C3　A1B1C1　A3B3C3

18．(1)如图所示；　(2)如图所示；　(3)如图所示．

19．(1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF.

由旋转可知，AC＝AF.

又∵AE＝AB，∴△BAC≌△EAF(SAS)．∴EF＝BC.

(2)∵AB＝AE，∠ABC＝65°，

   ∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.     ∴∠FAG＝50°.

又∵△BAC≌△EAF，∴∠F＝∠C＝28°.

∴∠FGC＝50°＋28°＝78°